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Liebe User, bitte beachtet folgendes Thema: Was im Forum passiert, bleibt im Forum! Danke!
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Hallo Gemeinde! Das Problem leidet zurzeit unter technischen Problemen. Wir sind da dran, aber das Zeitkontingent ist begrenzt. In der Zwischenzeit dürfte den meisten aufgefallen sein, dass das Erstellen von Posts funktioniert, auch wenn das Forum erstmal eine Fehlermeldung wirft. Um unseren Löschaufwand zu minimieren, bitten wir euch darum, nicht mehrmals auf 'Post Reply' zu klicken, da das zur Mehrfachposts führt. Grußworte.
Mathefrage: Ist 0,999 periode kleiner als 1?
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Antrax4
Guest
Den Thread gabs schnon 2mal, und es gibt immer wieder einige Knalltüten, die von "der nächsten reellen Zahl neben der Eins" träumen.
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nein, hatten wir mal in Mathe ![::]:](/forum/data/assets/smilies/pleased.gif "::]: ::]:")
0,99999... = 1
1/9 = 0,111111
2/9 = 0,222222
3/9 = 0,333333
4/9 = 0,444444
5/9 = 0,555555
6/9 = 0,666666
7/9 = 0,777777
8/9 = 0,888888
9/9 = 0,999999 = 1
0,99999... = 11/9 = 0,111111
2/9 = 0,222222
3/9 = 0,333333
4/9 = 0,444444
5/9 = 0,555555
6/9 = 0,666666
7/9 = 0,777777
8/9 = 0,888888
9/9 = 0,999999 = 1
Clawg
Guest
0.999 periode existiert nicht.
Die einzig mögliche mathematische Darstellung wäre SUM_i=0..n 9/(10^i) mit n->inf, man muss also mit einem Limes arbeiten, was natürlich dann 1 wäre.
Die einzig mögliche mathematische Darstellung wäre SUM_i=0..n 9/(10^i) mit n->inf, man muss also mit einem Limes arbeiten, was natürlich dann 1 wäre.
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Original geschrieben von Toadesstern
nein, hatten wir mal in Mathe
1/9 = 0,111111
2/9 = 0,222222
3/9 = 0,333333
4/9 = 0,444444
5/9 = 0,555555
6/9 = 0,666666
7/9 = 0,777777
8/9 = 0,888888
9/9 = 0,999999 = 1
das ist ja ne super erklärung.
versuchs mal hiermit:
wenn 9/9 = 1
dann 9/9 = 9 * 1/9 = 9 * 0,111 = 0,999
Antrax4
Guest
Der Schwachsinn ist ja noch besser
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General Mengsk
Chefredakteur
Du solltest mehr Presseerklärungen von Blizzard lesen. 
http://www.blizzard.com/us/press/040401.html
Dennoch: Matheforum...
http://www.blizzard.com/us/press/040401.html
Dennoch: Matheforum...
Devotika
Guest
http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch
Ich finde es trotzdem unbefriedigend, das behauptet wird, der Grenzwert einer Zahl sei das selbe wie die Zahl.
Ich finde es trotzdem unbefriedigend, das behauptet wird, der Grenzwert einer Zahl sei das selbe wie die Zahl.
Antrax4
Guest
Das ist kein Beweis! Es ist lediglich eine plausible Erklärung, warum 0,99..., falls es eine reelle Zahl ist, mit 1 übereinstimmen muß.
0,999... ist per Definition(!) der Grenzwert der folge [0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; ...]. Zuerst muß man zeigen, dass der Grenzwet überhaupt exisitiert (sonst wäre die Definition sinnlos).
Dann sieht man leicht, dass 1 Grenzwert der Folge ist. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes reeller Zahlenfolgen muß also 0,99... = 1 gelten.
0,999... ist per Definition(!) der Grenzwert der folge [0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; ...]. Zuerst muß man zeigen, dass der Grenzwet überhaupt exisitiert (sonst wäre die Definition sinnlos).
Dann sieht man leicht, dass 1 Grenzwert der Folge ist. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes reeller Zahlenfolgen muß also 0,99... = 1 gelten.
Antrax4
Guest
Ich behaupte mal, dass man die Punktmege einer 3-dimensionalen Kugel vom Radius 1 in endlich viele Teilmengen zerlegen kann, und mit diesen Teilmengen durch Rotation und Translation die Punktmenge von 2 disjunkten (!) Kugeln vom Radius 1 füllen kann.
