Schnitte Ana I

[Toadesstern]

Hab nen Problem bei einer Aufgabe meines Übungsblattes und komme da gar nicht weiter, bzw kriege nicht mal nen Ansatz hin.
Hab mich inzwischen damit abgefunden, dass ich das so wohl nicht hinkriege weil ich echt grad nicht weiterkomme und zimmerkolege weiß auch nicht weiter, aber vielleicht kann mir hier ja einer weiterhelfen.

Aufgabe b wäre vereinigung aber soll prinzipiell das selbe sein und mir ist auch rein vom gedanken her klar, dass die Aussagen für schnitte und vereinigungen stimmen, im gegensatz zu einer nicht injektiven funktion, aber ka wie ich das zeige.

Uns wurde gesagt, dass man das machen soll indem man zeigt dass das eine ne Teilmenge vom andren ist und danach zeigt, dass das andre ne Teilmenge vom andren ist und folglich gleich ist. Nur hab ich kein Peil wie ich zeigen soll dass das eine ne Teilmenge vom andren ist.

Scheint auch bis auf ein paar wenige sehr viele Leute zu geben, die darauf nicht klar kommen, also in der Übungsgruppe haben wir nicht mal die Hälfte der Aufgaben hingekriegt bevor wir aufhören mussten und es gibt teilweise unterschiedliche Auffassungen der Aufgabe.

Gemacht haben wir bis jetzt eigentlich noch nichts außer die begriffe injektivität, surjektivität und bijektivität zu erläutern und eben die definitionen von schnitten, vereinigungen und ausschließungen oder wie auch immer das letzte heißt. Hab da jetzt ewig dran überlegt ob man durch ne definition der funktion ran kommt :für jedes x nur ein y, da es ne umkehrfunktion geben muss für jedes y folglich nur ein x, weshalb das im vergleich zu einer nicht injektiven funktion überhaupt klappt, aber dann hieß es irgendwie es muss doch nicht injektiv sein und atm nur massig Verwirrung...

Zeitlich gesehen krieg ich den Teil dann wohl so oder so nicht mehr rechtzeitig hin, wäre aber trotzdem cool wenn ich wenigstens im nachhinein verstehen würde was ich machen musste
Und ja blame me, hätte mal zur Sprechstunde gehen sollen aber da liegt glaube ne Ex 1 vorlesung oder irgendwas andres

 

[crazyBlTCH]

sicher dass es allgemein gilt? bzw irgendwelche voraussetzungen für f angegeben?
Was wäre zB mit f(x) = 1 für alle x aus X = relle Zahlen
A = [-1,0]
B = [2,3]
dann Schnittmenge = leere Menge also Bild der Schnittmenge = leere Menge
aber f(A) = f(B) = {1} also nicht leer.

 

[Toadesstern]

naja f[.] war die übungsaufgabe mit den selben fragen nach schnitt und vereinigung die wir nicht rechtzeitig hingekriegt haben.

bei f[A] geschnitten F ist noch ez mit gegenbeispiel zu dementieren am beispiel x²:
a= {1,2,3}, b{1, -2, 3}
da sollte ja nur {1,3} im schnitt sein (bzw dann 1 und 9) während auf der anderen seite dann raus kommt {1,4,9}. Kurzum, da x² nicht allgemein injektiv ist, ist es nicht machbar.
Die vereinigungen sollen angeblich machbar sein, demnach müssten wir die beweisen, haben wir aber in der Zeit nicht mehr hingekriegt, weil es erstmal darum ging zu verstehen was die Aufgabe an sich meinte

In der Hausübung von mir geht es nun um Umkehrfunktionen, also müsste man wohl von injektiven funktionen ausgehen, sonst gibts ja keine Umkehrfunktionen, die der Definition einer Funktion standhalten, folglich sollte da sowohl der Schnitt, als auch die Vereinigung machbar sein.

