Mathefrage: Ist 0,999 periode kleiner als 1?

[Gelöschtes Mitglied 160054]

0 komma periode 9 liegt beliebig nahe an 1, oder nennt doch mal ne zahl zwischen 1 und eben 0 komma periode 9.

 

[RRA^StArFiRe]

lol

0,9999 ist nicht dasselbe wie 1.

oder warum unterscheidet man offene und geschlossene intervalle?

[0;1[ = 0 ... 0,9periode
[0;1] = 0 ... 1

 

[Theston]

Warum wird der gleiche Müll immer wieder wiederholt, nach mehrmaligen Widerlegungen?
0,99.. liegt natürlich nicht im offenen Intervall (0,1), denn das ist überraschenderweise genau das - offen. Das bedeutet zu jedem Wert in diesem Intervall gibt es immer noch einen, der weiter rechts liegt. Wäre bei 0,99.. schwer zu finden. Davon abgesehen, dass das sowieso 1 ist.
Kann sich jeder mit der geometrischen Reihe s_n=9*10^-n selber ausrechnen.

 

[RRA^StArFiRe]

gehört 0,9periode in [0;1[ rein oder nicht?

 

[Theston]

Hab ich doch gerade gesagt: nein.

 

[Aule2]

Original geschrieben von kingcools
0 komma periode 9 liegt beliebig nahe an 1, oder nennt doch mal ne zahl zwischen 1 und eben 0 komma periode 9.

Und damit ist 1= 0,9....

 

[PiZzA]

dass es immer noch soviele leute gibt dies net einsehen ;-/

 

[ChrillePan]

Die Beweise sind alle schick und toll aber wer nicht mit Formeln klar kommt für den habe ich hier nochmal eine ganze einfache Sache:

F: Was unterscheidet eine Zahl von der Anderen?
A: Zwischen zwei unterschiedlichen Zahlen finden wir min. eine Zahl die dazwischen passt.

2 != 1 weil z.B. 1,5 dazwischen liegt.

Jetzt finde aber mal eine Zahl zwischen 0.P9 und 1. Ihr werdet keine finden und das ist ein einfacher, logischer Beweis dafür das 0,P9 = 1 ist

Grtz Ratte

 

[jean2345]

Ist nicht böse gemeint, aber ich finde, das ist gar kein Beweis. Vielleicht aber eine Idee zur Veranschaulichung.

 

[NumbSchiller]

Mathe ist eine Geisteswissenschaft und hat den Begriff der Unendlichkeit so definiert, dass er handhabbar für Rechnungen und damit den menschlichen Geist ist.

Nach dieser Definition ist 0,999...=1, da der Abstand zwischen diesen beiden Zahlen unendlich klein und damit nicht vorhanden ist.

Viel interessanter aber auch schwieriger wäre die Hinterfragung des Umgangs mit dem Begriff der Unendlichkeit.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Original geschrieben von Rattenking2
Die Beweise sind alle schick und toll aber wer nicht mit Formeln klar kommt für den habe ich hier nochmal eine ganze einfache Sache:

F: Was unterscheidet eine Zahl von der Anderen?
A: Zwischen zwei unterschiedlichen Zahlen finden wir min. eine Zahl die dazwischen passt.

2 != 1 weil z.B. 1,5 dazwischen liegt.

Jetzt finde aber mal eine Zahl zwischen 0.P9 und 1. Ihr werdet keine finden und das ist ein einfacher, logischer Beweis dafür das 0,P9 = 1 ist

Grtz Ratte

wenn ich mich also in den natürlichen zahlen befinde, sind alle zahlen also identisch ?
zwischen 1 und 2 befindet sich keine andere natürliche zahl.

 

[ChrillePan]

Immer diese ganz genauen.

Der Definitionsbereich von dem wir sprechen ist natürlich ganz R

Grtz Ratte

 

[cart]

Warum diskutiert ihr eigentlich über eine Sache die eindeutig bewiesen ist? Das ist doch grade das schöne an der Mathematik. Es gibt kein vielleicht, eventuell etc..

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Original geschrieben von Rattenking2
Immer diese ganz genauen.

Der Definitionsbereich von dem wir sprechen ist natürlich ganz R

Grtz Ratte

naja, aber dann ist deine definition ja nicht so prall. Ich würde vorschlagen, als Definition der Verschiedenheit von 2 Zahlen eine Differenz ungleich 0 zu wählen

 

[MesH]

Original geschrieben von NumbSchiller
Viel interessanter aber auch schwieriger wäre die Hinterfragung des Umgangs mit dem Begriff der Unendlichkeit.

