zinses zins und so

[VoodooDog]

eine, eigentlich einfache, aufgabe aus der angewandten wirtschaftsinformatik.

wir haben die aufgabe mittlerweile Tod diskutiert, mather Lehrer, mathe Studenten und Informatik Studenten drüber schauen lassen. eine lösung haben wir immer noch nicht (bzw einen allg. gültigen Lösungsweg).


"Huber leiht sich 100.000 €. Als Gegenleistung (Rückzahlungen) zahlt
er nach einem Jahr 62.500€ und nach einem weiteren Jahr 56.250€.
Bei welchem (positiven) Jahreszinssatz (= „Effektivzins“) sind
Kreditzahlung und Gegenleistung äquivalent? (Zinsperiode = 1 Jahr)"

ist die gleichung: 118750=100000(1+x)² richtig? x wären die zinsen.
falls ja, wie stell ich nach x um?

wahrscheinlich hätte ich mir für diesen thread einen neuen account erstellen sollen, aber was solls. ich bin dum ihr seid schlau.
bitte helft mir

 

[sesslor]

Die Gleichung ist korrekt, x = sqrt(1,18750) - 1.

edit: Falsch, ist wohl wirklich Unsinn das so zu interpretieren, warum sollte der andere schließlich das Geld ein Jahr rumliegen lassen? Und wenn dann ist er selbst schuld. Daher Fail von mir.

 

[Benrath]

ok auch hier uneinigkeit

es ist nicht ganu klar formuliert, ich lese da, das du den zinssatz suchst bei dem

62500*(1+x)+56250=100000*(1+x)*(1+x)

die erste Zahlung muss nach einem jahr auch verzinst werden

dann ist x= 1/8 = 0.125

 

[mfb]

Siehe Benrath.

118750=100000(1+x)² kann nicht richtig sein, es sei denn, man legt die 62.500€ erstmal ins Sparschwein und zahlt sie erst nach Ablauf der zwei Jahre.

Herleitung:
Nach einem Jahr sind zunächst 100000*(1+x) Schulden da, davon werden 62500 gezahlt => 100000*(1+x) - 62500 Schulden
Nach zwei Jahren werden die erneut verzinst und somit zu (100000*(1+x) - 62500)*(1+x) Schulden, und das soll genau 56250 sein. Damit erhält man die von Benrath geschriebene Gleichung.

 

[Benrath]

ich glaub btw das dog uns trollt

 

[MegaVolt]

Zerlegt die Zahlungsströme in Zins- und Tilgungsanteil.

Jahr 1 hat Zinscashflow Z1 und Tilgung T1 mit Z1+T1 = 62,5
Jahr 2 hat Z2 und T2 mit Z2+T2 = 56,25
Zinsen nach dem ersten Jahr: Z1 = x * 100 da das Nominal 100 beträgt (bei Zinssatz x).
Zinsen im zweiten Jahr: Z2 = x * (100 - T1) da das Nominal 100 minus Tilgung des ersten Jahres beträgt.
Tilgung insgesamt muss dem Gesamtnominal entsprechen, d.h. T1 + T2 = 100.
Damit hast du 5 Gleichungen und 5 Unbekannte, den Rest überlasse ich den Studenten zur Übung

 

[VoodooDog]

ok auch hier uneinigkeit

es ist nicht ganu klar formuliert, ich lese da, das du den zinssatz suchst bei dem

62500*(1+x)+56250=100000*(1+x)*(1+x)

die erste Zahlung muss nach einem jahr auch verzinst werden

dann ist x= 1/8 = 0.125

da müsste doch 100k*zins*zins = 118750 rauskommen.
bei dir kommt ~126k raus. auch wenn die Gleichungen äquivalent sind.

 

[Benrath]

lies doch was mfb geschrieben hat. Du leihst dir für 2 Jahre 100000 mit zinsen.

auf der anderen seite zahlst du nach einem Jahr 625000 zurück und nach 2 Jahren 56250.

die 62500 musst zwischenzeitlich auch verzinzen. Du musst alles Zahlungen auf das gleich Jahr bringen.

du kannst z.b. auch 100000=62500/x+56250/x^2 nach x auflösen, dann kommt auch 9/8 raus

 

[MegaVolt]

Ne, die 62,5 muss er nicht verzinsen. Die zahlt er ja zurück. Was er verzinsen muss ist der Restbetrag der nach der Tilgung des ersten Jahres übrig bleibt und die Tilgung ist von 62,5 verschieden, weil bis dahin Zinsen aufgelaufen sind.
Deshalb das Gleichungssystem

Edit: Edit wieder gestrichen. Ich war kurz verwirrt, weil ich den Nominalzins ausgerechnet habe, aber im Beispiel nach dem Effektivzins gefragt war. Ist aber letztendlich egal, da beides bei Zinszahlung einmal im Jahr (und kein Agio etc.) sowieso gleich ist, Google ftw . Das sollte dann auch das gleiche ergeben wie Benraths Rechnung, da aufzinsen aller Cashflows auf den Tilgungszeitpunkt den Effektivzins gibt und genauso richtig ist.

