Mathe Rätsel Marathon

[Myta]

keine ahnung ob mathematica das kann, das ergebnis hat über 1000 stellen, aber falls ja ist das natürlich nicht der sinn der sache.

 

[Brusko651]

Jo Mathematica kriegt das locker hin, denke ich.

Bin neugierig, ob jemand einen Weg findet, das ohne Computer Unterstützung zu lösen.
Wenn man es mit dem binomischen Lehrsatz auflöst, dann ist etwa die Hälfte der Summanden relativ leicht zu handlen, weil es natürliche Zahlen sind, die noch dazu 10 als Faktor haben, und somit keinen Einfluss auf die 1-er Stelle des Ergebnisses haben. Auch die einser-Stelle von 2^1006 und 5^1006 ist zu finden.
Aber die restlichen Summanden sind alle von der Form Wurzel(10)*(riesige natürliche Zahl). Keine Ahnung wie man da auf die gesuchten Stellen kommen soll, ohne quasi die ganze Zahl auszurechnen. (was wiederum auch unmöglich ist, weil da rechnet man ja ewig.)

 

[Brusko651]

Weißt du inzwischen selbst eine Lösung, Myta?

Weil an einem Rätsel herum rätseln, von dem wir nichtmal sicher sagen können, ob es eine sinnvolle Lösung gibt, ist ja auch nicht wirklich der Sinn der Sache. Macht auch keinen Spaß imo : )

 

[Myta]

ich bin mir sehr sicher das es eine Lösung gibt, habs von einem Kollegen der meint er kennt die Lösung, und er hat mir auch einen Tipp gegeben.

Bei Bedarf kann ich den Hinweis ja mal geben.
Die Lösung kenne ich aber nicht, ich will selbst noch ein bisschen drüber nachdenken bevor ich frage.
wenns dringenden bedarf gibt kann ich sie aber jederzeit besorgen.

 

[Brusko651]

Jo gib mal den Tipp bitte ^_^

 

[Myta]

man muss eine Null addieren.

 

[Annihilator]

Habe mich auch mal versucht, enthält aber bestimmt noch einige (Rechen-)Fehler, evtl. hilfts trotzdem jemandem weiter auf dem Weg zum richtigen Ergebnis. Habe auch keine 0 gebraucht.

Edit: Leider Quatsch.

 

[Brusko651]

Die obere Zahl bei den Binomialkoeffizienten sollte vermutlich 2012 sein, nicht 1006.

Das entscheidende Problem mit deiner Argumentation ist aber, glaube ich, die Stelle
"Das hintere liefert wieder ne 0 an der letzten Stelle, bleibt also..."

Dadurch dass diese durch 10 teilbaren Zahlen mit einer irrationalen Zahl multipliziert werden (die also viele Nachkommastellen hat), spielen sie glaube ich durchaus auch über ihre letzte Stelle hinaus eine Rolle.
Wenn du die Zahl 3,162277... mit einer großen natürlichen Zahl multiplizierst, dann können ja Stellen von weit hinten nach vorne rücken und Einfluss auf die 1-er Stelle des Ergebnisses haben.
z.B. 3,162277 * 1000 wäre 3162,277.
Hätte man die 1000 einfach ignoriert, dann hätte man wohl gedacht, die 1-er Stelle wäre 3, nicht 2.
Noch komplizierter wirds natürlich wenn man nicht mit Zehnerpotenzen, sondern mit irgendeiner großen natürlichen Zahl wie 345345345 multipliziert.

Auch im letzten Schritt genügt es vermutlich nicht, nur die ersten zwei Stellen von Wurzel(2)*Wurzel(5) zu betrachten.

 

[Annihilator]

Ja stimmt, das reicht so natürlich nicht. Bisschen zu viel weggelassen.

Edit: Erm ja, 2012 natürlich.

 

[Myta]

der weg mit der Null ist wesentlich einfacher (ich kenne mittlerweile die Lösung)

 

[Brusko651]

ich glaub niemand kriegt es hin.
Könntest du uns bitte einfach die Lösung verraten, Myta?