Wie gut einem der tiefere Umgang mit sowas bekommt, sieht man an Cantor

 

[JustaFreezer]

Dann müsste z.B. die Zahl 0,39 Periode 9 ja im Prinzip die gleiche Zahl wie 0,4 sein, richtig?
Welche Zahl ist denn dann 0,5 Periode 5 und welche Zahl folgt darauf? Ist es 0,56? Oder doch 0,5 Periode 5 und dann als letztes eine 6 ( )?

 

[jean2345]

In R (den Reellen Zahlen) gibt es keine Nachfolger (bzgl. Standardordnung). Die Frage "welche Zahl folgt auf x" macht keinen Sinn. Und "als letztes eine 6" ist leider auch nicht so gut.

 

[Devotika]

Dann ist es im Endeffekt also eine Definitionsfrage?

Was wäre denn, wenn man 0,9... != 1 definieren würde? Was funktioniert denn daraufhin in der Mathematik nicht mehr?

 

[maziques]

Original geschrieben von Devotika
Dann ist es im Endeffekt also eine Definitionsfrage?

Was wäre denn, wenn man 0,9... != 1 definieren würde? Was funktioniert denn daraufhin in der Mathematik nicht mehr?

dann kannst du doch zu allem einen widerspruch konstruieren...

 

[Aule2]

Nein, es ist im Endeffekt keine Definitionssache!

Aber es ist unsinnig über Sachen zu reden, die man nicht definiert hat, und damit ist für jede (sinnvolle, also genaue) Definition von 0,Periode die Frage entsprechend beantwortbar (solange man unter den reellen Zahlen das versteht, was die Mathematiker darunter verstehen)

Wenn man irgendwelche anderen Körper oder sowas betrachtet, dann schaut's eh alles ganz anders aus, aber das war ja hier nicht die Frage!

"Viel interessanter aber auch schwieriger wäre die Hinterfragung des Umgangs mit dem Begriff der Unendlichkeit."
Mathematiker verwenden die Begriffe, die am meisten mathematisch bringen;
Das spricht für die momentane Interpretation des Grenzwerts - und auch, dass die physik damit ganz passabel harmoniert

Wenn man sich auf die lustigen Eigenheiten von Unendlichen Mengen einlassen will, dann ist der Weg zur geistigen Entrücktheit zwar nicht weit, aber wohl auch nicht notwendig!

Btw, Mathematik ist keine Geisteswissenschaft, denn sie ist nützlich

 

[Antrax4]

Original geschrieben von JustaFreezer
Dann müsste z.B. die Zahl 0,39 Periode 9 ja im Prinzip die gleiche Zahl wie 0,4 sein, richtig?
Welche Zahl ist denn dann 0,5 Periode 5 und welche Zahl folgt darauf? Ist es 0,56? Oder doch 0,5 Periode 5 und dann als letztes eine 6 ( )?

Zwischen 0,5 Periode und 0,6 befindet sich z.B. die 0,56.
Die Frage, "welche Zahl folge auf 0,5 Periode" ist volkommen sinnlos, weil die reellen Zahlen keinen "nächsten" Nachbarn bessitzen. Welche Zahl 0,5 Periode ist kann ich dir nicht beantworten, aber ich kann dir eine andere Darstellung dieser Zahl liefern: 5/9

Original geschrieben von JustaFreezer

Oder doch 0,5 Periode 5 und dann als letztes eine 6 ( )?

 

[Sacknase]

Die Frage lässt sich mal wieder toll mit der Behauptung erklären das sich 2 Parallelen in der Unendlichkeit schneiden.

klar ist: 1= 0,99...

Die Frage ist eher des Begreifens und mit dem Umgang des Begriffs Unendlichkeit. Ich würde auch behaupten das in der Unendlichkeit alles Matsch ist und grün leuchtet und schön rauscht und nackte Frauen auf tischen tanzen und dann versehentlich 0,99... auch mal 1 sein kann.

so ist das eben mit der unendlichkeit

 

[maziques]

Original geschrieben von Sacknase
Die Frage lässt sich mal wieder toll mit der Behauptung erklären das sich 2 Parallelen in der Unendlichkeit schneiden.

klar ist: 1= 0,99...

Die Frage ist eher des Begreifens und mit dem Umgang des Begriffs Unendlichkeit. Ich würde auch behaupten das in der Unendlichkeit alles Matsch ist und grün leuchtet und schön rauscht und nackte Frauen auf tischen tanzen und dann versehentlich 0,99... auch mal 1 sein kann.

so ist das eben mit der unendlichkeit

eine konstante zahl in der unendlichkeit. aha.

