Kommutator

[Ancient]

Aufgabe: Berechnen sie den Kommutator [x , d/dx]

In der Vorlesung wurde definiert: [A,B]:=AB-BA

Wende ich stur die Definition an kommt x(d/dx) - (d/dx)x = x(d/dx) - 1 raus, was ja wieder ein Operator ist.

Die Musterlösung sagt aber:

[x , d/dx]f(x) = (x(d/dx) - (d/dx)x)f(x) = x(d/dx)f(x) - (d/dx)xf(x) = x(d/dx)f(x) - f(x) - x(d/dx)f(x) = -f(x) => [x , d/dx]f(x) = -f(x) => [x , d/dx] = -1

(bei (d/dx)xf(x) wurde die Kettenregel angewendet)

Dazu habe ich aber zwei Einwände:

1. In Eigenwertgleichungen der Form Operator(Funktion)=Eigenwert*Funktion kann man i.A. doch NICHT Operator=Eigenwert ablesen!

2. (x(d/dx) - (d/dx)x)f(x)=(x(d/dx) - 1)f(x)=x(d/dx)f(x) - f(x)

Habe ich nun einen Denkfehler, oder ist die Musterlösung Unfug?

 

[narc]

1. In Eigenwertgleichungen der Form Operator(Funktion)=Eigenwert*Funktion kann man i.A. doch NICHT Operator=Eigenwert ablesen!

Du meinst, weil oben rauskommt, dass sich der Operator genau wie eine Multiplikation mit -1 verhält?
Der Unterschied ist: Die Eigenwertgleichung gilt eben nur für die Eigenfunktionen (zum entsprechenden Eigenwert), während die Rechnung der Musterlösung für alle f gilt (naja diffbar oder sowas sollte f schon sein).

Desweiteren ist eben dein Fehler, dass der Opertor (d/dx)x (also Multiplikation mit x und anschließend das ganze ableiten) eben nicht 1 ist (wegen der Produktregel). Bedenkst du die Produktregel so liefert deine Rechnung ja genau die Rechnung der Musterlösung.

 

[Ancient]

Verstehe ich ehrlich gesagt nicht.

1. Offenbar ist jede diffbare Funktion eine Eigenfunktion zum Operator wenn für alle f nach Musterlösung gilt:
[x, d/dx]f(x)=-1*f(x), aber daraus folgt doch nicht [x, d/dx]=-1, es steht auf der linken Seite der Gleichung ja kein "mal", sodass man durch f(x) teilen könnte (wobei man ja nichtmal weiß, wo f null wird). Ist [x, d/dx] nicht vielmehr die Anweisung "nimm mit (-1) mal" und nicht die Zahl (-1) selbst?

2. (d/dx)x ist (d/dx) auf x anwenden. und wenn ich x nach x ableite kommt 1 raus.

3. Warum wird f(x) überhaupt hinter den Kommutator geklatscht? In der Definition des Kommutators steht die nicht. Ich soll ja nicht rausfinden, was der Kommutator (=Operator) mit einer Funktion macht, sondern den Kommutator berechnen.

Ich will nicht sagen dass du falsch liegst, sondern nur dass ich deine Erklärung nicht verstehe.

 

[Amabilis]

1. Offenbar ist jede diffbare Funktion eine Eigenfunktion zum Operator wenn für alle f nach Musterlösung gilt:
[x, d/dx]f(x)=-1*f(x), aber daraus folgt doch nicht [x, d/dx]=-1, es steht auf der linken Seite der Gleichung ja kein "mal", sodass man durch f(x) teilen könnte (wobei man ja nichtmal weiß, wo f null wird). Ist [x, d/dx] nicht vielmehr die Anweisung "nimm mit (-1) mal" und nicht die Zahl (-1) selbst?

Ja, das ist eine suggestive schreibweise, ebenso wie man die nullfunktion häufig mit 0 bezeichnet.

2. (d/dx)x ist (d/dx) auf x anwenden. und wenn ich x nach x ableite kommt 1 raus.

Ja, aber das ganze soll ein operator sein. Dieser fordert ein argument. (siehe unten)

3. Warum wird f(x) überhaupt hinter den Kommutator geklatscht? In der Definition des Kommutators steht die nicht. Ich soll ja nicht rausfinden, was der Kommutator (=Operator) mit einer Funktion macht, sondern den Kommutator berechnen.

