Mathe Rätsel Marathon

[zoiX]

Warum ist die Lösung eindeutig? Ich versteh nicht recht, warum bei folgendem Fall:

... - - 17 18 19 20

17 ausgerechnet 19 eine Dukate geben muss. Er kriegt doch genau so 50% der Stimmen, wenn er 20 eine Dukate gibt und 18, sowie 19, leer ausgehen...

 

[Brusko651]

Es könnte halt sein, dass 20 ein Sadist ist, und lieber noch jemanden sterben sehen will, auch wenn es für ihn dann letzten Endes auf den selben Anteil am Schatz hinausläuft. Ist immerhin ein Pirat^^.
Von daher geht 17 vielleicht eher auf Nummer sicher, indem er 19 einen Anteil gibt.

Ich hab das aber jetzt auch nicht so richtig durchgedacht. Also 100% überzeugt bin ich auch nicht von der Lsg, aber kann schon sein, dass sie irgendwie Sinn ergibt

 

[Arvor]

Es könnte halt sein, dass 20 ein Sadist ist, und lieber noch jemanden sterben sehen will, auch wenn es für ihn dann letzten Endes auf den selben Anteil am Schatz hinausläuft. Ist immerhin ein Pirat^^.
Von daher geht 17 vielleicht eher auf Nummer sicher, indem er 19 einen Anteil gibt.

genau. der von mir beschriebene Weg sollte der einzige sein, der angenommen werden MUSS.

Wer ein neues Rätsel hat möge es stellen.

 

[Brusko651]

Ist vielleicht ein bisschen banal, aber die Gleichung hat, finde ich, eine gewisse Ästhetik, und man kann's auch relativ schnell lösen, wenn man's ein bisschen geschickt angeht.

rätsel #18:
Man bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung
(x - 4)(x² - 8x + 14)² = (x - 4)³

 

[ROOT]

x = 4 obv.

für x != 4:
(x²-8x+14)² = (x-4)²
x²-8x+14 = x-4
x²-9x+18 = 0
x1,2 = 4.5 +- sqrt(81/4-18) = 4.5 +- sqrt(9/4) = 6; 3

keine weiteren Lösungen (kubisch)

naja, ist jetzt irgendwie nix dran? ^^

freirunde, kenne leider keine rätsel :/

 

[Brusko651]

hehe die Gleichung ist aber fünften Grades und du hast 2 Lösungen übersehen

 

[Myta]

er hat vergessen noch x^2+10x+10 zu loesen... bin aber selbst zu faul das auszurechnen.

 

[ROOT]

ups ^^

 

[Brusko651]

Jo also
(x²-8x+14)² = (x-4)²
ist nämlich äquivalent zu
x²-8x+14 = x-4 ODER x²-8x+14 = 4-x

Somit hat man dann als Lösungsmenge {2,3,4,5,6}. yay!

edit: in myta's post müsste es 7x heißen, nicht 10x. und - statt +. hmm, ist irgendwie überhaupt eine ganz andere gleichung^^

 

[ROOT]

bei der wurzel hab ich noch dran gedacht, aber dann dacht ich mir is kubisch und ich hab 3 lösungen, passt

 

[Myta]

du hast recht, ich hab nicht so genau hingeschaut da ich die gleichung sowieso nicht lösen wollte ^^

 

[Brusko651]

Ok, dann poste ich mal ein schweres. Da muss man schon Matrizen drauf haben, also nichts für Kinder (außer es sind Mathemagische Kinder)
Falls länger niemand drauf kommt, gebe ich nach etwa 24h einen Hinweis, ist nämlich schon relativ schwer, imo.

Ok:
rätsel #19:
Seien A,B zwei n-mal-n Matrizen mit reellen Einträgen, sodass AB = A+B.
Beweise, dass rang(A) = rang(B).

 

[Myta]

ist das Problem "einfach" zu lösen wie das mit der ^2012 oder muss man das schriftlich machen? also bin ich auf dem falschen weg wenn ich ein paar zeilen gleichungen habe?

 

[sesslor]

A = AB - B = (A - 1) B => rang(A) <= rang(B)
B = AB - A = A (B - 1) => rang(B) <= rang(A)

Daher rang(A) = rang(B), falls ich in meiner Besoffenheit jetzt nicht Scheisse gebaut habe. Freirunde da ich mal wieder kein Rätsel weiß (wenn es stimmt).