 

[killerchicken_inaktiv]

Wenn man das ganze Problem ein wenig von einer anderen Seite betrachtet, sieht man, dass es einfach im Dezimalsystem, das wir kanonisch benutzen, wenn wir eine "Zahl" beschreiben, Probleme mit der Darstellung mancher Zahlen gibt. Überlegt man sich dann, welche Probleme man etwa hat die Zahl 0,1 im Dualsystem darzustellen (beliebtes Problem für ne Anfänger C-Vorlesung), merkt man, dass nur weil man eine Zahl nicht so aufschreiben kann, wie man es gewöhnlich tut, nicht heisst, dass es eine "besondere" Zahl ist.

 

[Asta Khan_inaktiv]

Original geschrieben von Sacknase
Die Frage lässt sich mal wieder toll mit der Behauptung erklären das sich 2 Parallelen in der Unendlichkeit schneiden.

klar ist: 1= 0,99...

Die Frage ist eher des Begreifens und mit dem Umgang des Begriffs Unendlichkeit. Ich würde auch behaupten das in der Unendlichkeit alles Matsch ist und grün leuchtet und schön rauscht und nackte Frauen auf tischen tanzen und dann versehentlich 0,99... auch mal 1 sein kann.

so ist das eben mit der unendlichkeit

Nein. Entgegen der landläufigen Meinungen sind diese ganzen "Unendlichkeitsgeschichten" mathematisch ganz klar definiert. Eine Folge strebt gegen einen Wert, wenn jeder beliebig kleine Abstand ab irgendeinem Glied der Folge unterschritten wird. Da ist kein Raum für Mutmaßungen oder Fantasie.

Noch mal als Erklärung für diejenigen, die noch immer nicht wissen, wie "Periode" definiert ist:
http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Dezimalbruchentwicklung (auch runter zu "Periode" scrollen)

 

[Ancient]

Das Thema ist gerade im OT wieder aufgetaucht und ein Großteil der Userschaft scheint leider immer noch nicht zu begreifen, dass 0.99... in der Tat exakt 1 ist. Da damals in diesem Thread anscheinend kein alle befriedigender Beweis gepostet wurde, stelle ich ihn hier jetzt mal rein, um in Zukunft immer auf diesen Post hier verweisen zu können, wenn das Thema nochmal auftaucht.

Die Zahl 9,99... wird hier als unendliche geometrische Reihe dargestellt. Der exakte(!) Wert einer unendlichen geometrischen Reihe ist bewiesen (exakte Herleitung ebenfalls im Wikipediartikel) und beträgt (mit den Bezeichnungen des Artikels) a_0/(1-q). In unserem Fall ist a_0=9 und q=1/10.

Dass sich naive Argumente, die im endlichen Fall noch korrekt sind, wie "egal wie viele Neunen ich schreibe, die Zahl bleibt kleiner als eins", nicht auf die Unendlichkeit übertragen lassen und komplett versagen, zeigt übrigens Hilberts Hotel.

€: gerade noch einen schönen Wikipediartiel zur 0.999... gefunden: http://en.wikipedia.org/wiki/0.999

 

[SvenGlueckspilz]

Hmm naja Hilberts Hotel ist schon einklein wenig was anderes. Aber es nunmal einfach so, dass wenn man eine Folge a_n hat und für jede natürliche Zahl n gilt, dass a_n < a, dann kann trotzdem der Grenzwert gleich sein, also
lim a_n (n gegen unendlich) = a ist möglich. Und der Wert der unendliche Reihe dort in deiner Rechnung ist der Grenzwert ihrer Partialsummen. Genau dieses Phänomen tritt hier also ein.

 

[Ancient]

Ich habe nie behauptet dass Hilberts Hotel das gleiche ist. Hilberts Hotel ist lediglich ein Beispiel dafür dass naive "endliche" Argumente in der Unendlichkeit nicht gelten müssen.
Was mir der Rest deines Posts sagen soll weiß ich ehrlich gesagt nicht, habe ich was gegenteiliges behauptet?

 

[SvenGlueckspilz]

Ich habe auch nie behauptet, dass du behauptet hast, dass ...

Ich wollte lediglich bemerken, was hier genau schiefgeht. Nämlich, dass bei der Limesbildung strikte Ungleichungen nicht erhalten bleiben, sondern
"kleiner" - Zeichen werden zu "kleiner oder gleich"-Zeichen.
Und das war jetzt auch nicht speziell für dich, sondern eben für alle, die wissen wollen, wie das ganze sein kann. Hab jetzt nicht den ganzen Thread gelesen, kann schon sein, dass es hier jemand vor mir festgestellt hat, aber eben nicht dass ich wüsste.