[edit]das ist zwar wunderbar, aber wenn du nichts konstruktives zum Thema beitragen kannst, lass es bitte.
[edit]das ist zwar wunderbar, aber wenn du nichts konstruktives zum Thema beitragen kannst, lass es bitte.
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Devotika
Guest
Die Mächtigkeit der Menge der Dezimalstellen ist bei 10*x doch um eins geringer.
Was ist die Eindeutigkeit des Grenzwertes reeller Zahlenfolgen?
Antrax4
Guest
Eindeutigkeit heißt, dass es nicht mehrdeutig ist. Im Fall der reellen Zahlenfolgen konvergiert z.B. jede konvergente Folge gegen genau(!) einen Grenzwert.
Im Fall des halbnormierten Vektorraums L²[a,b], d.h. der (bzgl. des Lebesque-Integrals) quadratintegrierbaren Funktionen auf dem Intervall [a,b] ist diese Eindeutigkeit nicht(!) gegeben. Eine Funktionenfolge kann sogar gegen unendlich viele Grenzwerte konvergieren.
Da diese Grenzfunktionen aber, außer auf einer Nullmenge, überall übereinstimmen müßen, führt man Äquivalenzklassen ein, und erhält so einen Hilbertraum, welchen man ebenfalls mit L²[a,b] bezeichnet. Die Elemente dieses Hilbertraums nennt man Funktionen, obwohl es streng genommen Äquivalenzklassen von Funktionen sind. In einem Hilbertraum ist dann wieder die Eindeutigkeit des Grenzwertes gegeben, und man kann sich ein Eis backen.
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(-1)^n ist kein gutes Beispiel für einen nicht EINDEUTIGEN grenzwert, die Folge hat schlicht gar keinen (wenn auch zwei häufungspunkte).
Das Beispiel von antrax4 war schon sehr gut und kommt ja auch vor. Das problem entsteht, wenn der "abstandsbegriff" die Punkte nicht unterscheiden kann (z.B. nicht-hausdorff raum). Man kann sogar auf jeder menge eine triviale topologie (abstandsbegrif) definieren, so dass jede folge gegen alles konvergiert. Hatte die Menge mehr als ein Element ist also kein Grenzwert eindeutig.
Das Beispiel von antrax4 war schon sehr gut und kommt ja auch vor. Das problem entsteht, wenn der "abstandsbegriff" die Punkte nicht unterscheiden kann (z.B. nicht-hausdorff raum). Man kann sogar auf jeder menge eine triviale topologie (abstandsbegrif) definieren, so dass jede folge gegen alles konvergiert. Hatte die Menge mehr als ein Element ist also kein Grenzwert eindeutig.
Jesus0815
Guest
erm, periode 0,999 nähert sich der eins nur an...
ich kann mich nicht damit anfreunden zu sagen das wäre gleichzusetzen mit eins.
ich kann mich nicht damit anfreunden zu sagen das wäre gleichzusetzen mit eins.
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kann mich da nur TE)Kain anschließen. auch dieses
1/3=0,33
3*1/3=0,99
3*1/3=1
find ich schwachsinnig.
1/3 ist halt einfach nicht richtig darstellbar. man benutzt ja nur nen unendlich genauen wert, der aber nicht dem tatsächlichen wert des bruches entspricht. also ist 0,33*3 nicht 0,99, sondern halt eins. es wird nur als 0,99 dargestellt, weil die 0,33 schon nicht stimmen.
1/3=0,33
3*1/3=0,99
3*1/3=1
find ich schwachsinnig.
1/3 ist halt einfach nicht richtig darstellbar. man benutzt ja nur nen unendlich genauen wert, der aber nicht dem tatsächlichen wert des bruches entspricht. also ist 0,33*3 nicht 0,99, sondern halt eins. es wird nur als 0,99 dargestellt, weil die 0,33 schon nicht stimmen.
General Mengsk
Chefredakteur
Ich versteh nicht, warum sich da manche so schwer tun. Was soll "unendlich genau" denn anderes heißen als exakt? Wieso kann für dich 0,999.. . und 1 nicht dieselbe relle Zahl darstellen?
Und wie sieht es mit anderen Grenzwerten aus, z.B. was kommt für dich dann hier heraus? Nur etwas ganz nahe bei e?