 

[Myta]

ich geb noch einen tipp, danach ist es relativ einfach:
die Null die man addieren muss ist: (sqrt(5)-sqrt(2))^2012-(sqrt(5)-sqrt(2))^2012

 

[ROOT]

i still dont get it.
man kanns mit der 3. binomischen immer weiter auseinanderziehen, scheint aber zu nichts zu führen. ausmultiplizieren per binomialkoeffizient hat mich jetzt auch nicht weitergebracht

bin gespannt

(w(2)+w(5)) * (w(5)-w(2)) = 3, aber weiß nicht wie ich das hier einsetzen soll..

 

[sesslor]

1.0 ?

Wenns stimmt, Freirunde.

 

[Myta]

stimmt nicht

 

[ROOT]

bin ich denn mit den binomischen aufm richtigen weg?
will mir nicht weiter den wolf rechnen, ohne dass was dabei rauskommt

 

[Myta]

wenn du papier fuer brauchst ist der weg zu kompliziert.
binomialkoeffizient war schon der richtige gedanke, aber keine aufwaendige rechnung, nur ueberlegen welcher teil davon eigentlich relevant ist.

 

[ROOT]

also wenn ich deine obige 0 addiere und anschließend sämtliche terme als summe mit binomialkoeffizienten aufschreibe, dann brauch ich definitiv schon papier

ich geb auf, komm nicht drauf. bin aber gespannt auf die lösung.

 

[Brusko651]

es ist noch immer impossible!
verrate uns die lösung, myta! : (
it's been too long.

edit: arrgh, ne, ich habs schon gecheckt.

edit2: achso nein, doch nicht 8[

edit3: achso doch, ja so geht das schon.

edit4: nein doch nicht.

 

[Myta]

edit: arrgh, ne, ich habs schon gecheckt.

edit2: achso nein, doch nicht 8[

edit3: achso doch, ja so geht das schon.

edit4: nein doch nicht.

Loesung:

Spoiler

die summanden der null sind extrem klein da w(5)-w(2) < 1. wir verwenden also erstmal nur den ersten:
(w(5)+w(2))^2012+(w(5)-w(2))^2012
betrachtet man die binomialkoeffizienten sieht man dass alle ungerade exponenten rausfallen, da der zweite summand immer den negativen wert des ersten liefert. damit verschwinden also die wurzeln. alle summanden der form 2^x+5^y mit x >0 && y>0 interessieren uns nicht, da diese irgendwie die form zzzz0.0 haben (2*5=10). wir brauchen also nur die stelle vor und nach dem komma von 5^1006 + 2^1006. nach dem komma ist logischerweise eine null. die davor ist auch leicht auszurechnen auch wenn ich jetzt zu faul dafuer bin (5 von der 5, und die erste stelle von 2^n ist periodisch...). jetzt noch (w(5)-w(2))^2012, also etwas sehr sehr kleines abziehen, was aus der stelle nach dem komma eine 9 macht und die davor um eins senkt.

 

[Brusko651]

Loesung:

Spoiler

die summanden der null sind extrem klein da w(5)-w(2) < 1. wir verwenden also erstmal nur den ersten:
(w(5)+w(2))^2012+(w(5)-w(2))^2012
betrachtet man die binomialkoeffizienten sieht man dass alle ungerade exponenten rausfallen, da der zweite summand immer den negativen wert des ersten liefert. damit verschwinden also die wurzeln. alle summanden der form 2^x+5^y mit x >0 && y>0 interessieren uns nicht, da diese irgendwie die form zzzz0.0 haben (2*5=10). wir brauchen also nur die stelle vor und nach dem komma von 5^1006 + 2^1006. nach dem komma ist logischerweise eine null. die davor ist auch leicht auszurechnen auch wenn ich jetzt zu faul dafuer bin (5 von der 5, und die erste stelle von 2^n ist periodisch...). jetzt noch (w(5)-w(2))^2012, also etwas sehr sehr kleines abziehen, was aus der stelle nach dem komma eine 9 macht und die davor um eins senkt.

ahja so ähnlich hatte ich mir das auch gerade gedacht, wollte es gerade posten^^

also welche Zahlen sollen jetzt als Ergebnis rauskommen? oO

Wenn man (w(2) + w(5))^2012 + (w(2)-w(5))^2012 rechnet, dann hat man ja zweimal den Summanden 2^1006 und zweimal den Summanden 5^1006.
Man müsste also die 4 (ich glaub es war eine 4?) von 2^1006 und die 5 von 5^1006 hernehmen, und dann nochmal verdoppeln, sodass man insgesamt 4+4+5+5 = 8 erhält.
also 7,9 ist dann die Lösung oder?

