mathematische Sauberkeit

[Ancient]

Jo, moin. Ich versuche meine Frage mal an einem möglichst einfachen Beispiel deutlich zu machen.

Wir haben eine Funktion f(x)=1/x

Dann wird integriert, und zwar über f(x-t)dt. f(x-t) wird als 1/(x-t) behandelt.

Ich habe das Gefühl, dass ich erst eine Funktion f(x,t)=1/(x-t) definieren muss, und dann darüber integrieren. Begründung: nach der Definition von f(x) würde f(x-t) ja bedeuten an Stelle von x den Ausdruck x-t einzusetzen, also x=x-t. Das impliziert dann aber t=0, was nicht der Fall sein soll.

 

[TealC]

Ist das ne Trickfrage oder ernst gemeint?

Du kannst natuerlich x durch x-t substituieren ohne eine neue Funktion zu definieren.

 

[Ancient]

Das ist ernst gemeint. Wenn man x durch x-t substituiert folgt aber t=0.

 

[sesslor]

Das ist doch Unsinn. Das x in der Definition von f(x) ist ja nur ein Platzhalter fuer eine beliebige reelle Zahl. Dieses x ist quasi eine temporaere Variable, die nach der Definition der Funktion wieder geloescht wird (um es mal programmiermaessig auszudruecken).

Bei deinem Integral gibt es somit keine Probleme.

 

[Ancient]

Verstehe deine Erklärung leider nicht.
So wie ich das sehe, wird x inkonsistent verwendet.

 

[sesslor]

Also deine Funktion ist so definiert:
Fuer alle x gilt: f(x) := 1/x;
Damit ist die Definition beendet, es wurde fuer jede relle Zahl angegeben, worauf diese abgebildet wird. Das x war in der Defintion nur ein Platzhalter, wie ein Index in einer Summe, den kannst du auch beliebig umbenennen.

 

[Brusko651]

Für alle x€R\{0} ist f(x)=1/x.

Wenn zwei reelle Zahlen x,t ungleich sind, dann ist x-t € R\{0}.

Also ist für alle x€R, t€R mit x!=t:
f(x-t)=1/(x-t).

Das sind zwei unterschiedliche "x's". Eines bezieht sich auf das "Für alle x€R" oben, das andere bezieht sich auf "für alle x€R, t€R..." weiter unten.
Das ist so wie wenn man sagt "Es gibt ein x€R mit x=5 und es gibt ein x€R mit x=3." Natürlich sind das zwei unterschiedliche x's. Aber man darf das so schreiben weil die Variablen jeweils an den vorher stehenden Quantor (es gibt / für alle) gebunden ist.

Man könnte auch schreiben f(a-t) oder so, dann kommt da gar nicht erst irgendetwas durcheinander.

 

[Ancient]

Naja das ist doch mein Problem (oder?).
Wenn ich jetzt f(x)=f(x-t) bilde kommt 1/(x-t) ungleich 1/x raus.

€:

Aber man darf das so schreiben weil die Variablen jeweils an den vorher stehenden Quantor gebunden ist.

AH!

 

[SvenGlueckspilz]

Es ist ja nicht f(x) = f(x-t), du setzt nur jetzt halt x-t in die Funktion ein.
Eines der Dinge, die ich meinen Studenten immer zu vermitteln versuche, auch wenn sie es wahrscheinlich für pedantisch halten, ist, dass sie zwischen der Funktion f und dem Funktionswert von f an der Stelle x, also f(x), unterscheiden müssen. Wenn du die Funktion mittels der Funktionsvorschrift f(x) = 1/x definiert hast, darfst du natürlich jetzt auch x-t einsetzen.
Und dann kommt 1/(x-t) raus. Keiner sagt außerdem, dass es sich jetzt um das gleiche x wie vorher handelt. Es ist nicht x = x-t. Wenn du dich an der Doppelbezeichnung der Variablen störst, dann setze doch lieber f(y) = 1/y und dann setzt du y = x-t und hast dann f(x-t) = 1/(x-t). Dich hat wahrscheinlich nur die Doppelbezeichnung verwirrt...