€: mir ist gerade genialst eingefallen, dass ich ja im neuen laptop ne webcam habe und ich es einfach fotografieren kann

kann aber echt sein, dass ich die Aufgabe auch einfach immernoch nicht verstanden habe, weil einfach KEINER kapiert hat was er da zu machen hat und jeder einzeln zum übungsleiter gelaufen ist um es sich erklären zu lassen und jeder hat es irgendwie anders verstanden. Ich bin z.b. der meinung wie 50% der leute, dass es injektiv sein muss und uns das so gesagt wurde, die andren 50% meinen, dass es nicht injektiv sein muss, weil ihnen das so gesagt wurde.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

umkehrfunktionen gibts nur wenn die funktion bijektiv ist.
außerdem bin ich entweder behindert, oder da ist n fehler.
A aus X und B aus X müsste doch A aus Y und B aus Y sein oO ansonsten kann die Umkehrfunktion damit erstmal gar nicht sanfangen

 

[Toadesstern]

ja das ist in der Tat nen fehler der auch schon aufgefallen ist eben, wohl einfach copy past aus der übungsaufgabe wo nicht umkehrfunktion war. Aber sich daran aufzugeilen, dass da nen schreibfehler ist und die aufgabe nicht lösbar ist, man also nichts falsch gemacht hat hilft mir vom verständnis her nicht weiter

 

[crazyBlTCH]

in deinem post oben fehlte das ^-1, daher war mein gegenbeispiel natürlich falsch für den fall. damit die umkehrfunktion existiert, muss f bijektiv sein, also insbesondere auch injektiv

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

du sollst bei der aufgabe zeigen, dass die Elemente in der Teilmenge der Bildmenge auf die durch die Umkehrfunktion abgebildet wird auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die selben sind.

Also a)
sei a Element von A und b Element von B, dann unterscheiden wir folgende Fälle:

A geschnitten B ist leer
und A geschnitten B ist nicht leer.
Ist A geschnitten B leer, dann ist mit Sicherheit auch der Schnitt von f^-1(A) und f^-1(B) leer, denn da f bijektiv ist wird jedes Element aus X eindeutig auf einem von Y abgebildet. Wäre der Schnitt der Abbildungen nicht leer, so gäbe es a und b für die gilt: f(a) = f(b) während a ungleich b ist.
Widerspruch.

Vielleicht hilft dir der erste Teil schon?

 

[Toadesstern]

hört sich ziemlich nach dem an was ich eben versucht habe aber dran gescheitert bin, glaube bin es wenn ich dich verstanden etwas anders angegangen, aber vom gedanken her ähnlich.
Ich hab mir gedacht, dass es einmal den fall leere menge gibt, wenn f(a) =/= f(b) (wobei das falsch ist, da bei a=/= b a ja auch ne schnittmenge von b sein kann, folglich ungleich ist solange b nicht auch schnittmenge ist, aber trotzdem kommt keine leere menge raus, sondern eben a) und da es für jedes x nur ein y gibt und umgekehrt also gibt ist es auf beiden seiten ne leere Menge.
Mein zwoter satz war, dass die andre möglichkeit halt f(a) = f(b) sei, aber das ist mir, wodurch ich dann keine leere menge mehr habe, aber wenn es f(a) = f(b) habe, ist auch a = b.
Was soweit auch stimmt, aber es gibt ja auch noch den Teil dass a einfach ne Teilmenge ist. Kurz gesagt, ich hab das problem des schnitts komplett gedodged in meiner lösung, weshalb es falsch ist.
Aber so gesehen, dass es ein widerspruch ist, wenn es nicht so wäre wie es ist, da es ja bijektiv sein muss bin ich nicht gekommen.

Falls ich es denn richtig verstanden habe mal die kurzfassung:
Wenn leere menge, dann a=/b, mit keinen schnitt und kein gar nichts.
Wenn die Menge nicht leer ist muss a=b sein und f(a)=f(b), da sonst die definition der bijektion ausgehebelt ist?