 

[ROOT]

puhh, und das nennst du einfach.
hab jetzt selbst mit der lösung noch 5 minuten gebraucht um alles nachzuvollziehen. Du meinst übrigens 2^x * 5^y, nicht +.

biste denn selbst drauf gekommen?
und ohne papier würd ich das nicht rechnen

 

[Myta]

jo
edit: das jo war auf bruce bezogen.

@root:
ja das sollte nen * sein.
nein ich bin nicht drauf gekommen, ich habe diese null einfach nicht gefunden.

 

[ROOT]

not bad :<

 

[Brusko651]

Mathematica spuckt aus:

10^1131 mal:
2.51559428693474376817859783602424920063293764833822294090225950641209\
7875263918846337179995731252048066358171496567769094574810701409733201\
2313476881826386283142299770204950848550547708675456905002971766178376\
7186128656165545515040183449356419425833963480949694777380264297455538\
5298903826294869304989037284441655950974401117787866295389643810934028\
7502419415474603611390220124977412849385567587159806589209454641154808\
0312349589679465216420716573309206859026683828272574900248246481620997\
5122450323038601556905583398086948412687203652625149193917710784342023\
9907049410841935358653636728951881460695793693043713420792703652984814\
5309073395454245896502433738447635808827831130971075286888301508935060\
0724500004592505701163954633356502736336140122753419862225226659021662\
4504587573024271773403735221990898309289781686366976691454891161061713\
5742658541119903197412680200713514190462596700956798223761649585558809\
0851848259170455229504044714483880246635303798610507808777871027075965\
3161367792691358210794384812518681505011083606008208762429264945808685\
8935606669924465605922841394977556616272101419848689837602660071319214\
7200188836497999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999\
9999999999999999999999999999999999999999999963074711581628196554243460\
9527435095150052190285651595828786316195235991451206600559614730488028\
2

Man beachte die Stelle wo eine 7 ist und dann 999999999999999999999999999999999.
Das ist glaube ich genau die Stelle, wo das Komma rein gehört (wenn man die Zahl in normaler Dezimaldarstellung aufschreibt.)
Ich habs zuerst nur auf 1140 Stellen oder so ausrechnen lassen, und da sah's immer so 800000000000000 aus, weil's immer gerundet hat, und ich so "wtf where is my 79????".
true story.
Also jedenfalls scheint der computer unsere Rechnung zu bestätigen.

 

[ROOT]

jo, tatsächlich. wenn man die zahl mal in ne einzelne zeile pasted und den dezimalpunkt an die 1133. position zieht passt es genau.

ganze rechenmüh umsonst

 

[Brusko651]

Ich poste mal ein neues:

rätsel#16:
Sei f: R² -> R eine Funktion, sodass f(x,y) + f(y,z) + f(z,x) = 0 für alle x,y,z in R.
Zeige, dass es eine Funktion g:R -> R gibt, sodass f(x,y) = g(x) - g(y) für alle x,y in R.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Da ich das vorm Schlafengehen vermutlich nicht mehr lösen werde, hiermal was ich mir bisher überlegt habe:

Spoiler

Scheinbar läuft das ja irgendwie auf das "f(x,y) ist mehr oder weniger linear" hinaus.
Ich habe:
f(x,y)+f(y,x)+f(x,x) = f(x,y)+f(y,y)+f(y,x) ->
f(x,x) = f(y,y) -> f(x,x) = const.