 

[Brusko651]

Jo not bad

€: für eine alternative Lösung siehe hier
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=351&t=18148
gibt mehrere schöne Lösungen eigentlich : )

 

[zerg123]

genau. der von mir beschriebene Weg sollte der einzige sein, der angenommen werden MUSS.

Wer ein neues Rätsel hat möge es stellen.

Imho ist aber die Antwort dieses Rätsels aber falsch, da es nicht im Interesse der Piraten ist sich rein logisch zu verhalten und das auch der jeweils vorschlagende Pirat weiss, der neben der Maximierung des Gewinnes auch noch sein eigenes Leben als Priorität zu erhalten hat.
Nur weil alle Piraten perfekte Logiker sind heisst das noch lange nicht, dass sie auch perfekt logisch handeln. Auch der Zufall kann für sie durchaus von Vorteil sein.
Solch einen Zufall können sie aber absichtlich erzeugen indem sie den ersten Piraten "grundlos", d.h. auch bei einer Viel-0-1-0-1... Verteilung das zeitliche segnen lassen.
Da das vorhandene Gold danach auf 19 statt auf 20 Piraten verteilt wird sollten eigentlich alle Piraten danach besser gestellt sein.

3, 5, 7, ... , 19 kriegen je 1 Dukat, 1 kriegt den Rest.

Diese wissen also:
Wenn wir uns logisch verhalten, dann bekommen wir 1 Dukate, wenn wir uns nicht logisch verhalten dann bekommen wir ??? . Keine Ahnung wie man es ausrechnet wenn sich jeder unglogisch/chaotisch verhält aber eigentlich müsste der Erwartungswert im Chaos doch deutlich über einer Dukaten liegen?

 

[Brusko651]

naja aber zumindest in den extremfällen sieht man schon, dass sie logisch handeln müssen, wenn sie wissen, dass die anderen Piraten genau so schlau sind wie sie, und sie ihren Gewinn maximieren wollen.

Also wenn nur mehr 3 Piraten übrig sind:
18, 19, 20

Dann muss 20 jedem Vorschlag zustimmen, bei dem er irgendetwas bekommt, weil sonst kann er sich sicher sein, dass er garnichts bekommt.
Wenn sich dies nun schlüssig weiter argumentieren lässt von
3 Piraten -> 4 Piraten -> 5 Piraten ..... -> 20 Piraten
dann bleibt ihnen ja wohl keine andere Wahl, als so zu handeln. Ob sich dies wirklich stichfest argumentieren lässt, weiß ich auch nicht.

Piraten zwei bis 20 wollen ja auch nicht ihren kollektiven Gewinn maximieren, sondern jeder seinen eigenen Gewinn.

 

[Brusko651]

Wobei andererseits hast du vielleicht doch recht.^^
Wenn Pirat 1 diese Verteilung vorschlägt, bei der er selbst 991 Dukaten oder so bekommt, und die anderen sagen einfach "lol gieriger bastard" und erschießen ihn, dann ist pirat 2 ja quasi gezwungen, ihnen erheblich mehr rauszurücken, wenn er nicht auch sterben will.
Also etwas stimmt da nicht.

 

[sesslor]

Ich denke man kann es mittels Induktion formal einwandfrei lösen.

Angenommen es sind x Piraten, und diese müssten dieses 0-1-0-1-0... Angebot annehmen (also die die halt 1 bekommen), da es für sie am lukrativsten ist. Dann müssen bei x+1 Piraten diese wiederrum das 0-1-0... Angebot annehmen, da die, die jetzt die 1 Dukate bekommen, bei x Piraten 0 bekommen würden. So weit dürfen sie es also nicht kommen lassen.
Induktionsanfang ist halt bei x=3, das wurde ja schon argumentiert. Ich sehe nicht, wo das nicht wasserdicht ist.

 

[Brusko651]

Ich poste mal ein neues:

rätsel #20:
Man bestimme den kleinsten Wert, den

für positive reelle Zahlen a,b,c mit

annimmt.

 

[zerg123]

Die Frage ist warum sich die perfekten Logiker überhaut darauf einlassen sollten das mittels Induktion zu lösen. Wenn sie es machen, dann ist ihr Ergebnis ja schon vorgeben, nämlich:
1*991
9*1
10*0

Entscheiden sie sich aber dazu das ganze anders anzugehen, z.B. auszuwürfeln, dann ist der Erwartungswert jetzt doch für 19 der 20 Piraten deutlich höher als 1 bzw 0 Dukaten. Warum also überhaupt hier die Induktion anwenden, wenn es doch andere Mittel gibt die für 19 der 20 Piraten besser sind?