Die ganze Differential- und Integralrechnung nutzt Grenzwerte. Ist das dann auch ein Problem oder verdrängt man einfach dieses "Problem"?
Und wie sieht es mit anderen Grenzwerten aus, z.B. was kommt für dich dann hier heraus? Nur etwas ganz nahe bei e?
Die ganze Differential- und Integralrechnung nutzt Grenzwerte. Ist das dann auch ein Problem oder verdrängt man einfach dieses "Problem"?
Devotika
Guest
Dein Grenzwert läuft gegen e und wird e aber nie erreichen. Das ist der Unterschied zwischen dem limes und der Zahl an sich.
General Mengsk
Chefredakteur
Die Folge läuft gegen e, der Grenzwert selbst ist aber exakt e. Ein Glied der Folge wird e nie erreichen, aber als Grenzwert der Folge ist es gar eine mögliche Definition von e! Deshalb kann man ja eben mit Fug und Recht hier ein Gleichheitszeichen setzen:
So sieht das auch bei der 0.999... aus. Wenn ich irgendwann nach endlichen vielen 9en aufhören würde, habe ich natürlich nicht 1. Wenn ich aber unendlich viele 9en nehme, habe ich eben genau 1.
So sieht das auch bei der 0.999... aus. Wenn ich irgendwann nach endlichen vielen 9en aufhören würde, habe ich natürlich nicht 1. Wenn ich aber unendlich viele 9en nehme, habe ich eben genau 1.
voelkerballtier
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schon allein von der verwendung des Wortes "Grenzwert" her völliger Unsinn. Ein Grenzwert ist etwas festes - das ändert sich nicht (mit n). Die Folge läuft gegen e (den FESTEN Grenzwert) und wird ihn nie erreichen, was aber nichts daran ändert, dass e der Grenzwert der Folge ist. Dir scheint der Begriff Grenzwert noch nicht ganz klar zu sein...
Devotika
Guest
Doch, das war nur ein Schnellschuss.
Aber wenn der Grenzwert von 0,99.. = 1 ist bedeutet das für mich nicht, dass auch 0,99.. = 1 ist.
Aber wenn der Grenzwert von 0,99.. = 1 ist bedeutet das für mich nicht, dass auch 0,99.. = 1 ist.
voelkerballtier
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Naja auch da musst du aufpassen wovon du redest - es gibt keinen Grenzwert einer Zahl. Und 0.9999..... ist DEFINIERT ALS der Grenzwert der Folge 0.9, 0.99, 0.999, ... ( lim 1-1/n sozusagen ) und das ist nunmal identisch mit 1. Punkt. Diese "Zahl" lässt sich nur als Grenzwert sinnvoll definieren - was anderes geht nicht.
Devotika
Guest
Wieso nicht?
Ich definiere sie nicht als Grenzwert, sondern als 0, mit unendlich vielen 9en. Was wäre daran falsch?
Ich definiere sie nicht als Grenzwert, sondern als 0, mit unendlich vielen 9en. Was wäre daran falsch?
Antrax4
Guest
Also die "nächste reelle Zahl neben der 1".
Ich wußte doch, die Knalltüten gibts hier immer noch.
Ich wußte doch, die Knalltüten gibts hier immer noch.
voelkerballtier
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hrm von mir aus, dann funktioniert aber der blizzard-beweis problemlos
(wenn ich von einer abzählbar unendlichen Menge ein Element wegnehme ist sie immernoch abzählbar unendlich - nur falls du mit mächtigkeit - 1 ankommen willst)
Sentinel_inaktiv
Guest
@dog[fisch]
damit sich x wegkürzt müsste man durch x teilen wenn man aber nur -x rechnet wird einfach nur ein x der 10x abgezogen =9x
damit sich x wegkürzt müsste man durch x teilen wenn man aber nur -x rechnet wird einfach nur ein x der 10x abgezogen =9x
Asta Khan_inaktiv
Guest
Die Frage hat doch eben erst diesen einen Wettbewerb gewonnen, "wer stellt die dämlichste Mathe Frage?"
Jedenfalls finde ich die Frage auch total langweilig. Es ist nämlich weder eine philosophische Frage, noch eine mathematische. Es ist lediglich eine Problem der Notation.