->
f(x,x)+f(x,x)+f(x,x) = 3*f(x,x) = 0 -> f(x,x) = 0

Aus f(x,x) = f(y,y) folgt ferner f(x,y) = f(x-y)
Ferner gilt:
f(x,x)+f(x,z)+f(z,x) = 0
->0+f(x-z)+f(z-x) = 0
-> f(x-z) = -f(z-x) = -f(-(x-z)), also punktsymmetrie.
Ok, ich habe es jetzt doch glaube ich:
Mit dem krams folgt:
f(x-y)+f(y-0)+f(0-x) = 0
-> f(x-y) = -f(y)-f(-x) =f(x)-f(y),also g(x) = f(x,0)

Nicht lachen wenn ich nen üblen schnitzer gemacht hab

 

[Myta]

edit: hier stand mist, ich bin müde
edit2:

Spoiler

sei x=y=z -> f(x,x)=0
sei x=z und f(x,x)=0 -> f(x,y)=-f(y,x)
-> f(x,y)= -f(y,z)-f(z,x)=f(x,z)-f(y,z) -> g(x)=f(x,z)

 

[Brusko651]

Jop, das stimmt schon so, so hab ichs auch gemacht.

Also kingcools, du hast es schon richtig, abgesehen davon, dass du teilweise verwirrende notation wie f(x-y) oder f(-x) verwendest, so als wäre f eine Funktion von R nach R. Das Argument von f muss natürlich immer ein Paar von Zahlen sein, also f(x,y) oder f(0,x)

Myta hat's auch nochmal auf den Punkt gebracht (mit korrekter Notation ). Man könnte noch hervorheben, dass für z im letzten Schritt eine fixe Zahl hergenommen wird, wie z.B. z=0.

€: Die Aufgabe war übrigens vom "putnam contest", einem relativ großen amerikanischen mathe-contest für studenten (ist eine der leichteren aufgaben)

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Jop, das stimmt schon so, so hab ichs auch gemacht.

Also kingcools, du hast es schon richtig, abgesehen davon, dass du teilweise verwirrende notation wie f(x-y) oder f(-x) verwendest, so als wäre f eine Funktion von R nach R. Das Argument von f muss natürlich immer ein Paar von Zahlen sein, also f(x,y) oder f(0,x)

Myta hat's auch nochmal auf den Punkt gebracht (mit korrekter Notation ). Man könnte noch hervorheben, dass für z im letzten Schritt eine fixe Zahl hergenommen wird, wie z.B. z=0.

€: Die Aufgabe war übrigens vom "putnam contest", einem relativ großen amerikanischen mathe-contest für studenten (ist eine der leichteren aufgaben)

Naja, was ich meinte ist, dass f(x,y) irgendwie so aussehen muss:
f(x,y) = g(x-y) z.B. (x-y)²

 

[Brusko651]

Naja, was ich meinte ist, dass f(x,y) irgendwie so aussehen muss:
f(x,y) = g(x-y) z.B. (x-y)²

Jo das stimmt aber nicht.
f(x,y) muss von der Form g(x) - g(y) sein, für irgendeine Funktion g.

Von der Form g(x-y) ist es aber im Allgemeinen nicht. Das würde ja heißen, dass z.B. auf jeden Fall f(5,3) = f(3,1) sein muss, weil 5-3=3-1.
Das stimmt aber im Allgemeinen nicht, weil wenn man z.B. definiert f(x,y)=x^2-y^2
Dann ist f(5,3) = 25 - 9 = 16
während f(3,1) = 9-1 = 8.
(hier hab ich für die FUnktion g jetzt z.B. einfach g(x)=x^2 gewählt (und mir zunutze gemacht, dass auch die Umkehrung des eben bewiesenen Satztes trivialerweise gilt, d.h. für jede beliege FUnktion g erfüllt die FUnktion f(x,y):=g(x)-g(y) die gegebene Funktionalgleichung.))

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Jo das stimmt aber nicht.
f(x,y) muss von der Form g(x) - g(y) sein, für irgendeine Funktion g.

Von der Form g(x-y) ist es aber im Allgemeinen nicht. Das würde ja heißen, dass z.B. auf jeden Fall f(5,3) = f(3,1) sein muss, weil 5-3=3-1.
Das stimmt aber im Allgemeinen nicht, weil wenn man z.B. definiert f(x,y)=x^2-y^2
Dann ist f(5,3) = 25 - 9 = 16
während f(3,1) = 9-1 = 8.
(hier hab ich für die FUnktion g jetzt z.B. einfach g(x)=x^2 gewählt (und mir zunutze gemacht, dass auch die Umkehrung des eben bewiesenen Satztes trivialerweise gilt, d.h. für jede beliege FUnktion g erfüllt die FUnktion f(x,y):=g(x)-g(y) die gegebene Funktionalgleichung.))

