lineare Abbildungen

[DelphiZ]

(i) Gibt es eine injektive R lineare Abbildung R3 --> R2?
(ii) Gibt es eine surjektive R lineare Abbildung R3 --> R2?
(iii) Gibt es eine injektive R lineare Abbildung R2--> R3?
(iv) Gibt es eine surjektive R lineare Abbildung R2 --> R3?
Falls ja, so geben Sie ein Beispiel an und rechnen die gewünschten
Eigenschaften nach. Falls nicht, so beweisen Sie dies.

kann mir jmd da mal einen Teil vorrechnen / nen Ansatz geben?
wäre nice

 

[Ancient]

(ii) r_i,c € R, phi Funktion.

phi: R3 -> R2, phi((r1,r2,r3)):=(r1,r2) ist offensichtlich surjektiv.
außerdem: c*phi((r1,r2,r3))=c*(r1,r2)=(c*r1,c*r2)=phi(c*r1,c*r2,c*r3)
phi((r1,r2,r3))+phi((r4,r5,r6))=(r1,r2)+(r4,r5)=(r1+r4, r2+r5)=phi(r1+r4,r2+r5,r3+r6)

 

[shaoling]

kann mir jmd da mal einen Teil vorrechnen / nen Ansatz geben?
wäre nice

Welche Eigenschaften linearer Abbildungen sind dir denn bekannt?

Bedenke:
1. Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern trivial ist.
2. Für f von V nach W gilt: Dimension von V = Dimension des Kerns von f + Dimension des Bildes von f.

 

[sdgj123]

grüß dich delphi, das sind so typische aufgaben, die das VERSTÄNDNIS überprüfen. wenn du lineare abbildungen und ihre eigenschaften verstanden hast, sind die aufgaben kein problem. würde dir empfehlen, die aufgaben selber zu machen, sonst wirst du nie eine verständnisgrundlage aufbauen.

moralpredigt ende (is aber echt so)

 

[sweetie]

Zur (iii): Die Identität tut's, da R2 in R3 enthalten ist.
Zur (ii): Nimm die Identität, beschränkt auf die ersten beiden Komponenten, und setze den dritten konstant null. (ach mist, hat ancient ja schon geschrieben)

 

[Ancient]

Also meine Funktion ignoriert die dritte Komponente, wenn du sie null setzt ist der Vektor der rauskommt formal noch € R3 (soll aber R2).

 

[sweetie]

Ja sry, meinte ich auch, hatte da gestern schon 6 Bier intus... Staatsexamen ftw ;D

 

[DJT]

Eine lineare Abbildung über Vektorräumen kannst du immer mit einer Matrix identifizieren, die über ein Matrix-Vektor-Produkt einen Vektor aus dem Definitionsbereich auf einen Vektor im Wertebereich abbildet. Nun entstehen Aussagen über In- und Surjektivität ganz einfach aus Betrachtungen der Ränge der Spalten und Zeilen dieser Matrix (bzw ob diese lin. anhängig sind oder nicht). Injektiv ist eine Abbildung dann genau, wenn die Spalten lin. unabhängig sind. Surjektiv, falls die Zeilen lin. unabhängig sind.

zu deinen Fällen:

(i) Matrix hätte 2 Zeilen und 3 Spalten => Spalten können nicht lin. unabh. sein => es ex. keine inj. lin. Abb. von R3 in R2
(ii) Die Zeilen können durchaus lin. unabh. sein (Bsp. wurde bereits genannt)
(iii) Matrix hätte 3 Zeilen und 2 Spalten => wie in (ii) können die Spalten durchaus lin. unabh. sein
(iv) Analog zu (i) können die Zeilen nicht lin. unabh. sein => es ex. keine surj. lin. Abb. von R2 in R3