Für jeden Mathematiker ist klar, dass 0,9; 0,99; 0,999 -> 1 und der Grenzwert ist eben eindeutig. Als rationale Zahl gibt es 0,99999 gar nicht als eigene Zahl, weil man immer zu 1/1 kürzen kann (wie gesagt, das Problem taucht erst auf, wenn man versucht, Zahlen näherungsweise durch Gleitkommazahlen darzustellen) und als relle Zahl demnach erst Recht nicht (z.B. als Dedekindscher Schnitt wäre das
)
Schande über den Professor, der sich da auch noch Gedanken drüber machen muss.
Also Kinder, merkt euch: 0,99999 ist nur eine schlechte Darstellung für die Zahl 1.
@Devotika: Das Problem ist, dass der Ausdruck "0 mit unendlich vielenen 9en" nicht mathematisch definiert ist. Deswegen kannst du auch nichts als das definieren. Wie gesagt, im Gebilde der Mathematik gibt es bloß die Zahl 1 und es gibt auch die Zahl 1/3, die so definiert ist, dass 3*(1/3)=1. Bei 1/3 hat man jetzt allerdings das Problem, dass man sie nicht mit endlichen vielen Stellen als Dezimalzahl schreiben kann. Man kann allerdings sagen, dass z.B. die Zahl 1,3333 etwas näher am richtigen Wert liegt, als 1,333 (d.h. 3*1,3333 liegt näher bei 1 als 3*1,333). Das gilt, egal wie lange man weiter 3en dazuschreibt. Mit anderen Worten, 1/3 ist der Grenzwert der Folge 1,3; 1,33; 1,333 usw. Wir haben also das Glück, dass wir recht einfach eine gute Näherung für 1/3 in Dezimalschreibweise haben. Und deswegen hat man da die Notation mit "periodisch" eingeführt. Diese gute Näherung muss nicht immer so einfach sein, wie man z.B. bei Pi sieht.
1,333periodisch ist also eine Darstellung für die Zahl 1/3.
Während 1,3333 =/= 1/3, egal wie viele 3er man jetzt gemacht hat.
Du könntest jetzt diesen Ausdruck "0 mit unendlich vielen 9en" mathematisch definieren und zwar (damit es überhaupt Sinn macht) durch den Grenzwert der Folge 1,9; 1,99; 1,999....
Dieser Grenzwert ist aber 1, also "0 mit endlich vielen 9en" = 1.
Genau so sind die Reihendarstellungen der rellen Zahlen definiert, nämlich als Grenzwert. Die Reihendarstellung ist dabei nicht eindeutig, d.h. mehrere Darstellungen können de selbe Zahl bedeuten.
Jedenfalls finde ich die Frage auch total langweilig. Es ist nämlich weder eine philosophische Frage, noch eine mathematische. Es ist lediglich eine Problem der Notation.
Für jeden Mathematiker ist klar, dass 0,9; 0,99; 0,999 -> 1 und der Grenzwert ist eben eindeutig. Als rationale Zahl gibt es 0,99999 gar nicht als eigene Zahl, weil man immer zu 1/1 kürzen kann (wie gesagt, das Problem taucht erst auf, wenn man versucht, Zahlen näherungsweise durch Gleitkommazahlen darzustellen) und als relle Zahl demnach erst Recht nicht (z.B. als Dedekindscher Schnitt wäre das
Schande über den Professor, der sich da auch noch Gedanken drüber machen muss.
Also Kinder, merkt euch: 0,99999 ist nur eine schlechte Darstellung für die Zahl 1.
@Devotika: Das Problem ist, dass der Ausdruck "0 mit unendlich vielenen 9en" nicht mathematisch definiert ist. Deswegen kannst du auch nichts als das definieren. Wie gesagt, im Gebilde der Mathematik gibt es bloß die Zahl 1 und es gibt auch die Zahl 1/3, die so definiert ist, dass 3*(1/3)=1. Bei 1/3 hat man jetzt allerdings das Problem, dass man sie nicht mit endlichen vielen Stellen als Dezimalzahl schreiben kann. Man kann allerdings sagen, dass z.B. die Zahl 1,3333 etwas näher am richtigen Wert liegt, als 1,333 (d.h. 3*1,3333 liegt näher bei 1 als 3*1,333). Das gilt, egal wie lange man weiter 3en dazuschreibt. Mit anderen Worten, 1/3 ist der Grenzwert der Folge 1,3; 1,33; 1,333 usw. Wir haben also das Glück, dass wir recht einfach eine gute Näherung für 1/3 in Dezimalschreibweise haben. Und deswegen hat man da die Notation mit "periodisch" eingeführt. Diese gute Näherung muss nicht immer so einfach sein, wie man z.B. bei Pi sieht.