 

[Brusko651]

Die Frage ist warum sich die perfekten Logiker überhaut darauf einlassen sollten das mittels Induktion zu lösen. Wenn sie es machen, dann ist ihr Ergebnis ja schon vorgeben, nämlich:
1*911
9*1
10*0

Entscheiden sie sich aber dazu das ganze anders anzugehen, z.B. auszuwürfeln, dann ist der Erwartungswert jetzt doch für 19 der 20 Piraten deutlich höher als 1 bzw 0 Dukaten. Warum also überhaupt hier die Induktion anwenden, wenn es doch andere Mittel gibt die für 19 der 20 Piraten besser sind?

weil immer nur ein Pirat in der Position ist, aufzuteilen, und der wird natürlich immer nen großen Anteil für sich rausholen wollen und so.

 

[zerg123]

Und du meinst 0 bzw erschossen werden ist ein großer Anteil oder wie soll man das verstehen?

Offensichtlich ist der eine Pirat auf die Kooperation der anderen angewiesen. Bzw genauer gesagt der hälft der Piraten.

 

[RST]

Ich poste mal ein neues:

rätsel #20:
Man bestimme den kleinsten Wert, den

für positive reelle Zahlen a,b,c mit

annimmt.

f(a) = (a+1)/a(a+2) = 0.5*(1/a+1/(a+2)) ist für 0<a<=3 monoton fallend, also müssen a,b,c möglichst gross sein und die Ungleichung a+b+c<=3 wird zur Gleichung a+b+c=3.
Sei c beliebig aber fest, sei x=a-b und y=a+b=3-c => ab = (y^2-x^2)/4.
Wenn (a,b,c) die gesuchte Lösung sein soll, muss auch f(a)+f(b) in Abhängigkeit von x (einzige freie Variable) minimal sein:
f(a)+f(b)=...=y/ab+(y+4)/(ab+2y+4) ist monoton fallend in ab => f(a)+f(b) minimal <=> ab maximal <=> x minimal <=> x = 0 <=> a = b
Analog lässt sich a = c und b = c zeigen.
Also ist a = b = c = 1 und der gesuchte Wert ist 3*f(1) = 2.

 

[Brusko651]

f(a) = (a+1)/a(a+2) = 0.5*(1/a+1/(a+2))

das scheint mir nicht ganz richtig. auch wenn die Konklusion, dass f fallend ist, wiederum stimmt.

f(a)+f(b)=...=y/ab+(y+4)/(ab+2y+4)

könntest du die Rechenschritte posten, die da hin führen?

ansonsten scheint die Lösung zu passen. Sehr kreativ
Statt "x minimal" sollte es glaube ich "|x| minimal" heißen, also, der Betrag von x soll minimal sein, weil x^2 soll ja möglichst klein sein.



ModEdit:
nevermind, bin schon selbst draufgekommen, wie die Rechenschritte zu machen sind. Bei mir kommt aber (1/2)mal der Ausdruck raus, den RST angegeben hat.

ich poste mal die Schritte:

f(a) + f(b)
= (a+1)/(a*(a+2)) + (b+1)/(b*(b+2))
= 1/(2a) + 1/(2(a+2)) + 1/(2b) + 1/(2(b+2))
= (a+b)/2ab + (a+2 + b+2)/(2*(a+2)(b+2))
= y/2ab + (y+4)/(2*(ab + 2y+ 4))

ok somit ist diese Lücke dann auch geschlossen, und der Beweis hat meinen Segen.



zoiX: Ich hab deinen Doppelpost mal zusammengefasst, wir wollen ja hier nich unnötig Posts generieren

 

[RST]

Ich hab die Rechnung auf Schmierzettel gemacht und dort die unwichtigen Vorfaktoren weggelassen, hab dann beim Aufschreiben den Faktor 1/2 vergessen.
Neue Aufgabe:
Ordnen Sie die Zahlen von 1 bis n ohne Wiederholungen so an, dass die
Summe je zweier benachbarter Zahlen ein Quadrat ergibt. Bestimmen Sie das
kleinste n > 1, für das dieses möglich ist.

