Wieder Statistik: A-posteriori Verteilung

[Seingalt]

Einen schönen Sonntag zusammen,

ich hab mal wieder Probleme mit ner Statistik-Aufgabe. Geht diesmal um Bayes-Schätzung.

Gegeben seien n unabhängige Beobachtungen X_1 bis X_n einer Gleichverteilung auf (0,t), t>0.
Die A-priori Verteilung von t soll die Log-Normalverteilung sein zu den bekannten Parametern m und s²>0.

Gesucht sind
a) die a-posteriori Dichte von ln t,
b) das k-te a-posteriori Moment von t,
c) das Maximum der a-posteriori Dichte von t.

Ich hab also die übliche Situation wie hier dargestellt:
http://de.wikipedia.org/wiki/A-posteriori-Wahrscheinlichkeit#F.C3.BCr_stetige_A-priori-Verteilungen
g ist hier die Log-Normalverteilung, f ist die Likelihood-Funktion meiner Beobachtungen, also 1/t^n, wenn alle X_i zwischen 0 und t liegen, sonst 0.

Das Problem ist nun die Normalisierungskonstante, also der Nenner in der Definition der a-posteriori Dichte.
Hier muss ich wieder ausintegrieren, aber (überraschenderweise...) komm ich mal wieder auf ein Integral, das ich nicht lösen kann.
Es handelt sich um das Integral:

Da allerdings explizit nach der Dichte von ln t gefragt ist, muss ich ja nach ln t integrieren. Wenn ich z=ln t setze, komm ich hierauf:

So, ich weiß nun nicht, ob ich hier eventuell nen fehler gemacht habe oder einfach zu schlecht im Integrieren bin, was durchaus möglich ist.
Auch Wolframalpha hilft nicht weiter.

Muss ich hier einen anderen Ansatz verfolgen oder krieg ich dieses Integral irgendwie klein?


Ich bedanke mich vorab für jede Hilfe!

 

[xornado]

Hi, Du hast wahrscheinlich das Integral falsch gelöst.

Mit z = ln(t) und dz = 1/t * dt erhältst Du, nachdem Du standardmäßig die quadratische Ergänzung durchführst,

int(0,infinity [deine funktion] dt) = exp ( -m*n + 0.5*n²*s²)

als normierungskonstante.

VG
X

 

[Seingalt]

Ich hab in der Tat den zweiten Teil der Substitution vergessen und woltle daher direkt t^-(n+1) durch exp(-(n+1)ln(t)) ersetzen.
Aber wenn ich richtig substituiere, ergibt das ja keinen Sinn, weil ich dt=t dz noch ersetzen muss.

Das heißt, ich kürze erst ein t aus dem Nenner heraus und schreibe dann t^-n = exp(-n*ln(t))?

Meinst du das so? Versteh nicht, welche quadratische Ergänzung du meinst.

Soweit stimmts aber erstmal nach der Substitution, oder?

 

[sesslor]

Jo das müsste passen. Jetzt machst du einfach eine quadratische Ergänzung, verschiebst dann die Integrationsvariable und schon bekommst du eine Erf-Funktion heraus.

 

[Seingalt]

Bitte was soll ich machen und wtf soll dann rauskommen? -_-

 

[sesslor]

Gibs einfach hier ein, das müsste gehen:
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

Aber z durch x ersetzen. Die Integralgrenzen musste du halt dann von Hand einsetzen.

 

[Seingalt]

Würd trotzdem gern wissen, wie das per Hand geht...

Kannte diese spezielle Funktion übrigens noch gar nicht.

 

[xornado]

Hi, ich hoffe so wie jetzt angehängt passt die herleitung und evtl. hilft sie dir auch für später. kurz zusammengefasst: wenn du bei der (log)Normalverteilung zusätzliche Terme in der e-Funktion findest, kannst du immer versuchen diese in das quadrat hinter -0.5*1/varianz zu ziehen und dann zu schauen, ob da ein quadrat bei herauskommen könnte.

Edit: Ich komme mit diesen scheiss online formel editoren nicht klar. grafiken downloaden, und dann einfach nativ anschauen. VG,X

 

[Seingalt]

Danke für die Hilfe! Bin damit sehr viel besser zurechtgekommen, obwohl ich leider bis zum Schluss einen Fehler in meinem Integral hatte (falsche Integrationsgrenze).

Wir haben inzwischen auch das Ergebnis besprochen und ich hab mir wohl viel mehr Arbeit gemacht, als gefragt war: Es genügte wohl die Proportionalität von A-posteriori Dichte zu Likelihoodfunktion und A-priori Dichte zu benutzen - das berechnen der Normierungskonstanten war gar nicht explizit gefragt. :/