1,333periodisch ist also eine Darstellung für die Zahl 1/3.
Während 1,3333 =/= 1/3, egal wie viele 3er man jetzt gemacht hat.
Du könntest jetzt diesen Ausdruck "0 mit unendlich vielen 9en" mathematisch definieren und zwar (damit es überhaupt Sinn macht) durch den Grenzwert der Folge 1,9; 1,99; 1,999....
Dieser Grenzwert ist aber 1, also "0 mit endlich vielen 9en" = 1.
Genau so sind die Reihendarstellungen der rellen Zahlen definiert, nämlich als Grenzwert. Die Reihendarstellung ist dabei nicht eindeutig, d.h. mehrere Darstellungen können de selbe Zahl bedeuten.
Antrax4
Guest
0, 999 Periode ist das gleiche wie 1, 000 Periode.
Aber wahrscheinlich ist für einige 1, 000 Periode größer als 1, weil da ja unendlich viele Nullen sind. Man könnte ja hinter den unendlich vielen Nullen eine weitere 1 vermuten
Aber wahrscheinlich ist für einige 1, 000 Periode größer als 1, weil da ja unendlich viele Nullen sind. Man könnte ja hinter den unendlich vielen Nullen eine weitere 1 vermuten
Asta Khan_inaktiv
Guest
Übrigens sieht man an dieser Diskussion immer wieder, das Mathematik landläufig oft missinterpretiert wird als eine beobachtende Wissenschaft. Viele Leute glauben, Mathematiker würden natürliche Dinge beobachten und daraus irgendwelche Schlüsse ziehen oder Muster erkennen. Tatsächlich ist die Mathematik aber ein vollständig künstliches, durch Menschen erfundenes Gebilde. Man einigt sich auf einige Spielregeln und folgt diesen dann. Was innerhalb des Spiels passiert, muss im Prinzip absolut gar nichts mit irgendeiner Begebenheit außerhalb der Mathematik zu tun haben.
Damit man aus der Mathematik mehr gewinnen kann als aus irgendeinem Kreuzworträtsel, gestaltet man die Spielregeln dann halt doch meistens irgendwie so, dass Modelle für die Wirklichkeit entstehen. Außerdem sind Mathematiker auch nur Menschen und bekommen deswegen ihre Art zu Denken und ihre Inspiration aus der Natur.
Aber mathematisch korrektes Vorgehen heißt, nur aus den bisherigen mathematischen Gebilden neue Gebilde abzuleiten, selbst wenn man dabei vielleicht von Gebilden außerhalb der Mathematik inspiriert wurde. Der Grundstock, auf den alles fußt, ist dabei sehr viel rudimentärer, als die meisten Leute denken.
Deswegen hat es mit Mathematik überhaupt nichts am Hut, wenn man eine subjektive Vorstellung von irgendwelchen Zeichenfolgen auf dem Papier / Bildschirm entwickelt und daraus dann Schlüsse ableiten will.
Da gibt es leider eine enorme Diskrepanz zwischen niedrigerer Schulmathematik und höherer Mathematik. Lehrer in der Schule oder zumindest in unteren Klassen versuchen immer, die Mathematik als möglichst angewandte Wissenschaft zu zeigen. Alle Rechnungen werden immer mit realen Beispielen belebt (3 Äpfel + 2 Äpfel usw.). Später in der Uni sind die Professoren dann erst mal mindestens ein Semester damit beschäftigt, alles wieder zu relativieren und die Studenten wieder von konkreten Beispielen loszueisen. Z.B. dass man erst mal die Menge der Zahlen und die grundlegenden mathematischen Operationen irgendwie definieren muss, bevor man mit ihnen arbeitet. Und dass es mehr gibt als euklidische Räume oder Addition und Multiplikation.
Damit man aus der Mathematik mehr gewinnen kann als aus irgendeinem Kreuzworträtsel, gestaltet man die Spielregeln dann halt doch meistens irgendwie so, dass Modelle für die Wirklichkeit entstehen. Außerdem sind Mathematiker auch nur Menschen und bekommen deswegen ihre Art zu Denken und ihre Inspiration aus der Natur.