 

[Ancient]

Wo geht etwas schief? Sorry, ich weiß nicht was du mir genau sagen willst. Argumentierst du gerade für 0.9... ungleich 1? Dann widerleg die Beweise...
"Bei der Limesbildung bleiben strikte Ungleichungen nicht erhalten" ist auch so ein Satz, den jeder mit Freude grob missinterpretieren wird, der glaubt dass 0.9... kleiner als 1 ist.

Immer diese rumdiskutiererei wenn etwas schwarz auf weiß dasteht...

 

[SvenGlueckspilz]

Nein, omg, stell dich doch nicht dumm!
Es geht etwas schief, wenn man versucht, von 0,9999 < 1 auf 0,9999... < 1 zu schließen, wie zum Beispiel Lurchie das versucht hat. (Wobei er ja nichtmal wusste, was die Punkte bedeuten.) Das geht nämlich nicht, kann auch nicht gehen, denn 0,9999... = 1

 

[Ancient]

Dann entschuldige, ich war noch etwas angekratzt von den Volltrotteln im OT und deine Posts lassen sich von eben jenen eben super missinterpretieren, wenn sie wollen.

 

[SvenGlueckspilz]

Ja kein Problem, vielleicht hab ich mich wirklich missverständlich ausgedrückt. Je länger man Mathematik macht, desto schwerer fällt es, immer daran zu denken, dass manche Dinge, die einem selber klar sind, anderen vielleicht nicht klar sind.

Ich wollte nur beschreiben, was genau bei denen schiefgeht, die meinen 0,9999... wäre nicht 1.

Achso und den Satz mit der Limesbildung lässt sich natürlich missinterpretieren, aber wenn man will, kann man alles falsch verstehen.
Gemeint war eben das, was ich vorher mit dem a_n geschrieben habe.

 

[Jesus0815]

Meine Fresse, Ancient. Ich weiß gar nicht was du dich hier so aufspielst? Bleib' mal locker... Das die geometrische Reihe formal korrekt ist, bedeutet nicht das die Operation "10x - x = 9.999... - 0.999..." gültig ist.

 

[SvenGlueckspilz]

Warum soll die nicht gültig sein? Und Ancients Rechnung ist nicht nur formal korrekt, die ist korrekt.

 

[Jesus0815]

also gut, offensichtlich habe ich doch so meine probleme mit der numerik. ich habe dieses problem während meiner studienzeit als "maschinenfehler" kennengelernt. uns wurde eingebläut das 0.999... =/= 1 ("vielzu ungenau für einen ingenieur"), die Maschinen aber genauso rechnen würden.

und ja, die geom. reihe ist nicht nur formal korrekt, sie ist durch und durch richtig.

 

[Brusko651]

Meine Fresse, Ancient. Ich weiß gar nicht was du dich hier so aufspielst? Bleib' mal locker... Das die geometrische Reihe formal korrekt ist, bedeutet nicht das die Operation "10x - x = 9.999... - 0.999..." gültig ist.

Es gibt da nicht auszusetzen.

Wenn man für 0.9999... wiederum stattdessen die (einzig sinnvolle?) Definition als Summe(i=1)^(unendlich) 9/10^i einsetzt, dann sieht man, dass 10 mal 0,99999 dementsprechend gleich Summe(i=1)^(unendlich) 9/10^(i-1) sein muss, und wenn man die beiden voneinander abzieht, (am besten nachdem man den Index der zweiten Summe angepasst hat und beides in eine Summe geschrieben hat), dann bleibt offensichtlich nur 9/10^(1-1) = 9/1 = 9 übrig.

 

[SvenGlueckspilz]

Kain, das ist eben keine Numerik, sondern eine exakte Rechnung. Hier wird nichts mit Maschinenen angenähert, sondern ein Mensch führt eine exakte Rechnung aus. Da spielt die schlechte Konditionierung keine Rolle, da es keinen Eingabe- oder Maschinenfehler gibt.

 

[Jesus0815]

dann muss ich das wohl so hinnehmen, wenn drei leute unabhängig voneinander ähnlich argumentieren liegt der verdacht nahe, dass ich mich geirrt habe.

 

[sdgj123]

wo isn da das problem? schaut euch doch einfach an, wie die reellen zahlen definiert sind. da isses auch scheiss egal, ob das über intervallschachtelungen, dedekind'sche schnitte oder cauchy-folgen passiert, man kriegt überall raus, dass das gleich is