Der kommutator von operatoren ist aber wieder ein operator und die richtige art den zu "berechen" ist gerade, ihn auf eine allgemeine funktion f(x) anzuwenden, denn uns interessiert, was er mit so einer funktion macht.
Wenn du (d/dx)x als d/dx angewendet auf x interpretierst, was ist dann x(d/dx), x angewendet auf d/dx angewendet auf (gar nichts)?
Allgemein ergibt x(d/dx) - (d/dx)x keinen sinn. Es ist ein operator und der arbeitet mit funktionen. Also gibst du ihm eine funktion und schaust, was er tut.
Es wäre gut zu wissen, in welchem zusammenhang das problem aufgetaucht ist.
Der kommutator ist allgemein das element einer gruppe. Wenn deine gruppe aus abbildungen besteht, dann untersuchst du die am besten, indem du ihre wirkung auf ein allgemeines argument untersuchst. In der linearen algebra untersuchst du zb die wirkung einer linearen abbildung auf einen allgemeinen vektor (x1, ..., xn).
In diesem fall besteht deine gruppe aus operatoren auf abbildungen.

Noch eine kleine bemerkung:
(d/dx)xf(x)=f(x)+x(d/dx)f(x) ist anwendung der produktregel:
d/dx(x*f(x))=d/dx(x)*f(x)+x*d/dx(f(x))=f(x)+x*d/dx(f(x))=f(x)+x*f'(x).

 

[Ancient]

denn uns interessiert, was er mit so einer funktion macht.

Ist halt nicht die Aufgabe so wie sie formuliert ist...

Wenn du (d/dx)x als d/dx angewendet auf x interpretierst, was ist dann x(d/dx), x angewendet auf d/dx angewendet auf (gar nichts)?
Allgemein ergibt x(d/dx) - (d/dx)x keinen sinn.

Warum?

Der Hamilton-Operator (in einer Dimension) H lautet doch auch H=konstante*d²/dx² + V(x)
Ergibt der auch keinen Sinn?

€: Natürlich Produktregel, nicht Kettenregel

 

[zerg123]

Naja, dann wende doch mal dein Ergebnis von oben, also
x(d/dx) - (d/dx)x
an

Und vergleiche das mit dem Ergebnis, wenn du x(d/dx) - 1 anwendest.

Dann sollte dir auch klar werden wo denn hier die Produktregel fehlt in deiner Rechnung.

Und bitte versuche Spielchen wie:
(d/dx)xf(x) = (d/dx)x[f(x)] =f(x)
zu vermeiden, auch wenn das die Mathematik sehr erleichtern würde .

 

[Ancient]

die rechnungen für beides stehen doch im ersten post, dass da was unterschiedliches rauskommt sehe ich ^^

€:

Und bitte versuche Spielchen wie:
(d/dx)xf(x) = (d/dx)x[f(x)] =f(x)
zu vermeiden, auch wenn das die Mathematik sehr erleichtern würde .

mein problem dabei ist, dass oben da ja noch eine klammer drum steht. ((d/dx)x)f(x) ungleich f(x)?

 

[narc]

Ist halt nicht die Aufgabe so wie sie formuliert ist...

Der Punkt ist: Du sollst einen Operator berechnen. Ein Operator definiert sich eben dadurch wie er mit Funktionen operiert, d.h. was er mit den Funktionen macht.
Analogon: Eine Funktion f: R -> R definiert sich ja auch darüber, was sie mit den Werten aus R anstellt. Darum benutzt du ja beim Rechnen nicht nur "f" sondern "f(x)".
Beim Opeartor ist es das gleiche Spiel eine ebene höher. Und wenn sich der gesuchte Operator bei allen Funktionen wie der "Opeartor -1" (also die Multiplikation mit -1) verhält, dann ist er eben genau gleich diesem Operator - einfach weil er immer das gleiche macht.

 

[Ancient]

Der Punkt ist: Du sollst einen Operator berechnen. Ein Operator definiert sich eben dadurch wie er mit Funktionen operiert, d.h. was er mit den Funktionen macht.