Ich hatte (x-y)² nur zum verdeutlichen des g(x-y) benutzt. das f nicht so aussehen kann, folgt aus anderen bedingungen.

 

[Brusko651]

Ich bin eh nicht auf das Beispiel (x-y)^2 eingegangen, sondern habe die Funktion f(x,y)=x² -y² als eigenes Gegenbeispiel vorgebracht, um zu zeigen, dass die Funktion f so beschaffen sein kann, dass es unmöglich eine Funktion g mit f(x,y) = g(x-y) (für alle x,y in R) geben kann.

Übrigens wärst jetzt du dran, ein Rätsel zun posten
(oder Myta, dunno lol, wer halt eines weiß ^^''\_(o.o)_/')

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Ich bin eh nicht auf das Beispiel (x-y)^2 eingegangen, sondern habe die Funktion f(x,y)=x² -y² als eigenes Gegenbeispiel vorgebracht, um zu zeigen, dass die Funktion f so beschaffen sein kann, dass es unmöglich eine Funktion g mit f(x,y) = g(x-y) (für alle x,y in R) geben kann.

Übrigens wärst jetzt du dran, ein Rätsel zun posten
(oder Myta, dunno lol, wer halt eines weiß ^^''\_(o.o)_/')

Da hast du auch wieder recht. Ich ab kein Rätsel auf Lager, falls Myta eins hat soll er das posten

 

[Myta]

eine gruppe von 20 Piraten haben einen Schatz gefunden: 1000 Dukaten.
Die Aufteilung erfolgt nach altbewährter Methode: der Ranghöchste schlägt eine Aufteilung vor, und dann wird abgestimmt. Stimmen 50% oder mehr dafür wird so aufgeteilt, wenn nicht wird der Ranghöchste getötet und der nächste ist dran.
Jeder Pirat möchte gerne am Leben bleiben und so viel Geld wie möglich haben. Wie wird aufgeteilt? Wie üblich sind die Piraten perfekte Logiker, dies ist jedem Pirat bekannt usw.

 

[Arvor]

eine gruppe von 20 Piraten haben einen Schatz gefunden: 1000 Dukaten.
Die Aufteilung erfolgt nach altbewährter Methode: der Ranghöchste schlägt eine Aufteilung vor, und dann wird abgestimmt. Stimmen 50% oder mehr dafür wird so aufgeteilt, wenn nicht wird der Ranghöchste getötet und der nächste ist dran.
Jeder Pirat möchte gerne am Leben bleiben und so viel Geld wie möglich haben. Wie wird aufgeteilt? Wie üblich sind die Piraten perfekte Logiker, dies ist jedem Pirat bekannt usw.

Bin ziemlich müde, könnte also ein das ich mich irre, aber ich denke das ist die Lösung (jetzt auch mit Begründung):

Spoiler

3, 5, 7, ... , 19 kriegen je 1 Dukat, 1 kriegt den Rest.

Lösung:
sehen wir uns das Ende des Spiels an:

- - ... - - 19 20
19 kann alleine entsheiden 20 kriegt also nichts

-- ... - - 18 19 20
wenn das Angebot abgelehnt wird kriegt 20 nichts, er muss also alles annehmen bei dem er irgendwas kriegt
-> 18 rest, 19 nichts, 20 1

-- ... - - 17 18 19 20

wenn das Angebot abgelehnt wird kriegt 19 nichts, er muss also alles annehmen bei dem er irgendwas kriegt
-> 17 rest, 18 nichts, 19 1, 20 nichts

und so weiter..

 

[ROOT]

Darf derjenige der die Aufteilung vorschlägt mitabstimmen?

 

[Arvor]

Darf derjenige der die Aufteilung vorschlägt mitabstimmen?

so hab ich das interpretiert.

 

[Myta]

Darf derjenige der die Aufteilung vorschlägt mitabstimmen?

ja
und die loesung von fang3 ist richtig