Aber mathematisch korrektes Vorgehen heißt, nur aus den bisherigen mathematischen Gebilden neue Gebilde abzuleiten, selbst wenn man dabei vielleicht von Gebilden außerhalb der Mathematik inspiriert wurde. Der Grundstock, auf den alles fußt, ist dabei sehr viel rudimentärer, als die meisten Leute denken.
Deswegen hat es mit Mathematik überhaupt nichts am Hut, wenn man eine subjektive Vorstellung von irgendwelchen Zeichenfolgen auf dem Papier / Bildschirm entwickelt und daraus dann Schlüsse ableiten will.
Da gibt es leider eine enorme Diskrepanz zwischen niedrigerer Schulmathematik und höherer Mathematik. Lehrer in der Schule oder zumindest in unteren Klassen versuchen immer, die Mathematik als möglichst angewandte Wissenschaft zu zeigen. Alle Rechnungen werden immer mit realen Beispielen belebt (3 Äpfel + 2 Äpfel usw.). Später in der Uni sind die Professoren dann erst mal mindestens ein Semester damit beschäftigt, alles wieder zu relativieren und die Studenten wieder von konkreten Beispielen loszueisen. Z.B. dass man erst mal die Menge der Zahlen und die grundlegenden mathematischen Operationen irgendwie definieren muss, bevor man mit ihnen arbeitet. Und dass es mehr gibt als euklidische Räume oder Addition und Multiplikation.
machen wir jetz mal volksschulscheisse:
wir haben eine gerde mit 1 meter länge
davon nehmen wir mal die länge 0,9m
dann 0,99 m
usw.usw.
direkt berühren, falls mans ABSOLUT genau gemacht hat werden die sich nie
wir haben eine gerde mit 1 meter länge
davon nehmen wir mal die länge 0,9m
dann 0,99 m
usw.usw.
direkt berühren, falls mans ABSOLUT genau gemacht hat werden die sich nie
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wie kann man so ignorant sein.
mit solcher "volksschulscheisse" ist das thema auch leider nicht zu fassen, das sollte denke ich selbst dir in diesem thread klargeworden sein.
nochmal extra für dich:
http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkr%C3%B6te
Aule2
Guest
Die Frage der Fragen ist nicht, warum 0,9... = 1 ist, sondern von welcher (sinnvollen) Definition der Periode man das aus zeigt 
Im wesentlichen ist das Problem einem Blinden zu erklären, was Farben sind...
Meine persönlich liebste Variante für Idioten ist:
Def: 0,z_1...z_k Periode ist eine Schreibweise für z_1...z_k / 99..9
"Satz": Damit ist dann klar, dass es beim schirftlichen Multiplitzieren folgendes passiert: nach 0,z_1..z_k geht es von vorne wieder weiter, und das immer so fort ...
Die Aussage 0,9per = 1 ist damit trivial.
Wenn ich mit Leuten reden, die ein Mindestmaß an wissen haben:
Def1: 0,z_1z_2... := Reihe z_i/10^i
(die wohldefheit, also konvergenz ist klar)
Def2: Periodisch, wenn ~ die Folge z_i periodisch ist
Klar: 0,9... = 1
Wenn ich mit Betrunken bin:
0,z_1z_2... ist gleich der Folge 0,z_1 0, r_1z_2, ....
R ist konstruiert als Vervollständigung von Q;
Damit ist klar, dass 0,9... = 1 ist nach Konstruktion
Im wesentlichen ist das Problem einem Blinden zu erklären, was Farben sind...
Meine persönlich liebste Variante für Idioten ist:
Def: 0,z_1...z_k Periode ist eine Schreibweise für z_1...z_k / 99..9
"Satz": Damit ist dann klar, dass es beim schirftlichen Multiplitzieren folgendes passiert: nach 0,z_1..z_k geht es von vorne wieder weiter, und das immer so fort ...
Die Aussage 0,9per = 1 ist damit trivial.
Wenn ich mit Leuten reden, die ein Mindestmaß an wissen haben:
Def1: 0,z_1z_2... := Reihe z_i/10^i
(die wohldefheit, also konvergenz ist klar)
Def2: Periodisch, wenn ~ die Folge z_i periodisch ist
Klar: 0,9... = 1
Wenn ich mit Betrunken bin:
0,z_1z_2... ist gleich der Folge 0,z_1 0, r_1z_2, ....
R ist konstruiert als Vervollständigung von Q;
Damit ist klar, dass 0,9... = 1 ist nach Konstruktion
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