 

[Brusko651]

Die kleinste Zahl ist 15.

Anordnung:
8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9

Lösungsweg:
schreibe die Zahlen von 1 bis - sagen wir mal - 10 (oder so) auf einen Zettel und verbinde jeweils zwei Zahlen mit einem Strich, wenn ihre Summe ein Quadrat ist. (€: schreibe sie nicht in einer Reihe, sondern ein bisschen verteilt auf dem Blatt.)
Dadurch ergibt sich ein Graph, und die Frage ist nun, ob es in diesem Graph einen Pfad gibt, der jede Ecke (also jede Zahl) genau einmal enthält. (man nennt das einen Hamilton Pfad in der Graphentheorie.)
Man kann das relativ leicht rein visuell überprüfen, ob es so einen Pfad gibt. Fängt man so zB mit den Zahlen 1 bis 10 an, und verbindet sie zu so einem Graphen, dann sieht man gleich mal, dass es in ihnen keinen solchen Pfad gibt.
Nun kann man einfach sukkzessive weitere Ecken hinzufügen: 11,12..., jeweils immer gleich mit den entsprechenden vorherigen Zahlen verbinden (mit denen die Summe ein Quadrat ist), und schauen, ob es einen Hamilton Pfad gibt.
Wenn man schließlich die Zahlen 1 bis 15 so aufgemalt hat, dann sieht man den Pfad.

neues Rätsel:
rätsel #22:
Finde alle Primzahlen p, für die 5^p + 4p^4 eine Quadratzahl ist.
5^p + 4p^4 in LateX geschrieben

 

[TealC12]

Die kleinste Zahl ist 15.

Anordnung:
8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9

Lösungsweg:
schreibe die Zahlen von 1 bis - sagen wir mal - 10 (oder so) auf einen Zettel und verbinde jeweils zwei Zahlen mit einem Strich, wenn ihre Summe ein Quadrat ist. (€: schreibe sie nicht in einer Reihe, sondern ein bisschen verteilt auf dem Blatt.)
Dadurch ergibt sich ein Graph, und die Frage ist nun, ob es in diesem Graph einen Pfad gibt, der jede Ecke (also jede Zahl) genau einmal enthält. (man nennt das einen Hamilton Pfad in der Graphentheorie.)
Man kann das relativ leicht rein visuell überprüfen, ob es so einen Pfad gibt. Fängt man so zB mit den Zahlen 1 bis 10 an, und verbindet sie zu so einem Graphen, dann sieht man gleich mal, dass es in ihnen keinen solchen Pfad gibt.
Nun kann man einfach sukkzessive weitere Ecken hinzufügen: 11,12..., jeweils immer gleich mit den entsprechenden vorherigen Zahlen verbinden (mit denen die Summe ein Quadrat ist), und schauen, ob es einen Hamilton Pfad gibt.
Wenn man schließlich die Zahlen 1 bis 15 so aufgemalt hat, dann sieht man den Pfad.
[/URL]

Machst du es dir nicht viel zu kompliziert?

n = 1,000...01
Die Punkte stehen natürlich für "unendlich viele" Nullen.

Die Summe ist dann 2,000...01; was das Quadrat zu sqrt(2,000...01) ist.

Spoiler

 

[RST]

Machst du es dir nicht viel zu kompliziert?

n = 1,000...01
Die Punkte stehen natürlich für "unendlich viele" Nullen.

Die Summe ist dann 2,000...01; was das Quadrat zu sqrt(2,000...01) ist.

Spoiler

Ok, die Aufgabe ist nicht eindeutig genug gestellt, trotzdem ist diese Lösung denke ich falsch, da du die Reellen Zahlen aufgrund ihrer Überabzählbarkeit nicht anordnen kannst, auf |R betrachtet gibt es daher keine Lösung.

Lösung zu Rätsel 22 als Spoiler, damit der Rest noch knobeln kann und ich gerade kein neues Rätsel habe.

Spoiler

Sei x²=5^p+4p^4:
x²-(2p²)² = 5^p = (x+2p²)*(x-2p²)
-> 5|(x+2p²) und 5|(x-2p²)
-> 5|((x+2p²)-(x-2p²)) <=> 5|4p²
-> 5|p²
Da p prim ist, ist p=5 die einzig mögliche Lösung.
Test: 5^5+4*5^4=3125+2500=5625=75²
=> p=5 ist die einzige Primzahl, für die 5^p + 4p^4 eine Quadratzahl ist.