 

[Brusko651]

Also die beste Übung um dem Funktionsbegriff näher zu kommen war für mich, Funktionalgleichungen zu lösen, wie sie bei der Mathematikolympiade gemacht werden.
z.b.
Finde alle Funktionen f:R->R sodass für alle x,y€R:
f(x+y) = f(x)^2 + f(y)^2

Jo, Mathematikolympiade war schon eine feine Sache

Die Funktionalgleichung ist übrigens die neue Challenge. Wer sie als erstes löst ist der König dieses threads. (außer ich, ich hab sie bereits gelöst und bin dementsprechend der Kaiser dieses threads)

 

[Brusko651]

Hier ist noch eine schöne Aufgabe, von der diesjährigen IMO:

ist aber natürlich garnicht so leicht. weil sie von der IMO ist. (dem größten internationalen Mathematikwettbewerb für Schüler(innen)).

 

[SvenGlueckspilz]

Also die beste Übung um dem Funktionsbegriff näher zu kommen war für mich, Funktionalgleichungen zu lösen, wie sie bei der Mathematikolympiade gemacht werden.
z.b.
Finde alle Funktionen f:R->R sodass für alle x,y€R:
f(x+y) = f(x)^2 + f(y)^2

Jo, Mathematikolympiade war schon eine feine Sache

Die Funktionalgleichung ist übrigens die neue Challenge. Wer sie als erstes löst ist der König dieses threads. (außer ich, ich hab sie bereits gelöst und bin dementsprechend der Kaiser dieses threads)

Ich behaupte, nur die konstante Funktion 0 und die konstante Funktion 1/2 lösen die Funktionalgleichung.
Beweis:
Wir beobachten zunächst f(2x) = f(x + x) = f(x)^2+ f(x)^2 = 2f(x)^2
Daraus folgt, wenn wir x = 0 einsetzen: f(0) = 2f(0)^2. Daraus folgt
f(0) = 1/2 oder f(0) = 0.
Erster Fall: f(0) = 1/2:
Dann gilt f(x) = f(x+0) = f(x)^2 + 1/4.
Daraus folgt (quadratische Gleichung lösen) f(x) = 1/2 für alle x.
Zweiter Fall: f(0) = 0:
f(x) = f(x+0) = f(x)^2 + f(0)^2 = f(x)^2. Also f(x) = 0 oder f(x) = 1.
Es kann aber kein x mit f(x) = 1 geben, denn sonst wäre f(x+x) = f(x)^2 + f(x)^2 = 2, aber wir haben ja gerade ausgerechnet, dass f nur die Werte 0 und 1 haben kann. (Vorsicht, hier kam wieder die von Ancient gefürchtete Doppelbezeichnung von x vor ^^). Also f(x) = 0 für alle x.

 

[Brusko651]

vielleicht poste ich später noch eine Funktionalgleichung, ich hab hier viele davon ^^

 

[zoiX]

Dann aber bitte im Matherätselthread oder so

 

[SvenGlueckspilz]

Hier ist noch eine schöne Aufgabe, von der diesjährigen IMO:

ist aber natürlich garnicht so leicht. weil sie von der IMO ist. (dem größten internationalen Mathematikwettbewerb für Schüler(innen)).

Positiv = echt positiv also > 0 oder nur >= 0, was ist gemeint?

 

[Brusko651]

echt positiv.

 

[SvenGlueckspilz]

Ok dann weiß ich immerhin schon, dass f(0) der betragsmäßig größtmögliche Wert ist, und alle f(n) teilen f(0):
f(n)-f(0) = k * f(n-0) = k* f(n)
also f(0) = (1-k) * f(n).
Das k hängt natürlich von n ab. f(n) hat dann auch nur Primfaktoren, die auch Primfaktoren von f(0) sind.
Weiter bin ich noch nicht ^^