Ungleichung zwischen 0 und 1

[Brusko651]

Hoi,

ich arbeite mich momentan durch einige alte mathematik-olympiade aufgaben, vor allem ungleichungen, und da bin ich jetzt bei dieser hier hängen geblieben, zu der mir einfach überhaupt nichts einfällt.

Hab auch schon probiert einfach alles auszumultiplizieren, aber das ist mir dann doch etwas zu unübersichtlich geworden^^

help is appreciated.

 

[zoiX]

Neu uploaden bitte

 

[Brusko651]

hmm bei mir sieht mans ganz normal.
hier nochmal woanders hochgeladen:

und als text:

Spoiler

Man zeige für a,b,c € [0,1]:

a/(b+c+1) + b/(a+c+1) + c/(a+b+1) <= 1 - (1-a)(1-b)(1-c)

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

hast du es schon mit knallhartem auflösen und ausmultiplizieren versucht?

 

[Brusko651]

Jo hab versucht alles auszumultiplizieren aber das is mir dann zu unübersichtlich geworden mit ungefähr fünfzig ausdrücken wie a²b²c und ab²c und a³c und so weiter auf beiden seiten. 8[

 

[narc]

Ich würde zunächst mal annehmen, dass a =< b =< c ist, dann kannst du die jeweils gegeneinander abschätzen. Vielleicht hilft das was. Außerdem sollte man noch irgendwie benutzen, dass die Zahlen kleiner 1 sind, also z.b. a^3 < a^2 gilt. Vielleicht kann man damit das Ausmultiplizierte dann beherrschen.

 

[zoiX]

Komischerweise seh ichs jetzt btw. auch, eben stand da das Bild sei von nem Admin oder dir selber gelöscht worden...

 

[mfb]

Ich würde zunächst mal annehmen, dass a =< b =< c ist, dann kannst du die jeweils gegeneinander abschätzen.

Da das Problem symmetrisch in den drei Variablen ist, wird das nichts bewirken. Solange man diese Symmetrie nicht bricht, erhält man immer Ausdrücke im Stil von "+a+b+c", "+ab+ac+bc" und Ähnliches.


Man kann schon was bewirken mit solchen Abschätzungen wie a^2 <= a oder auch etwas trickreicher 2a <= a^2+1 (folgt aus 0 <= (a-1)^2).
Ein Ansatz von mir, das zu vereinfachen, ist am Ende an 1-2 einzelnen Ausdrücken gescheitert - gut möglich, dass das ein Rechenfehler von mir war und dieser Weg eigentlich schon geht.
Eine Lösung, die ganz ohne Termrumschieberei auskommt, habe ich aber nicht gefunden.


Falls
-(a+b+1)-(a+c+1) -(2a+b+c+2) -2a + 2(1-b)(1-c)(b+c+1)(2a+b+c+2) + 2(1-(1-a)(1-b)(1-c))(b+c+1) <= 0
für alle erlaubten a,b,c, dann gilt die obige Ungleichung. Das kann man noch deutlich vereinfachen, sodass man nicht allzu viele umständliche Terme ausmultiplizieren muss.



Ein interessanter Punkt: Für a=0 und für a=1 (analog b,c) sind beide Seiten genau gleich.

 

[Brusko651]

Da das Problem symmetrisch in den drei Variablen ist, wird das nichts bewirken. Solange man diese Symmetrie nicht bricht, erhält man immer Ausdrücke im Stil von "+a+b+c", "+ab+ac+bc" und Ähnliches.

hmm also nach meiner Erfahrung kann es bei symmetrischen Ungleichungen schon etwas nützen eine Ordnung festzulegen.
z.b. die Ungleichung von Schur:
a^r * (a-b)(a-c) + b^r * (b-a)(b-c) + c^r * (c-a)(c-b) >= 0
.. ist auch symmetrisch und man kann trotzdem recht schnell ihre Richtigkeit überprüfen indem man oBdA eine Ordnung festlegt.

 

[Brusko651]

So, also ich habe jetzt auch in einem mathe-olympiade forum nachgefragt und hab gleich zwei Lösungen bekommen.

enjoy :

Spoiler

Spoiler

(edit: das "warum" ist übrigens eine rhetorische frage von dem, der die lösung in dem anderen forum gepostet hat, nicht eine neue frage meinerseits)

 

[mfb]

Der zweite Lösungsweg ist in etwa das, was ich versucht hatte. Wobei man nicht nur die linke Seite alleine betrachten darf - die rechte hängt schließlich auch von a,b,c ab.
Das "warum?" ist ist aber noch etwas Rechnung.

Die Notation mit den zyklischen Summen sieht gut und halbwegs kompakt aus.


>> z.b. die Ungleichung von Schur:
Ok, kann Situationen geben in denen das sinnvoll ist. Sind dann aber eher selten.

 

[TealC]

Ich glaub nicht, dass der zweite Loesungsweg funktioniert. Zunaechst muesste man die rechte Seite rueberbringen und dann auch noch die Kreuzableitungen checken. Das sieht mir dann alles andere als konvex aus. Kann das mal einer nachrechnen?

 

[Brusko651]

Wobei man nicht nur die linke Seite alleine betrachten darf - die rechte hängt schließlich auch von a,b,c ab.

jo, es war eigentlich eh die linke Seite gemeint nachdem man das (1-a)(1-b)(1-c) von der rechten Seite rübergebracht hat ,das hätt ich vielleicht dazu schreiben sollen. Aber das ist eh jeweils in den einzelnen Unbekannten linear, und ändert also auch nichts an der Krümmung der Funktion.

 

[Brusko651]

hmm, ich denk schon dass das so funktioniert. ich hab mal probiert, mir das formal durchzuüberlegen:

 

[TealC]

ja hast Recht, sieht sehr solide aus