 

[SvenGlueckspilz]

Es gibt (mindestens) zwei mögliche Überlegungen, die zum gleichen Ergebnis führen:

Erstens man fragt sich, wie der Zinssatz sein muss, damit der Kreditgeber am Ende das gleiche hat, wie wenn er den Kredit nicht geben würde, die Gleichung
118750=100000(1+x)² ist hier falsch, zumindest wenn man davon ausgeht, dass der Kreditgeber die erste Teilrückzahlung selber zwischendurch noch weiterverzinsen würde.
Dann ist die Gleichung 62500*(1+x) + 56250 = 100000*(1+x)²

Die zweite Überlegung ist, sich zu fragen, wie der Zinssatz sein muss, dass es für Huber keinen Unterschied macht, was zur Gleichung
(100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250 = 0 führt, die offensichtlich das gleiche Ergebnis hat.

Die Gleichung 118750=100000(1+x)² beantwortet nur die Frage, wie der Zinssatz sein müsste, wenn der Kreditgeber die erste Rückzahlung zwischendurch nicht selber anlegt, sondern einfach liegen lässt und trotzdem das gleiche rauskriegen soll, wie wenn er den kompletten Betrag zwei Jahre lang verzinst hätte. Das Liegenlassen wäre natürlich dumm vom Kreditgeber und Huber bezahlt dann für diese Dummheit des Kreditgeber, indem er draufzahlen muss, um die Dummheit des Kreditgebers auszugleichen.

 

[Flugscheibenkonstrukteur]

Barwert Methode:

100.000 € = 62.500 € * (x)^-1 + 56.250 € * (x)^-2

X müsste 9/8 sein, also 1,125.
D.h. 12,5% Zinsen afaik.

Was ich sicher sagen kann ist, dass die Gleichung von voodoo falsch ist.

€: Benrath macht im Prinzip das gleiche, müsste also passen.

Jeder, der es anders macht ist ein noob

 

[VoodooDog]

die Mehrheit der leute (inkl. mir) versteht die aufgabe anders.

Erstens man fragt sich, wie der Zinssatz sein muss, damit der Kreditgeber am Ende das gleiche hat[...]

imo fragt man sich, wie Hubert die 100000 verzinsen muss um nach 2jahren auf 118750 zu kommen. dann wäre 100000(1+x)(1+x) richtig und x ist ~8,972%

 

[MegaVolt]

Nun war ich doch neugierig und hab's mal ausgerechnet: "Mein" Gleichungssystem produziert tatsächlich das selbe Resultat wie Benraths.

 

[SvenGlueckspilz]

die Mehrheit der leute (inkl. mir) versteht die aufgabe anders.




imo fragt man sich, wie Hubert die 100000 verzinsen muss um nach 2jahren auf 118750 zu kommen. dann wäre 100000(1+x)(1+x) richtig und x ist ~8,972%

Trollst du? Das wäre selbstverständlich nicht richtig, denn Hubert kann nicht die ganze Zeit den vollen Betrag verzinsen, weil er zwischendurch einen Teil zurückzahlen muss.
Wie du in meinem Abschnitt über die zweite Überlegung hättest nachlesen können muss x in diesem Fall die Gleichung
(100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250 = 0 erfüllen, was aufs gleiche rauskommt, wie in der ersten Überlegung. Das ist übrigens auch Benraths Ergebnis.

Wenn du meinen ganzen Beitrag gelesen hättest, dann solltest du eigentlich auch verstanden haben, warum deine Gleichung falsch ist.

 

[VoodooDog]

jaja ihr habt ja recht.

€: danke

 

[VoodooDog]

ich muss hier nochmal drauf rumreiten. bevor geflamed wird bitte einfach gar nichts schreiben

118750=100000(1+x)² ist hier falsch, zumindest wenn man davon ausgeht, dass der Kreditgeber die erste Teilrückzahlung selber zwischendurch noch weiterverzinsen würde.
Dann ist die Gleichung 62500*(1+x) + 56250 = 100000*(1+x)²

den Lösungsansatz "(100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250 = 0" hab ich nun verstanden.

ich versteh auch warum "118750=100000(1+x)²" falsch ist.

was ich nicht verstehe ist diese Gleichung:
"62500*(1+x) + 56250 = 100000*(1+x)²"

links der Gleichung ist der Kreditgeber der seine 62500 nach dem 1. Jahr für ein Jahr verzinst. Rechts der Gleichung ist Huber. Warum wird hier 100000(1+x)² und gerechnet? der Zahlt doch 62500 nach einem Jahr zurück.

