Elektrostatik

[miro99]

Die Aufgabe: Berechnen sie das elektrische Feld E und das zugehörige Potential im Vakuum.

a) Die Ladungsdichte p (soll jetzt mal für "rho" stehen) eines geraden, in z-richtung unendlich ausgedehnten und unendlich dünnen Drahtes ist in Zylinderkoordinaten bestimmt durch p(r)= k*delta(r)/ Pi*r, wobei k die homogene Linienladung ist.

b) Eine unendlich ausgedehnte Ebene trage die homogene Flächenladung o, ihre Ladungsdichte ist gegeben als p(r)= o delta(z)

a) Ich rechne mit der relation integral( Nabla E dv) = Kreisintegral (E dF)
dF ist das Flächenintegral, manchmal auch als dS geschrieben.
Ich nutze aus, dass das E-feld nur von dem Radius r abhängen kann. Also: E=E(r) * er (er steht für den einheitsvektor in Zylinderkoordinaten)
Zur Berechnung erstell ich mir einen Testzylinder:
Jetzt berechne ich das Kreisintegral (E dF): Der Deckel und der Boden vom Testzylinder heben sich bei der Berechnung vom Kreisintegral der Fläche auf. Also betrachte ich nur den Mantel: dF= er r dz dphi setze ich ein und hab damit das Integral von 0 bis 2Pi und 0 bis L (L ist die Länge meines Testzylinders) von E(r) er er r dz dphi = 2 Pi L r E(r)

Jetzt berechne ich die linke Seite des Integrals und nutze: Nabla E = p/e0 (e0 ist epsilon 0). Also Integral (p/e0) dv= Integral von 0 bis 2 Pi, 0 bis L, 0 bis r (k delta(r)/Pi r e0) r dr dphi dz. Das "r" vor dr dphi dz ist die Funktionaldeterminante in Zylinderkoordinaten. Das integral über die delta Funktion führt man aus, indem man für das Argument der delta-funktion (in diesem fall "r") null einsetzt. r hat sich aber sowieso weggekürzt. Von daher lass ich einfach das Integral über dr und die delta funktion weg und erhalte: Integral von 0 bis 2Pi, 0 bis L (K/Pi e0) dPhi dz = 2KL/e0.

Die beiden Ergebnisse setze ich in die Relation oben ein und bekomme: 2KL/e0=2 Pi L r E(r) <=> E(r)= K/(Pi r e0). Das setzte ich jetzt noch ein in: Vektor E= E(r) er = K/(Pi e0) * er/r.

In Wikipedia steht aber: Vektor E= K//2Pi e0) * er/r
http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrisches_Feld Bei: elektrisches Feld einer Linienladung.
Da ich schon öfter dachte, dass bei Wikipedia ein Fehler ist, im enddefekt aber doch immer ich mich vertan habe, will ich jetzt mal hier nachfragen ob einer sieht wo mein Fehler ist.
Ich hoffe einer kennt sich damit aus und blickt durch die ohne Formeleditor geschriebenen Sachen durch.

bei b) hab ich raus: E(z) = o/e0 und wikipedia wieder E(z)= o/(2 e0)

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Hi, also bei b) hat wikipedia schon mal recht, denn du hast ob der Gleichung E(z) = -E(-z)(Vektoriel geschrieben) mit dem Gaußschen Satz zwei mal die Fläche A drin(also Quader um die Fläche dann hast du nur die Flächen unter und über der Fläche, wobei durch die Vorzeichen der Flächenormalen aber am Ende 2*E*A = A*rho rauskommt.).



bei a) kommt E(r) = k/(pi*r) raus, wobei die gegebene Ladungsdichte verschieden ist von jener bei Wikipedia.

 

[miro99]

wo ist bei deiner Lösung das epsilon 0 geblieben?

Aber du hast dann auch kein 1/2 als vorfaktor rausbekommen? (bei a)

Vielen dank schonmal für die b)
Hab die untere Fläche vom Testquader total vergessen.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Hab ich einfach vergessen

Bei a) dürfte ich mich geirrt haben, würde vorschlagen du rechnest das efeld mal konventionell aus, in dem du das wie folgt aufschreibst:

dE = lambda*dl/(4*Pi*e0(x`-x)^3) *Vektor(x`-x)
Dann das Koordinatensystem so drehen dass es eine Integration in einer Variable ist.
Dann das Ergebnis mit deinem Vergleichen

edit: habs mal gemacht und das von Wikipedia stimmt.

 

[miro99]

Ich hab heute erfahren, dass wenn die Delta-Dirac Funktion nur das Argument 0 für einen wert besitzt, der auf der Integral-grenze ist, das Integral darüber 1/2 ist. (ist Konvention) also bei mir: integral von 0 bis r (delta (r))dr = 1/2