Also wir haben zumindest in der Vorlesung den 1D-Hamiltonoperator als H:=c*d²/x² + V(x) definiert. Ist das nun keine richtige Definition, oder wie?

 

[zoiX]

Der Hamilton-Operator (in einer Dimension) H lautet doch auch H=konstante*d²/dx² + V(x)
Ergibt der auch keinen Sinn?

Nein, der Hamilton-Operator macht natürlich keinen Sinn, wenn er nackt da steht - er kriegt erst dann einen "Sinn", wenn man ihm eine Wellenfunktion gibt, auf die er angewendet werden kann. Dann ist sein Sinn die Energie des quantenmechanischen Systems als Eigenwert zu liefern.
Ohne Funktion macht er (genau wie jeder andere Operator) exakt nichts.

Also wir haben zumindest in der Vorlesung den 1D-Hamiltonoperator als H:=c*d²/x² + V(x) definiert. Ist das nun keine richtige Definition, oder wie?

Klar ist das die richtige Definition des Hamiltonian. Was er mit der Funktion macht steht ja da: H angewendet auf f(x) liefert die Summe aus der zweiten Ableitung nach dem Ort von f(x) multipliziert mit c und dem Potential V am Ort x.
Wenn man das was da rauskommt mit der Ursprungsfunktion schließlich vergleicht, erhält man die Energie des Systems, welches durch die Wellenfunktion f(x) beschrieben wird als Eigenwert.

 

[Amabilis]

Entschuldigung, ich habe mich vielleicht nicht klar ausgedrückt. Vom Hamilton-Operator habe ich übrigens keine ahnung.

Du musst genau darauf achten, mit welchem objekt du es zu tun hast. Du hast die operatoren d/dx und x gegeben, die auf der menge der stetig differenziarbaren funktionen operieren.
[edit] Siehe narcs schöne analogie zu den reellen funktionen, die auf den reellen zahlen operieren. Ich habe bereits ein weiteres beispiel genannt: lineare abbildungen, die auf vektoren operieren usw.
d/dx leitet eine funktion ab und x multipliziert eine funktion mit x.[/edit]
Du unterstellst jetzt eine art assoziativität d/dx*(x*f(x))=(d/dx*x)*f(x), aber das ist eine falsche lesart des operators x.
Du darfst x hier nicht mit der stetig differenzierbaren funktion f(x)=x verwechseln. x ist ein operator, der auf so einer funktion f(x) operiert mittels der vorschrift x[f(x)]=x*f(x).
Du musst dir d/dx*x*f(x) vorstellen als d/dx(x(f(x))), sprich: "wende x auf f(x) an und darauf wieder d/dx". Das ist etwas anderes als "wende d/dx auf die funktion f(x)=x an und multipliziere das ergebnis mit f(x)".
Das erste ist eine verknüpfung von operatoren, das zweite ist die anwendung eines operators auf einen operanden.

[edit2]
Ich versuche noch ein beispiel zu geben, das es völlig klarmacht:
Angenommen, wir haben die operatoren x^2 und 2, die auf den reellen zahlen operieren.
x^2 quadriert eine reelle zahl, 2 multipliziert sie mit 2.
Sei 3 reelle zahl, betrachte x^2(2(3))=(2*3)^2=36!=12=2^2*3=[x^2(2)](3)
Ist die analogie verständlich?

 

[Ancient]

Nein, der Hamilton-Operator macht natürlich keinen Sinn, wenn er nackt da steht - er kriegt erst dann einen "Sinn", wenn man ihm eine Wellenfunktion gibt, auf die er angewendet werden kann. Dann ist sein Sinn die Energie des quantenmechanischen Systems als Eigenwert zu liefern.
Ohne Funktion macht er (genau wie jeder andere Operator) exakt nichts.

Das ist mir schon klar, aber dennoch wird man doch wohl H:=c*d²/x² + V(x) schreiben dürfen.
Es will nicht in meinen Kopf warum ich dann nicht bla=x(d/dx) - (d/dx)x schreiben darf, wenns beim Hamilton auch geht.

€:

Das ist etwas anderes als "wende d/dx auf x an und multipliziere das ergebnis mit f(x)

Natürlich, aber oben ist doch ne klammer:

[x, d/dx]f(x)=(x(d/dx) - (d/dx)x)f(x)

€²:

Vielleicht verstehe ich.
Ist das Problem, wenn ich die Definition [A,B]:=AB-BA anwende, dass nicht klar ist welche Verknüpfung zwischen A und B steht?