Edit: ok der letzte satz von mir stimmt nicht, aber da ist doch so wie du es sagst, das selbe problem: die Menge A kann schon ungleich B sein (z.B. ne teilmenge sein), trotzdem haben sie einen schnitt, der eben auch auf der anderen seite vorhanden ist, weil die selben Paare rausfallen. Es muss ja nicht für ein spezifisches x nen anderes y da sein.

Als beispiel f(x)= x
A= {1,2,3} , B = {1,2,3,4,5}
Da ist der Schnitt nicht leer, weil er {1,2,3} ist und trotzdem haut es noch mit der bijektion hin

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

? Den fall das der Schnitt nicht leer ist, habe ich bei mir gar nicht behandelt
"die Menge A kann schon ungleich B sein (z.B. ne teilmenge sein), trotzdem haben sie einen schnitt"
wo rede ich davon?!
ich unterscheide doch nur die fälle A geschnitten B = Leer und A geschnitten B nicht leer. Trivialerweise können zwei Mengen natürlich verschieden voneinander sein und dennoch einen nicht leer Schnitt haben.

Dein Beispiel verdeutlicht doch eher, dass das ganze auch für den Fall von nicht leeren Schnittmengen gilt:

mal mit deinem f(x):
f(A) = {1,2,3}
f(B) = [1,...5}
A geschnitten B = {1,2,3}

f(A] geschnitten f(B) = {1,2,3}
stimmt

 

[Toadesstern]

ach ok dann habe ich da nen satz von dir falsch verstanden und dachte du willst was anderes damit ausdrücken und wollte mit meinem beispiel zeigen, was es zeigt, weil ich dich falsch verstanden habe. Also dann war ich soweit auch schon vorher, dass bei leere menge nur leere menge rauskommen kann wegen bijektion war das was ich hatte, wenn ich aber zum nicht leere menge teil über gehe komme ich nur auf das selbe.

Für wenn die Menge nicht leer ist habe ich auch ne Unterteilung in (ka ob ich das machen muss, aber teil 1 und 2 ist easy^^):
a teilmenge b
b teilmenge a
a geschnitten b
Bei 1 und 2 kommt dann auf beiden Seiten raus, dass die menge entweder a oder b ist, aber beim eigentlichen Schnitt hab ich keinen Peil wie ich da vorgehen soll

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

du kannst das ganze abkürzen, wenn du sagst der fall A teilmenge von B ist identisch mit B teilmenge von A, denn du kannst die teile ja einfach umbenennen.(Also A in B und B in A)
Ist ganz üblich das so zu machen.

Zum Schnitt:
A geschnitten B ungleich leer:
ist a in A aber nicht in B so ist a nicht in A geschnitten B und daher ist f^-1(a) nicht in f^-1(A geschnitten B).
Es ist auch nicht in f^-1(A) geschnitten f^-1(B), denn wegen der bijektivität hätten dann zwei verschieden c,d element der Urbildmenge das gleiche Bild.
ist a in A und B(andersgesagt: a und b für die a = b gilt), so ist f^-1(a) in f^-1(A geschnitten B) und ersteres ist ebenso in f^-1(A) geschnitten f^-1(B), denn blabla(kL mehr ist aber offenkundig trivial)

So, wenn ich mich nicht irre, ist das fertig

 

[Toadesstern]

ok ok, also war das was ich mir aufgeschrieben habe gar nicht so weit von der Lösung weg und meine wie ich fand nicht-mathematische Aufteilung in die Fälle gar nicht so schlecht. Minimale Abänderung und ich habs so wie du. Mal schaun ob ich darauf punkte kriege

Nen bildchen von dem was ich mir bereits überlegt habe und wie weit ich selbst bin hätte glaube viel Mühe gespart, merk ich mir fürs nächste Problem das ich haben sollte
Thx für die hilfe.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Np.^^
b) geht prinzipiel genauso

 

[narc]

Irgendwie ist die Aufgabe komisch gestellt. Wenn f^-1 wirklich eine Abbildung sein soll, muss die gegebene Funktion bijektiv sein. Dann ist die Aufgabe aber äquivalent zu: Gilt f(A) schnitt f(B) = f(a schnitt B) für f bijektiv. (Ob ich die Funktion nun f oder f^-1 nenne, ist ja egal).