trauriger weise erscheint mir das logischer
62500*(1+x)+56250= (100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250

links der Kreditgeber und rechts Huber. Bitte erklärts dem Grundschüler

 

[Benrath]

Deine GLeichung beschreibt in etwa

links: die Rückzahlung auf t=2 umgezinst.
Gleich
rechts: die ursprüngliche Kreditsumme minus die Rückzahlungen auf t=2 umgezinst. Wobei rechts = 0 eigentlich der Lösungsansatz ist.
Warum sollte links gleich rechts sein?


Die gleichung:
"62500*(1+x) + 56250 = 100000*(1+x)²"
ist übrigens genau dasgleich wie
"(100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250 = 0"

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

den Lösungsansatz "(100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250 = 0" hab ich nun verstanden.


was ich nicht verstehe ist diese Gleichung:
"62500*(1+x) + 56250 = 100000*(1+x)²"

Die Gleichungen sind doch äquivalent. Wenn du das eine verstehst, verstehst du auch das andere.

 

[SvenGlueckspilz]

Die beiden Gleichungen von mir sind äquivalent, wie schon bemerkt wurde, aber beide Gleichungen sind so formuliert, dass sie in etwa ihre Begründung enthalten, ausgehend von den beiden verschiedenen Fragestellungen, die ich formuliert habe (die sich wie gesagt als äquivalent entpuppen).

Die Gleichung, die du nicht verstehst, war
62500*(1+x) + 56250 = 100000*(1+x)²
Die resultiert aus der Fragestellung, wie der Zinssatz x sein muss, damit es für den Kreditgeber keinen Unterschied macht, ob er den Kredit gewährt oder nicht. Auf der rechten Seite der Gleichung steht der Betrag, den der Kreditgeber hätte, wenn er den Kredit nicht gewährt hätte. (Rechts steht also nichts, was mit Hubert zu tun hätte, außerdem ist
10000*(1+x)² doch eben nicht das, was Hubert erwirtschaftet, weil er wie erwähnt nicht den vollen Betrag die ganze Zeit verzinsen kann.)
Links von der Gleichung steht der Betrag, den er hat, wenn er den Kredit gewährt: Nach einem Jahr bekommt er 62500 zurück, diese verzinst er dann im zweiten Jahr natürlich, deswegen das *(1+x) und dann bekommt er am Ende noch 56250 zurück.

Was dir logisch erscheint:
62500*(1+x)+56250= (100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250
Das ist einfach komplett falsch, auf der linken Seite steht, was der Kreditgeber am Ende hat und auf der rechten steht, was Hubert am Ende hat (sollte 0 sein für das richtige x, man will ja gerade dass Hubert am Ende 0 hat, also weder plus noch minus gemacht hat), warum sollte Hubert am Ende das haben, was der Kreditgeber am Ende hat?

 

[VoodooDog]

Auf der rechten Seite der Gleichung steht der Betrag, den der Kreditgeber hätte, wenn er den Kredit nicht gewährt hätte.

aha! da war mein Denkfehler. die ganze Aufgabenstellung nur aus sicht des Kreditgebers zu betrachten... da wäre ich nie drauf gekommen lol

 

[SvenGlueckspilz]

Oder eben nur aus Huberts, der muss am Ende wie zu Anfang 0 haben:
(100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250 = 0

 

[Flugscheibenkonstrukteur]

ich muss hier nochmal drauf rumreiten. bevor geflamed wird bitte einfach gar nichts schreiben



den Lösungsansatz "(100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250 = 0" hab ich nun verstanden.

ich versteh auch warum "118750=100000(1+x)²" falsch ist.

was ich nicht verstehe ist diese Gleichung:
"62500*(1+x) + 56250 = 100000*(1+x)²"

links der Gleichung ist der Kreditgeber der seine 62500 nach dem 1. Jahr für ein Jahr verzinst. Rechts der Gleichung ist Huber. Warum wird hier 100000(1+x)² und gerechnet? der Zahlt doch 62500 nach einem Jahr zurück.

trauriger weise erscheint mir das logischer
62500*(1+x)+56250= (100000*(1+x) -62500)*(1+x) -56250

links der Kreditgeber und rechts Huber. Bitte erklärts dem Grundschüler

Die Frage lautet immer entweder: "Wieviel sind die genannten Summen nach 2 Jahren wert?" oder "wieviel sind die genannten Summen heute wert?"

Ich habe den zweiten Ansatz gewählt, die anderen den ersten Ansatz.
Der zweite Ansatz wird eigentlich in der Praxis bei so ziemlich jedem Projekt angewendet.