 

[narc]

Das ist mir schon klar, aber dennoch wird man doch wohl H:=c*d²/x² + V(x) schreiben dürfen.
Es will nicht in meinen Kopf warum ich dann nicht bla=x(d/dx) - (d/dx)x = x(d/dx) -1 schreiben darf, wenns beim Hamilton auch geht.

Weil deine Rechnung eben falsch ist.
d/dx x bedeutet eben nicht. Wende d/dx auf x an, sondern du musst beide als Operatoren auffassen. Das bedeutet: Wende den Operator x auf die Funktion an (das bedeutet multipliziere mit x) und wende anschließend auf das ganze den Operator d/dx an, d.h. leite alles nach x ab.

Beim Hamiltonoperator bedeutet die Schreibweise auch nicht, dass er das Potential V(x) ist (plus den ersten Term), sondern es bedeutet dass er auf andere Funktionen als Multiplikation mit V(x) (plus die zweite Ableitung nach x aus dem ersten Term) wirkt.

 

[zoiX]

Das Problem ist nicht die Notation:

bla=x(d/dx) - (d/dx)x

sondern die Umformung die du danach vornimmst. Denn du weißt gar nicht, ob

bla = x(d/dx) - (d/dx)x

angewendet auf eine allgemeine Funktion f(x) das gleiche tut wie

bla' = x(d/dx) -1

ohne bla und bla' auf eine allgemeine Funktion f(x) anzuwenden und die Ergebnisse zu vergleichen. Um es dir vorweg zu nehmen: Die Ergebnisse sind nicht gleich, denn die negative Ableitung von x*f(x) (aus dem Subtrahenden von bla) ist nunmal nicht -1*f(x) (aus dem Subtrahenden von bla')

 

[Ancient]

Jo, aber ich verstehe immer noch nicht wirklich warum diese Umformung falsch ist.
Gehts bitte nochmal in ganz langsam? Das Argument "du musst x als Operator auffassen, und nicht als x" (das hast du nicht so geschrieben, aber so klingt es für mich) finde ich nicht sehr schlüssig...

 

[Amabilis]

Natürlich, aber oben ist doch ne klammer:

[x, d/dx]f(x)=(x(d/dx) - (d/dx)x)f(x)

€²:

Vielleicht verstehe ich.
Ist das Problem, wenn ich die Definition [A,B]:=AB-BA anwende, dass nicht klar ist welche Verknüpfung zwischen A und B steht?

Das ist klar. Die verknüpfung ist die komposition von operatoren.
Ich habe meinen beitrag oben noch einmal editiert, vielleicht hilft das.

Schreibe
(x(d/dx) - (d/dx)x)f(x)
lieber als
(x(d/dx) - (d/dx)x) [f(x)].
Sprich:
Der operator (x(d/dx) - (d/dx)x) angewendet auf die funktion f(x).

[edit]
Hast du die Änderung meines obigen beitrags gelesen und ist es immernoch unklar?


Wenn du mit der Kurznotation der Operatoren Probleme hast, kehre einfach zurück zur ausführlichen Notation als Abbildungen.
Wir haben hier:
R = Menge der reellen zahlen.
C = Menge der stetig differenzierbaren funktionen auf R.
Ein operator ist jetzt eine abbildung von C nach C. Er nimmt also eine funktion und liefert eine neue funktion.
Wir haben nun zwei abbildungen auf C gegeben, nämlich
d/dx: C -> C, f -> f'
und
x: C-> C, f -> id*f

Ich hoffe, du siehst jetzt, warum du nicht d/dx*x=1 (sprich "d/dx komponiert mit x") annehmen darfst.
Der grund ist, dass x hier keine reelle funktion, sondern ein operator auf den reellen funktionen ist.
Die vorschrift (d/dx*x)(f) besagt: wende den operator x auf die funktion f an, dh multipliziere f mit der identischen abbildung und dann leite ab (produktregel).
Du kennst die funktion f aber gar nicht. Insbesondere weißt du also nicht, wie die ableitung aussieht, also kannst du auch nicht folgern, dass (d/dx*x)(f)=1(f)=f ist.