 

[Brusko651]

Jop, das stimmt ziemlich mit der Musterlösung überein.

Du hast lediglich den Fall übersehen, dass

Spoiler

(x-2p²)=5^0=1 sein könnte (und somit nicht durch 5 teilbar.)
Für den Fall ergeben sich aber keine zusätzlichen Lösungen, weil dann wäre x=2p²+1 und es müsste (x+2p²) = 5^p sein, also insgesamt 4p² + 1 = 5^p,
und man kann aber zeigen, dass für alle natürlichen Zahlen n größergleich 2 stets
5^n > 4n² + 1 ist.

 

[RST]

Den Fall kann man viel einfacher ausschließen, da

Spoiler

p prim und somit p|= 0

Rätsel #23
Berechne die Grenzwerte von sqrt(x²+x+1)-sqrt(x²-x+1) für x->±∞

 

[Brusko651]

Den Fall kann man viel einfacher ausschließen, da

Spoiler

p prim und somit p|= 0

ne ne.
Du hast ja nur:
5^p = (x+2p²)*(x-2p²)
Nun kann man daraus schließen, dass x+2p² und x-2p² beides Teiler von 5^p sein müssen. Daraus hast du darauf geschlossen, dass beide durch 5 teilbar sein müssen. Es gibt aber auch noch die Möglichkeit, dass x-2p²=1 ist, weil 1 ist ja auch ein Teiler von 5^p (der nicht durch 5 teilbar ist.)
Diesen Fall hast du nicht behandelt, das hab ich gemeint.

 

[RST]

oh, ja das habe ich in der Tat übersehen, sogar noch nach deinem Hinweis..

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Rätsel #23
Berechne die Grenzwerte von sqrt(x²+x+1)-sqrt(x²-x+1) für x->±∞

Alter, wie ich es hasse: Diese Aufgabe(bzw diese Art Funktion bei Grenzwertbestimmungen hatten wir bei Analysis und schon damals konnte ich das nicht lösen. Jetzt auch nicht Ist zwar klar dass das gegen -1 bzw 1 läuft, aber formal beweisen weiß ich ad hoc nicht.
Wenn man beides mit binomischen Formeln(bzw. quadratischer ergänzung) zu klammern umformt ist es offensichtlich, aber wie gesagt, formal beweisen weiß ich gerade nicht.

 

[sesslor]

Mag zwar mathematisch auch nicht 100%ig sein, aber ich habs mir so überlegt:

sqrt(x^2+x+1) = x sqrt(1+ (1/x) + (1/x)^2)

Die Wurzel hat die Taylorentwicklung
sqrt(1+a) = 1 + (1/2) a + ...

Für große x geht also sqrt(1+ (1/x) + (1/x)^2) beliebig genau gegen 1 + (1/2x),
und damit x sqrt(1+ (1/x) + (1/x)^2) gegen x + (1/2). Dann ist der Rest ja klar.

 

[Brusko651]

das wäre glaube ich so ca. das standard procedere bei solchen Aufgaben:
einfach auf einen Bruch erweitern, indem man (a+b)(a-b)=a²-b² ausnutzt, und dann so kürzen, dass man von Zähler und Nenner den Grenzwert bilden kann.

(sgn ist die Vorzeichenfunktion.
sgn(x)=1 für x>0
sgn(x)=-1 für x<0)

 

[RST]

jo 1 bzw -1 ist die richtige Lösung. Musterlösung war wie von Bruce, aber das mit der Taylorentwickung sieht auch korrekt aus.

 

[Brusko651]

ok, nachdem Sesslor meistens keines hat, poste ich mal ein neues.

Das hab ich sogar selbst erfunden
Aber natürlich nur, nachdem ich eine ähnliche Ungleichung im Internetz gesehen hatte.

Rätsel #24:
Seien a,b,c € (0,1), also a,b,c sind reelle Zahlen mit 0<a,b,c<1.

Zeige, dass

.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Beweis per Widersprich:
wäre es falsch, hätte die Aufgabe nicht so gelautet

 

[TealC12]

Muss man da nicht einfach mit den Nennern multiplizieren, dann alles ausmultiplizieren und umformen? Fallunterscheidung ist zar nicht nötig, da alle Nenner positiv sind, aber scheint trotzdem ziemlich schreibaufwendig zu sein.