Wurzel bei quadratischen Gleichungen

[qwertzasdf1234]

Hi Folks,

meine Mathe-LK Zeit ist schon einiges her, und meine Freundin nervt mich grade mit Mathematik für Biologen

Wenn ich habe:

x²-2x(x+1)+(x+1)² = x²+2x(1-x)+(1-x)² dann erhalte ich immer eine wahre Aussage.

Binomisiere ich das ganze und versuche zu lösen, bekomme ich aids.

(x-(x+1))² = (x + (1-x))²
-1=1

Liegt das daran, dass mit dem Wurzelziehen ne Lösung meines quadratischen Terms wegfällt? Wird der Term unter meiner Wurzel negativ?

Helft mir doch bitte auf die Sprünge
danke

 

[Brusko651]

(x-(x+1))² = (x + (1-x))²
-1=1

wie kommst du da auf -1?
Auf beiden Seiten steht doch ein + vor der 1.

edit: hab mich verrechnet ^^

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

also deine 1. gleichung iust nichts anderes als

2x+1 = 1, d.h. x = 0.

Es sei denn ich habe mich gerade verrechnet

 

[Brusko651]

Ich glaube er hat sich verschrieben.
Auf der rechten Seite soll das in der Klammer wahrscheinlich (1-x) heißen, dann wäre die Seite gleich (x+(1-x))^2
Oder er hat sich verrechnet, kann natürlich auch sein.

edit:
jedenfalls, wenn die Gleichung eine wahre Aussage ist, dann muss man garnichts mit Wurzel-Ziehen machen, weil man eh sieht, dass beide Seiten gleich sind (und alles wegfällt).

 

[Amabilis]

Was hier stand, war falsch.

 

[qwertzasdf1234]

Hatte mich bei der ersten verschrieben auf der rechten Seite, sorry. Drecks Laptop Tastatur

Wenn ich bei der binomischen Formel einfach wurzelziehe auf beiden seiten gibts -1=1.

Hier oll erläutert werden, WARUM es nicht geht, den Term so umzuformen und die Wurzel zuziehen.

 

[Amabilis]

Sry, ich habe müll fabriziert.

Wurzelziehen ist natürlich nur dann eine äquivalenzumformung, wenn alle ausdrücke unter der wurzel positiv sind.

Das liegt daran, dass sqrt(a²)=|a|, nicht sqrt(a²)=a ist.
Das ist tatsächlich nur der fall, wenn a>=0 ist. In deinem fall ist a=-1, also ist die umformung nicht zulässig bzw. die lösungsmenge verkleinert sich.

Ziehst du keine wurzel, sondern rechnest beide seiten aus, erhältst du eine wahre aussage.

 

[Brusko651]

Naja genaugenommen ist es ja nichtmal "Wurzelziehen" wenn man einfach auf beiden Seiten das ² weglässt.

Wenn man von beiden Seiten die Wurzel zieht, dann erhält man

Wurzel((x-(x+1))²) = Wurzel((x + (1-x))²)

Und man kann sich leicht überlegen, dass Wurzel(a^2) = |a| ist für alle reellen Zahlen a. Also die Wurzel aus dem Quadrat von a ist der Betrag von a.

Du erhältst also:

|x-(x+1)| = |x+(1-x)|
oder:
|-1| = |1|
Oder anders ausgedrückt
"-1=+1 ODER -1=-1"
bzw:
-1 = +/- 1

So oder so, die Aussage ist offensichtlich wahr.

PS:
Wurzelziehen ist, wenn man es so macht, und nicht einfach das ² weglässt, immer eine Äquivalenzumformung. Denn die Wurzelfunktion ist injektiv.
Aber man kann nur wurzelziehen, wenn ein positiver Ausdruck da steht. Wurzel aus -1 ist von vornherein nicht möglich. Hier kann sich dieses Problem nicht ergeben, ein Quadrat also ein Ausdruck der FOrm a² ist immer positiv, egal ob a positiv oder negativ war.
(mit positiv meine ich eigentlich positiv oder null^^)

 

[qwertzasdf1234]

weitere Frage:

2x - 1 = SQRT((x-2)²)
2x - 1 = x + 2
x = - 1

ist wohl falsch, und es soll x = +1 rauskommen.