 

[zoiX]

Weil du die Kettenregel missachtest und damit nunmal nicht auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens das gleiche steht wie links. Du darfst deinen Operator nicht Umformen, solange er ein Operator ist. Du musst ihn erst auf eine Funktion anwenden, was dir eine neue Funktion liefert. Dann darfst du deine neue Funktion umformen und schließlich mit der Ursprungsfunktion, die du erhalten hast nachdem du den Operator angewendet, aber noch nichts umgeformt hast vergleichen. Und wenn du dann durch Vergleich der alten mit der neuen Funktion siehst, dass dein Operator eigentlich nur mit -1 multipliziert (oder wasauchimmer tut), dann darfst du dir Gedanken machen, ob deine Funktion allgemein genug war, damit der Operator angewendet auf jede Funktion immer nur mit -1 multiplitziert. Und wenn das gegeben ist, dann darfst du sagen "Hey, weißt du was? Mein Operator ist eigentlich einfach 'Ô = -1'".

 

[ReVenger!]

Ich habe den Thread nur mal überflogen, aber wie es aussieht beachtest du halt die Regeln der Operatoren nicht:
wenn da steht ABf(x)=A(Bf(x)) die Operatoren werden dann von rechts nach links abgearbeitet. Operatoren kannst du nur vertauschen, wenn sie sich auf eine andere Variable beziehen.
z.b. (d/dx)(d/dy)f(x,y)=(d/dy)(d/dx)f(x,y)

Und mal noch die Lösung der Aufgabe:
[x;d/dx]f(x)=x (d/dx) f(x) - (d/dx) x f(x) <- beim Rechten Produkt wirkt nun d/dx auf die Funktion xf(x)
= x f'(x) - f(x) - x f'(x)= -f(x)

damit nun [x;d/dx] = -1

 

[Ancient]

Wir haben nun zwei abbildungen auf C gegeben, nämlich
d/dx: C -> C, f -> f'
und
x: C-> C, f -> id*f

Woher weißt du / wisst ihr, dass x eine Abbildung (inbesondere ein Operator) ist, und nicht der Funktionswert der Funktion f(x)=x an der Stelle x? Dass d/dx eine Abbildung (insbesondere ein Operator) sein muss sehe ich ein, da keine andere Interpretation möglich ist. Aber die Aufgabe sagt doch nirgends was zu x.

 

[zoiX]

Weil du den Kommutator zwischen x und d/dx berechnen sollst. Während meiner (im Rahmen eines Chemiestudiums erfolgten) Grundausbildung in Mathe musste ich immer nur Kommutatoren zwischen zwei Operatoren ausrechnen. Auch wenn man es mir nie explizit gesagt hat bin ich immer davon ausgegangen, dass Kommutatoren auch nur zwischen zwei Operatoren Sinn machen...

 

[Ancient]

Wieso?

[0 , d/dx]=0
[5 , 7]=0

Macht doch Sinn?
Oder ist ein Kommutator nur für zwei Operatoren definiert? Wenn ja verstehe ich natürlich was falsch gelaufen ist in meiner Rechnung.

 

[zoiX]

Ja, weil der Operator 1 nunmal besagt, dass man die Funktion rechts von ihm mit 1 multipliziert und 1 eine Konstante ist, die vom Ableitungsoperator d/dx nicht betroffen ist.

Der x-Operator (der dir sagt "Multipliziere die Funktion rechts von mir mit x") und der Ableitungsoperator nach x beeinflussen sich aber gegenseitig.

 

[Ancient]

Es sollte die 1 bzw 0 der reellen Zahlen sein, keine Abbildung.

 

[zoiX]

Nen Post zu editieren nachdem man zu seinem Inhalt schon was gesagt hat ist ja mal die ganz hohe Schule o.O

Ich weiß nicht, wie ernst ich das noch nehmen soll. Denn deinen Fehler (und das die Musterlösung eben doch recht hat, weil....) hat man dir bereits erklärt.