Sinn machen würde dagegen folgende Aufgabe (und die kommt erfahrungsgemäß genau so in ziemlich jedem ersten Mathesemester vor und ist daher auch garantiert so gemeint):
Man hat eine beliebige Funktion f gegeben. (Die muss weder bijektiv noch injektiv noch surjektiv, noch sonst irgendetwas sein!).
Frage: Gilt f^-1(A) schnitt f^-1(B) = f^-1(A schnitt B)?
Wichtig ist dabei, dass f^-1 keine Funktion (also auch keine Abbildung) bezeichnet, sondern einfach das Urbild der Funktion f (welches für jede Funktion existiert!).
Die Aussagen sind übrigens beide (also Schnitte und Vereinigungen) wahr und lassen sich leicht mit der Definition des Urbilds nachweisen.
Aus dieser allgemeineren Aussage folgt dann natürlich auch direkt, dass obige Gleichungen auch für umkehrbare Funktionen gelten (Für umkehrbare Funktionen entspricht das Urbild einer Menge genau dem Bild der Menge unter der Umkehrfunktion.), sie gelten eben aber auch für nicht umkehrbare.

Weil mir grad langweilig ist, Beweis der Aussage: f^-1(A schnitt B) = f^-1(A) schnitt f^-1(B)

a € f^-1(A schnitt B) <=> f(a) € (A schnitt B) <=> f(a) € A und f(a) € B <=> a € f^-1(A) und a € f^-1(B) <=> a € f^-1(A) schnitt f^-1(B).
Also sind die beiden Mengen gleich.
Beweis für Vereinigung geht analog.

 

[shaoling]

Ob Urbild oder Umkehrabbildung, die Aufgabe ist fehlerhaft gestellt.

Wenn f von X nach Y abbildet, dann bildet die Umkehrabbildung von Y nach X ab. Für Teilmengen A und B von X ist das Bild unter der Umkehrabbildung also gar nicht definiert.
Dasselbe wäre für das Urbild von f der Fall. Man müsste in beiden Fällen Teilmengen von Y betrachten.

Ich würde hier definitiv mal nachfragen, was denn jetzt definitiv gemeint ist und darum bitten, die Aufgaben in Zukunft sorgfältig zu stellen.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

das beispiel ist doch völlig wurscht. ist ja nur ein beispiel um zu verdeutluchen was mit der Frage gemeint ist.
Ferner wurde das schon geklärt.

 

[shaoling]

Sry, hab ich nicht gelesen.

 

[Toadesstern]

Ob Urbild oder Umkehrabbildung, die Aufgabe ist fehlerhaft gestellt.

Wenn f von X nach Y abbildet, dann bildet die Umkehrabbildung von Y nach X ab. Für Teilmengen A und B von X ist das Bild unter der Umkehrabbildung also gar nicht definiert.
Dasselbe wäre für das Urbild von f der Fall. Man müsste in beiden Fällen Teilmengen von Y betrachten.