Frage: Wieso? I dont get it 8[ ich meine, wenn ich beide Terme oben einfach quadriere, komm ich auf x1/x2 = +-1

4x²-4x+1 = x²-4x+4
3x² = 3
x1/2 = +-1

a) ist das richtig? und b) warum soll x = -1 eine falsche Lösung sein?
Erleuchtet mich Idioten

 

[miro99]

Ich versteh nicht wie du von der ersten auf die zweite zeile auf x+2 kommst. Und den schritt danach versteh ich noch weniger. Bei dir kommt doch x= 3 raus

Deine 2. Rechnung ist im Grunde richtig. Sobald du eine Gleichung quadrierst, bekommst du aber neue Lösungen dazu und musst am ende nochmal alle einsetzen und gucken welche passen. Bei dir passt von x=1 und x= -1 eben nur x=1. Wenn du x= -1 einsetzt, stimmt die Gleichung nicht mehr.

 

[Brusko651]

zugegebenermaßen, es ist wirklich eine etwas verwirrende Sache, aber ich versuche mal zu erklären.^^

weitere Frage:

2x - 1 = SQRT((x-2)²)
2x - 1 = x + 2
x = - 1

ist wohl falsch, und es soll x = +1 rauskommen.

Man muss wieder beachten, dass SQRT((x-2)²)=|x-2| ist.
Also der Betrag von x-2.
Die Gleichung ist also:

2x - 1 = SQRT((x-2)²)
<=>
2x - 1 = |x-2|

Hier macht man am besten eine Fallunterscheidung:

Fall1:
x >= 2
Dann ist x-2 positiv, also ist einfach |x-2| = x-2
Die Gleichung wäre dann also:
2x-1 = x-2
<=>
x = -1
Aber -1 ist nicht größer-gleich 2. Und wir haben ja nur gesagt, dass unsere Gleichung zu dieser Gleichung wird, wenn x größer-gleich 2 ist. Also ist die Lösung nicht akzeptabel.

Fall2:
x <= 2
Dann ist x-2 negativ. Man muss es also mal -1 nehmen, um den Betrag davon zu erhalten. Also |x-2|= -(x-2) = -x +2
Also:
2x-1 = - x + 2
3x = 3
x= 1
Und das ist eine legitime Lösung.
Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung kann man überprüfen, dass es tatsächlich eine Lösung ist.
(Es ist auch die einzige Lösung, weil wir haben ja alle Fälle ordentlich überprüft.)

Frage: Wieso? I dont get it 8[ ich meine, wenn ich beide Terme oben einfach quadriere, komm ich auf x1/x2 = +-1

4x²-4x+1 = x²-4x+4
3x² = 3
x1/2 = +-1

a) ist das richtig? und b) warum soll x = -1 eine falsche Lösung sein?
Erleuchtet mich Idioten

Wenn du die beiden Terme quadrierst, dann veränderst du die Lösungsmenge.
Um das zu sehen, probiere mal -1 in die Gleichung einzusetzen.
Dann erhältst du
-3=3

Wenn du die Gleichung quadrierst, kommt aber eine richtige Gleichung raus
(-3)²=3²
9=9
Grundsätzlich gilt:
Wenn a=b dann ist auf jeden Fall auch a^2=b^2.
Aber nicht unbedingt umgekehrt.

Du kannst also durchaus quadrieren. Du wirst dadurch alle Lösungen finden. (denn jede Lösung der ursprünglichen Gleichung bleibt auch eine Lösung der quadrierten Gleichung.) Aber eventuell auch ein paar Lösungen zu viel.

Du musst also die Lösungen alle in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um zu überprüfen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.


PS: übrigens, die Gleichung
|2x-1| = |x-2| wäre durchaus äquivalent zu der Gleichung (2x-1)²=(x-2)².
Hier sieht man wieder, wie wichtig es ist, beim Wurzel ziehen die Betragsstriche nicht zu vergessen.
Wenn du aus der Gleichung (2x-1)²=(x-2)² die Wurzel ziehst, erhältst du |2x-1| = |x-2| , und nicht etwa 2x-1=|x-2| (was, wie wir gesehen haben, eine andere Lösungsmenge hat).

 

[Amabilis]

Naja genaugenommen ist es ja nichtmal "Wurzelziehen" wenn man einfach auf beiden Seiten das ² weglässt.

Wenn du es so schön erklärst, dann ja!

Ich bin mir allerdings nicht sicher, inwiefern das mit der gängigen definition einer umformung konform geht - leider kenn ich so eine gar nicht und sie scheint mir auch nicht ganz trivial.

Hervorragende beiträge übrigens.

 

[sesslor]

Man muss halt immer aufpassen, wenn man nicht-bijektive Funktionen auf beiden Seiten anwendet. Insbesondere bei nicht-injektiven, weil man dann eventuell Lösungen bekommt, die die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Das muss dann halt am Schluss geklärt werden.