Ich weiß echt nicht mehr, was du hören willst. Ich sage dir in einem Post, dass ich davon ausgehe, dass es einfach keinen Sinn macht, Kommutatoren zwischen Operatoren und Variablen zu bilden, du konterst erst mit nem Post in dem du meinst es würde aber ja Sinn machen Kommutatoren zwischen Operatoren und Konstanten zu bilden (was funktioniert, da man Konstanten ja problemlos als Operatoren auffassen kann, die eine Multiplikation mit der Konstante verlangen). Okay soweit - ich erzähl kurz, dass dein Beispiel halt nur funktioniert, weil man zwischen dem Operator 1 und der Konstante 1 nicht diskriminieren kann.

Später schau ich nochmal hier rein, da editierst du dein Beispiel, auf das ich mich schon bezogen hab, und erweiterst deinen Post um die Feststellung, dass es ja sein könnte, Kommutatoren nur zwischen zwei Operatoren definiert sein könnten (Woher kenn ich die Vermutung nur...)

Also. Ich bin fachlich raus aus dem Thread. Vllt. findet sich nen Mathematiker der dir (fachlich natürlich korrekt und ausführlich) erklären kann, worans bei dir hakt. Bis dahin behalt ich das hier nur noch als Mod im Auge.

 

[narc]

Ich schreibe einfach mal ein paar grundlegende Gedanken auf, die dir vielleicht das Verständnis etwas erleichtern:

Den Kommutator kann man im Grund für jede Gruppe (also Menge mit ner Verknüpfung) definieren. Er gibt eben an, um wieviel sich A * B von B * A unterscheidet. Dabei ist * zunächst mal eine beliebige Verknüpfung. A und B sollten dabei sinnvollerweise aus der gleichen Gruppe (d.h. entweder beides Zahlen, Funktionen oder eben Operatoren sein) kommen, damit auch A * B und B * A aus dieser Gruppe kommen (und damit überhaupt aus der gleichen Gruppe kommen und überhaupt gleich sein können).
Definiert man den Kommutator bei reellen Zahlen o.ä. ist das natürlich relativ langweilig, weil die reellen Zahlen eben kommutativ sind und der Kommutator somit jeweils 0 ist.

Da du den Kommutator von d/dx und x berechnen sollst, macht es NUR Sinn, d/dx und x beide als Operatoren aufzufassen. (weil eben beide das "gleiche" sein sollen und das eine Operator und das andere Funktion eben im Allgemeinen wenig Sinn macht). d/dx tut dabei als Operator in der Tat einfach das, was man vermutet, es leitet die Funktion nach x ab. x dagegen fasst man einfach als Multiplikation mit x (von links, falls das entscheidend sein sollte) auf (das ist im Grunde Konvention und "ist halt so", das musst du einfach akzeptieren). Nun bleibt noch zu klären, was die Verknüpfung in diesem Fall ist. Und diese ist eben bei Operatoren (wie bei Funktionen und im Grunde sind Operatoren ja sowas wie Funktionen, die eben auf den Funktionen arbeiten) die Hintereinanderausführung.

Wie ich oben schonmal geschrieben habe, definieren sich die Operatoren darüber wie sie auf den Funktionen wirken. Daher wirst du im Allgemeinen nicht umhin kommen, Operatoren immer bei der Wirkung auf eine beliebige Funktion f zu betrachten. Ganz analog zu den Funktionen, wo du auch mit f(x) oder sin(x) rechnest und nicht mit f oder sin direkt.

In deinem Beispiel [0 , d/dx]=0 macht es keinen Sinn, die 0 als reelle Zahl aufzufassen, da - wie erwähnt - die beiden Elemente von denen ich den Kommutator betrachte, aus der gleiche Menge kommen sollen. Daher macht es hier, genau wie oben beim x, nur Sinn die 0 als den Operator aufzufassen, der die Funktion mit 0 multipliziert (oder äquivalent, der einfach jede Funktion auf die Nullfunktion schickt).
edit: Darum musst du die -1 in der Musterlösung auch als Operator (Multiplikation mit -1) auffassen und nicht eben als die reelle Zahl -1.

Dein Problem mit der Aufgabe war einfach, dass du das "x" missinterpretiert hast, was wohl v.a. an der nicht ausreichenden Erklärung in der Vorlesung liegt (ich nehme aus dem Kontext einfach mal an dass du Physik studierst und dort sind die mathematischen Erklärungen oftmals einfach nicht ausreichend). Das solltest du einfach akzeptieren und ab jetzt einfach richtig machen.

