Ein paar kleine Mathe Probleme

[Ronschk]

Hi,
schreibe übermorgen Klausur und an sich läuft alles ganz gut, nur bin ich beim Rechnen alter Klausuren auf ein paar Probleme gestoßen:

1.

Das Problem hier ist die Abschätzung. Die Lösung ist wohl, dass es gegen 1/2 konvergiert, sagt zumindest WolframAlpha, aber ich denke nicht, dass da abgeschätzt wird. Also wie kann man die Aufgabe lösen?


2.
Konvergenzradius von

Hier muss man ja irgendwie a*x^k (a ist ne Folge) stehen haben um den Konvergenzradius zu berechnen, aber... naja wie soll man da x^k rauskitzeln?

3.

Hier liegt das Problem in der Partialbruchzerlegung. Nullstellen sind 1 und -1 und 2i und -2i. Aber bisher hatten wir immer nur Funktionen die sich aus reellen Nullstellen zusammensetzen lassen. Ich hab dann Partialbruchzerlegung mir A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x^2+4) versucht, aber da kommt dann 0=2 raus. WolframAlpha macht auch Partialbruchzerlegung, aber ich würde niemals auf die Form kommen, die dort benutzt wird.
Also: wie würdet ihr das lösen?

Vielen Dank schonmal!

 

[zerg123]

zu 1.)

n aus der Wurzel ziehen
-> n/[n*sqrt(1+klein)+n]

zu 3.) C alleine reicht doch da nicht, eher Cx+D ?

 

[crazyBlTCH]

zu 2) Formel von Cauchy-Hadamard, halt statt k mit 2k+1, hat ja den gleichen Effekt bei der folge a_k, die ja konstant 1 ist. Also Konvergenzradius = 1, genau wie bei x^k, nur hier auch konvergent am Randpunkt -1

 

[Ronschk]

hm ja ist irgendwie klar -.- danke! Nur das mit der Konvergenz am Randpunkt muss ich mir nochmal angucken.
@zerg:
zu 1. Danke!
zu 3. Also Wolframalpha macht es mit A,B und C ....

 

[maziques]

zu 3.

mach ganz normal partialbruchzerlegung für jede nullstelle egal ob komplex oder nicht. fasse die terme mit komplexe konjugierten nullstellen zusammen. nun hast du einen lösbaren bruch mit reellen koeffizienten. win.

so brauchst du dir keinen ansatz ala Cx+D etc. ausdenken.

 

[mfb]

Bei 2.:
a_k=1 falls k=2n+1 für ein natürliches n
a_k=0 sonst
Damit kann man das wie üblich behandeln.

Einfach ignorieren, dass dort 2k+1 steht, geht im Allgemeinen nicht, sonst würde man z.B. bei der Summe über 2^k * x^(2k) auf das gleiche wie bei 2^k x^k und damit 1/2 kommen, richtig ist hier aber 1/sqrt(2).

Die Partialbruchzerlegung kann man durchaus im Komplexen durchführen. Oder man lässt die beiden komplexen Nullstellen zusammen und setzt mit Cx+D an, kann man machen wie man möchte. Die komplexen Ausdrücke sind etwas schneller integrierbar.