Die 100.000€, die man bekommt sind natürlich heute 100.000€ Wert.

Die 62.500, die man in einem Jahr zurück zahlt sind HEUTE etwas weniger wert, nämlich 62.500/x (wobei x halt die verzinsung ist, z.B. 1,125)

Die 56.250€, die man nach 2 Jahren zurück zahlt sind doppelt verzinst, also 56.250/x²

das war schon der ganze Zauber ...

aha! da war mein Denkfehler. die ganze Aufgabenstellung nur aus sicht des Kreditgebers zu betrachten... da wäre ich nie drauf gekommen lol

Nein, man kann sie aus beiden Richtungen betrachten, bzw. eigentlich aus gar keiner ...
Das, was ich grade nochmal beschrieben habe vergleicht einfach 100.000€ heute mit dem heutigen Wert der zukünftigen Zahlungen.
Je nachdem welche Zinsen denn nun Real rauszuholen wären macht man ein gutes oder schlechtes Geschäft.

 

[Benrath]

Die Frage lautet immer entweder: "Wieviel sind die genannten Summen nach 2 Jahren wert?" oder "wieviel sind die genannten Summen heute wert?"

Nö die Frage lautet wieviel sind die Zahlungen zum selben Zeitpunkt wert.

Du kannst problemlos:

100000*(1+x)=62500+56250/(1+x)

aufstellen.

 

[SvenGlueckspilz]

Also man kann ja jetzt wirklich mehrere äquivalente Fragen stellen, die zum gleichen Ergebnis führen, daher würde ich schon sagen, es gibt nicht DIE Frage.

 

[Flugscheibenkonstrukteur]

Nö die Frage lautet wieviel sind die Zahlungen zum selben Zeitpunkt wert.

Du kannst problemlos:

100000*(1+x)=62500+56250/(1+x)

aufstellen.

Da hast du natürlich recht
Allerdings denkt ja so kaum jemand.

 

[Benrath]

Also man kann ja jetzt wirklich mehrere äquivalente Fragen stellen, die zum gleichen Ergebnis führen, daher würde ich schon sagen, es gibt nicht DIE Frage.

Naja natürlich gibt es nicht die Frage.

aber wieviel ist der Zahlungsstrom zu t=0,1,2 wert führt zum selben Ergebnis wie wieviel ist der Zahlungstrom zum selben Zeitpunkt wert.

 

[SvenGlueckspilz]

Wieso "aber"? Das bestätigt doch die Aussage, dass es nicht die Frage gibt.

 

[Benrath]

Na ok ich wollte nett sein, in der Hinsicht gibt es die Frage. Zinssatz um die Geldströme vergleichbar zu machen. Nun zufrieden?

 

[SvenGlueckspilz]

Nö, es leuchtet mir nicht ein, warum von mehreren äquivalenten Fragestellungen eine besonders ausgezeichnet sein soll.

 

[MegaVolt]

Weil es nicht mehrere äquivalente Fragen sind sondern es ist die eine Frage in 3 verschiedenen Formulierungen, denn sie produziert 3 mal exakt die selbe Gleichung.

 

[SvenGlueckspilz]

Das ist so großer Quatsch, da weiß ich echt nichts mehr drauf zu sagen.

 

[ts_tommy]

hab die aufgabe gerade ohne den thread gelesen zu haben auch gelöst,
und natürlich etwas anderes heraus
da ich allerdings keinen fehler in meiner rechnung finde, hoffe ich, jemand anderes tut das,
denn das wurmt mich jetzt schon.

100.000 € werden ein Jahr lang verliehen.
Danach werden 62.500 € zurückgezahlt, ein Jahr später 56.250 €.
Es werden also 62.500 € + 56.250 € - 100.000 € = 18.750 € Zinsen fällig.

Mein Ansatz war nun die Einzelzinsen bei gleichbleibendem Zinssatz zu addieren.

(100.000 * p) + (37.500 * p) = 18.750

p = 13,636363 %

so einfach

wo ist der denkfehler?

 

[MegaVolt]

Der Denkfehler ist, dass die 62.500€ die im ersten Jahr gezahlt werden nicht zu 100% in die Tilgung gehen sondern nur ein Teil davon Tilgung ist und der Rest Zinszahlung des ersten Jahres. Somit fallen im zweiten Jahr die Zinsen nicht auf 37.500€ an sondern auf mehr.
Siehe mein oben beschriebenes Gleichungssystem dafür, das stellt genau diesen Unterschied zwischen Zinsen und Tilgung dar (und liefert wie gesagt das gleiche Ergebnis wie Benraths Ansatz der Diskontierung, der genauso richtig ist).

 

[ts_tommy]

endlich kapiert, merci