 

[Ancient]

Nen Post zu editieren nachdem man zu seinem Inhalt schon was gesagt hat ist ja mal die ganz hohe Schule o.O

Das Posting hat vorher halt keinen Sinn ergeben, dass du da schon seit 2 Minuten geantwortest hattest tut mir leid.

Ich weiß nicht, wie ernst ich das noch nehmen soll. Denn deinen Fehler (und das die Musterlösung eben doch recht hat, weil....) hat man dir bereits erklärt.

Bestreite ich doch gar nicht?

Ich weiß echt nicht mehr, was du hören willst. Ich sage dir in einem Post, dass ich davon ausgehe, dass es einfach keinen Sinn macht, Kommutatoren zwischen Operatoren und Variablen zu bilden, du konterst erst mit nem Post in dem du meinst es würde aber ja Sinn machen Kommutatoren zwischen Operatoren und Konstanten zu bilden (was funktioniert, da man Konstanten ja problemlos als Operatoren auffassen kann, die eine Multiplikation mit der Konstante verlangen).

Ich "kontere" gar nichts, mir scheint du hast den Eindruck ich versuche mich gegen deine Erklärungen irgendwie zu "wehren" und sei im Glauben meine Lösung wäre richtig. Das ist nicht so.

Okay soweit - ich erzähl kurz, dass dein Beispiel halt nur funktioniert, weil man zwischen dem Operator 1 und der Konstante 1 nicht diskriminieren kann

Meinst du mit diskriminieren unterscheiden? Wenn ja, wieso genau nicht?
Wenn ich d/dx auf eine Konstante anwende, kommt ja null raus, wenn ich d/dx mit dem Operator "multipliziere mit einer Konstanten" komponiere nicht. Ich meine: "leite 1 nach x ab" ungleich "multipliziere mit eins, leite dann nach x ab"

erweiterst deinen Post um die Feststellung, dass es ja sein könnte, Kommutatoren nur zwischen zwei Operatoren definiert sein könnten (Woher kenn ich die Vermutung nur...)

Die Frage kam mir natürlich, weil du die Vermutung geäußert hast, dass Kommutatoren nur zwischen zwei Operatoren Sinn ergeben / definiert sind. Wieso darf ich denn dann nicht aufrichtig fragen, ob es jemand nicht nur vermutet, sondern weiß?

€: thx narc.
Damit hätte ichs dann auch verstanden. Vielen Dank für die Geduld, euch allen.

 

[narc]

Sei 1 die reelle Zahl 1 => (d/dx)(1)=0

Genau hier hast du aber das Problem dass du den Kommutator nicht sinnvoll berechnen kannst:
So ist (nach deiner Auffassung, mathematisch gesehen ist das nachfolgende aus obigen Gründen falsch): (d/dx) (1) = 0 (0 als reelle Zahl verstanden).
Andrerseits: 1 (d/dx) = d/dx (das ist offensichtlich keine reelle Zahl sondern ein Operator).
Wie willst du da nun den Kommutator bilden? Du kannst nicht von einer reellen Zahl einen Operator abziehen! Das sind eben zwei völlig unterschiedliche Sachen,
der Term 0 - d/dx macht eben keinen Sinn.

Alles weitere siehe mein obiger Post.

 

[zoiX]

Hm....ja, hab da wohl etwas überreagiert, wegen des editierten Beitrags...sorry dafür.

Nach narcs Post sollte ja nun alles einigermaßen klar sein - Kommutatoren nur zwischen Elementen gleicher Gruppen anwenden und die Verwirrung ist erfolgreich vermieden.

 

[Ancient]

Genau hier hast du aber das Problem dass du den Kommutator nicht sinnvoll berechnen kannst:
So ist (nach deiner Auffassung, mathematisch gesehen ist das nachfolgende aus obigen Gründen falsch): (d/dx) (1) = 0 (0 als reelle Zahl verstanden).
Andrerseits: 1 (d/dx) = d/dx (das ist offensichtlich keine reelle Zahl sondern ein Operator).
Wie willst du da nun den Kommutator bilden? Du kannst nicht von einer reellen Zahl einen Operator abziehen! Das sind eben zwei völlig unterschiedliche Sachen,
der Term 0 - d/dx macht eben keinen Sinn.