Ich würde hier definitiv mal nachfragen, was denn jetzt definitiv gemeint ist und darum bitten, die Aufgaben in Zukunft sorgfältig zu stellen.

war leider auf den letzten drücker gemacht und sprechstunde war schon vorbei.
Nun habe ich ein ähnliches Problem, das so idiotisch ist, dass ich keinen eigenen thread dafür aufmachen will, einfach weil die Sprechstunde für die Übungen donnerstags ist und die übungen mittwochs, d.h. ich habe meiner meinung nach nicht genug zeit erstmal selbst über die übungen nachdenken zu können, um dann zu entscheiden "jap ich habe ein problem, ab zur sprechstunde". Packs aber heute nicht zeitlich da hin zu gehen, da ich noch pendel, heute nach hause fahre, dann ostern ist, folglich ich da keine kommilitonen treffe zum drüber reden, dienstags wieder hier bin und dann mittwochs abgeben darf

Mir geht es um teilaufgabe b:

Also ich hab keinen Peil was er meint. "Beweißen sie, dass jede natürliche Zahl n >= 2 das(?) Produkt von Primzahlen ist."
Bin ich grad echt so bescheuert, dass ich die Aufgabe nicht verstehe oder hat da jemand nen Fehler gemacht?
Also ich verstehe es so: n = p1 * p2 (p1 bis pn Menge der Primzahlen, n natürliche Zahlen) soll für jedes n möglich sein.
Primzahlen sind ne teilmenge von n, also sind sie in n enthalten. Primzahlen sind doch aber gerade, wenn es keinen Teiler außer sich selbst und 1 hat. Also wie soll 7, durch multiplikation anderer Primzahlen machbar sein, wenn es nur als teiler 1 und 7 hat?
Folglich verstehe ich die These entweder kolossal falsch oder sie ist falsch.

Ist nicht wirklich wichtig, da es nicht mal zu den hausübungen gehört. Trotzdem wäre es cool wenn hier jemand schnell mal sagen könnte ob der fehler an mir liegt oder schreibfehler aufm blatt, falls hier noch wer reinschaut

 

[Horst Schlemmer]

Das geht über 2 Beweise durch Widerspruch, einmal dadurch, dass man annimmt, dass es eine kleinste Zahl gibt die keine Primfaktorzerlegung hat und dann nen Widerspruch herleitet, damit zeigt man die Existenz.

Dann kann man noch die Eindeutigkeit zeigen, indem man annimmt, dass eine Zahl mehrere Primfaktorzerlegungen haben kann und es da wieder eine kleinste gibt und dann bastelt man sich wieder einen Widerspruch, der Beweis is im Prinzip so einfach, dass man den sogar im Ingenieursstudium am Anfang mal macht.

 

[narc]

Zunächst mal ist mit der Aufgabenstellung wohl folgendes gemeint:
Beweise: Jede natürliche Zahl n >= 2 kann als n = p_1 * .... * p_r (r € N) geschrieben werden.
Für dein Beispiel mit der 7 wäre einfach 7 = 7 ein Produkt von (einer) Primzahl(en).

Zum Beweis:
Kann man es nicht auch einfach per Induktion zeigen? (das könnte auch einfach dem aus der aufgabe a) entsprechen, aber da versteh ich die notation überhaupt nnicht!)

Du machst IA bei n=2: 2 =2 ( = Produkt von Primzahlen, da 2 ne Primzahl ist. Weiß nicht, ob du das dann noch extra zeigen musst oder ob ihr das schon gemacht habt)
IV ist dann: Behauptung gilt für alle natürlichen Zahlen größer gleich 2 und kleiner gleich einem gewissen n € N.
IS. Beweis für n+1:
Fallunterscheidung:
- n+1 ist Primzahl, dann ist n+1 = n+1 Produkt von Primzahlen, super!
- n+1 ist keine Primzahl, d.h. es gibt eine Faktorisierung n = s *t, wobei s und t jeweils ungleich 1 und ungleich n+1 sind. s und t liegen damit zwischen 2 und n, also kann für sie die IV angewendet und sie als produkte von primzahlen geschrieben werden. folglich kann n+1 als das produkt dieser produkte geschrieben werden (was logischerweise immer noch ein produkt von primzahlen ist). fertig.