Alles weitere siehe mein obiger Post.

jo ist alles klar jetzt, siehe letzten edit.

Dein Problem mit der Aufgabe war einfach, dass du das "x" missinterpretiert hast, was wohl v.a. an der nicht ausreichenden Erklärung in der Vorlesung liegt (ich nehme aus dem Kontext einfach mal an dass du Physik studierst und dort sind die mathematischen Erklärungen oftmals einfach nicht ausreichend). Das solltest du einfach akzeptieren und ab jetzt einfach richtig machen.

Ich studiere Chemie, da kriegt man entweder nichts sauber erklärt oder z.b. dass Funktionen von Zahlen auf Zahlen abbilden und Operatoren daher keine Funktionen sind. Oder dass reelle Konstanten keine Vektoren sind/sein können.

 

[sesslor]

Man sollte vielleicht noch hinzufuegen, dass die Operatoren in diesem Fall Elemente einer Algebra sind, nicht nur einer Gruppe. Ansonsten waere die Addition bzw. Subtraktion nicht definiert.

Ansonsten kann ich dir nur raten, dir immer ueber die exakten mathematischen Definitionen im Klaren zu sein, die hinter irgendwelchen Formeln stecken. Das erfordert zwar etwas Arbeit, erspart einem dafuer sehr viel Konfusion und man weiss zumindest immer, woran man ist. Die Operatoren in der Quantenmechanik sind immer Funktionen von einem Funktionenraum auf sich selbst (also wieder den Funktionenraum).

 

[taurum]

Die Notation ohne Wf von : [x ,d/dx]= x(d/dx) - d/dx(x)
oder allgemein: [A,B] = A(B)- B(A)
ist btw. auch (fast) immer korrekt, wenn man Kommutatoren berechnen will, solange man sich bewusst ist, dass es sich um Operatoren handelt. Eine beliebige Funktion muss man nicht einsetzten. Hab mich darüber vor paar Monaten mit meinem TC Prof. erst unterhalten.

Edit: Ich relativiere meine Aussage mal mit, fast immer, wobei mir kein Beispiel bekannt ist, wo es nicht so wäre ^^

 

[sesslor]

Solche Aussagen sind halt super, (fast) immer korrekt, ohne Angabe dazu wann das jetzt korrekt ist oder nicht. So bleibst du immer im ungewissen und hast nie nen Plan, was du eigentlich gerade machst.

Und doch, du musst schon eine allgemeine Funktion f (aus dem jeweiligen Funktionenraum) einsetzen, dir ansehen, was [A, B] f ist, und dann versuchen, das als C f auszudruecken (fuer alle f). Dann kannst du sagen, dass C der Kommutator von [A, B] ist, unabhaengig von f.

 

[taurum]

Ok streichen wir das (fast) vma, war evtl bisschen unsinnig das reinzueditieren.

Aber ansonsten bleib ich bei meiner Aussage, du brauchst keine Funktion einzusetzten, um deinen Kommutator auszurechnen.
Aber ich lass mich gerne vom Gegenteil überzeugen. Kannst du mir ein Beispiel nennen, bei dem ich, ohne eine Funktion einzusetzten, auf ein falsches Ergebnis komme ?

 

[sesslor]

Sei der Operator A definiert als: A f := (x->0), wenn f = (x->sin(x)), ansonsten A f := f;
Operator B ist definiert als B f := (x-> x f(x));

Welches Ergebnis erziehlst du fuer den Kommutator?

 

[taurum]

hi sesslor,

hab grad paar Schwierigkeiten deine Operatoren zu verstehen.
Also B soll bei dir der Ortsoperator sein oder? B = x
Und A = *0, für ??? , und ansonsten A=*1?

Tut mir Leid, wenn ich deine Schreibeweise nicht ganz verstehe, wär nett, wenn du es nochmal kurz erklären könntest, was du genau meinst.

 

[sesslor]

Sorry, war wohl zu sehr bedacht auf formale Korrektheit. Den Operator B hast du richtig verstanden, und A soll einfach alle Funktionen auf Null abbilden, ausser sin(x), was sin(x) bleibt.