 

[Toadesstern]

naja die notation von a verstehe ich auch noch nicht
und kapiert,, produkt kann auch p*1 sein, gibt sinn. In dem Fall werde ich es mit Induktion versuchen .Hab mir das dazu von euch noch nicht durchgelesen, mir gings ja nur um die aufgabestellung und erstmal selbst probieren :d

 

[narc]

und kapiert,, produkt kann auch p*1 sein, gibt sinn.

Jein. Natürlich ist p*1 auch ein Produkt, aber kein Produkt von Primzahlen (1 ist keine Primzahl). Aber selbst p kann man als Produkt auffassen, eben nur ein Produkt von einem Faktor (drum sind da keine Malpunkte die das Produkt verdeutlichen).
Man kann sogar ein Produkt von 0 Faktoren als 1 definieren, aber das nur am Rande.

 

[shaoling]

Für Aufgabe b) hat narc einen Beweis gepostet. Es gibt auch einen Widerspruchsbeweis, der ähnlich einfach ist.
Nach der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist zwar nicht gefragt, aber es ist eine gute Übung, sich die zu überlegen

Zu a):
Die Notation meint vermutlich folgendes:

Gegeben sei eine natürliche Zahl N und eine Teilmenge A der natürlichen Zahlen mit den Eigenschaften:
1) N ist in A enthalten.
2) Für alle natürlichen Zahlen n und k, für die gilt: k ist größer oder gleich n und n ist größer oder gleich N, gilt auch:
Wenn k in A enthalten ist, so ist auch n+1 in A enthalten.

Zu zeigen: Alle natürlichen Zahlen n, die größer oder gleich N sind, sind in A enthalten.


Hinweis zur Notation:
x ist in der Menge P enthalten wird hier interpretiert als x hat die Eigenschaft P, geschrieben: P(x). Diese Schreibweise kommt aus der Logik.
Die Pfeile bedeuten "daraus folgt" und die Ausdrücke in den runden Klammern beziehen sich stets auf die direkt rechts daneben stehenden Ausdrücke in den eckigen Klammern.
Die Notation ist aber nicht konsequent. Bei 2) wird die Kurzschreibweise "(für alle n größer oder gleich n_0)" benutzt, damit die ohnehin schon unübersichtliche Aussage nicht noch unübersichtlicher wird.
Unten steht dann aber "(für alle n)[n größer oder gleich n_0 daraus folgt A(n)]", wo es einfach heißen könnte "(für alle n größer oder gleich n_0)[A(n)]".
Die Einführung eines k bei 2) ist überflüssig. Die Aussage 2) ist äquivalent zur Aussage: "Für alle n größer oder gleich n_0 folgt aus A(n) schon A(n+1)."
Offenbar ist die "verwirrende" Notation hier Teil der Herausforderung... Sie entspricht nicht der üblichen mathematischen Kurzschreibweise und man darf sie getrost vergessen, wenn man sich einmal klargemacht hat, wie sie funktioniert.

Inhaltlich ist das ganze nichts als eine umständliche (hässliche) Formulierung des Prinzips der vollständigen Induktion.
Jenachdem, wie man die natürlichen Zahlen kennengelernt hat, ist der Beweis mehr oder weniger trivial.

 

[mfb]

Die zweite Bedingung müsste eher so lauten:

(erste: n_0 ist Element von A)
für alle n > n_0 gilt: Falls n_0, (n_0)+1, .., n in A enthalten sind, dann ist auch n+1 in A enthalten

Das entspricht gerade der Aussage "für alle k mit n_0<=k<=n ist k in A enthalten, also die mittlere eckige Klammer in der Aufgabe
Alternative Formulierung: {n_0,(n_0)+1,...,n} ist Teilmenge von A

entspricht "A(n+1)"

Was der Hinweis soll, weiß ich aber auch nicht. n_0 in A => (n_0)+1 in A reicht eigentlich völlig.

 

[shaoling]

Der Schluss auf n+1 "reicht" schon. Aber manchmal ist es nützlich, die stärkere Aussage für alle k>n zu haben.