Wieder Ana-1

[Toadesstern]

Ja ich bins wieder. Heute wieder mit Gruppe getroffen und ich habe 5 von 6 Aufgaben hingekriegt und die Aufgabe die ich nicht hingekriegt habe hat anscheinend keiner von uns bisher hingekriegt. Dann noch nen Freund getroffen der im 7ten semester ist, mathe studiert (richtiges mathe) und selbst tutor für mathe-3 ist, aber er hat auch keine Ahnung gehabt ( wtf?)

Dementsprechend versuche ich es nochma hier. Das wurmende ist halt, dass es angeblich nen einzeiler ist, auf den ich nicht komme.

Aufgabe:

War in der Sprechstunde, habe ne Lösung die etwas länger ist (ne halbe Seite?) von der der Übungsleiter nicht sicher ist, ob er darauf Punkte geben würde, obwohl er glaubt, dass ich die richtige Idee habe und meinte dann abschließend
"Ja das kann man in einer Zeile lösen, als Tipp 'binomische Formel'" und ich meinte nur "ja hab auch schon im forster gesehen, dass es irgendwie über den binomischen lehrsatz geht aber wollte erst mal wissen ob mein alternativer Versuch zählt". Hintergrund ist, dass wir morgen Aufgaben abgeben müssen (vor 6 tagen aufgaben gekriegt) und den binomischen lehrsatz erst gestern in der Vorlesung hatten, ich also davon ausgegangen bin, dass ich ihn nicht benutzen darf und es anders probiert habe.
Aber ka wie man das damit zeigen soll

Mein Versuch es zu beweisen ging etwa so ( E = Epsilon):
x1 := ((x+y)/2)+E, x2 := ((x+y)/2-E
Daraus folgt, dass die Quadrate einer Zahl größer sind, als die multiplikation zweier Zahlen +/- Epsilon (auf deutsch: (5x5 = 25) > (24 = (5+1)(5-1)) sozusagen als Hilfssatz formuliert. Relativ trivial bis jetzt.
Nun, da wir wissen, dass Summe(x^2) eben die "effektivste" Möglichkeit ist um auf 1 zu kommen, genauso wie Summe(y^2), müssten wir daraus doch folgen können, dass xy kleiner ist als 1 wenn x =/= y. Wenn x = y => Summe(xy) offensichtlich 1, wenn gleichzeitig Summe(x²) = 1 und Summe(y²) erhalten bleiben sollen.

So, wenn wer ne Idee hat, immer raus damit, hab grad keinen Peil wie ich das in 1-3 Zeilen mit dem binomischen lehrsatz rauskriegen soll

 

[Brusko651]

Das ist eine sehr wichtige, elementare Ungleichung. Da gibts viele Beweise dafür, und solle eigentlich auch nicht schwer sein, im Internet einen zu finden. ^^

Meistens wird die Ungleichung halt so formuliert, dass das ganze quadriert ist also
(a_1² + a_2² +.... + a_n²) * (b_1² + b_2² +.... + b_n²) =< (a_1*b_1 + a_2*b_2 + .... + a_n*b_n)²

Der Beweis hier ist vielleicht ganz gut für deine Zwecke geeignet, weil er beweist die AUssage direkt so mit den Wurzeln, wie sie auf deinem Zettel steht.

Habe ich aus dem Buch "Secrets in Inequalities" von Pham Kim Hung.

Man benötigt dafür halt die Mittelungleichung, also die Tatsache dass
a² + b² >= 2ab ist.
oder auch: Das arithmetische Mittel von irgendwelchen positiven reellen Zahlen ist immer größer-gleich dem geometrischen Mittel. (das ist im Beweis mit AM-GM gemeint)
Weiß nicht, ob du die schon hattest ^^
Ist aber auch nicht schwer zu beweisen weil
a^2 + b^2 >= 2ab
<=>
a^2 - 2ab + b^2 >= 0
<=>
(a-b)² >= 0
Und das ist offensichtlich, weil ein Quadrat ist immer größer-gleich 0.

Ich werd trotzdem nochmal kurz suchen und überlegen, ob ich einen anderen kurzen Beweis finde, der vielleicht ohne die Mittelungleichung auskommt.

edit: so wie die Aufgabe aufgebaut ist, also, dass zuerst bei der Aufgabe a) ein Spezialfall zu beweisen ist, kann man davon ausgehen, dass der Prof wahrshcienlich einen ganz bestimmten Beweis im Sinn hatte. hmm, mal nachdenken^^ aber der den ich gepostet habe ist auf jeden Fall gut und sehr kurz und prägnant.

 

[Toadesstern]

das schaut doch nach binomischer Formel aus was du da schreibst, eventuell sollen wir darauf kommen

€: Ach was mir gerade auffällt. Die b hab ich mir noch gar nicht angeschaut weil ich dachte man braucht dafür die a, aber mit der Hilfe darunter (die ich nicht mit drauf habe^^) sollte sie ziemlich easy sein mit einfach einsetzen. Die mache ich gerade und schaut auch nach nem 3 zeilen beweis aus. Die A macht mir aber probleme.

€2: Zählt denn für die b noch die Prämisse, dass Summe(A) = Summe(B) ?

€3: Hab mal den Hinweis dazu editiert. So wie ich es verstehe ist es stupides einsetzen aber ka, ob das was ich hier habe schon so zählt

 

[Brusko651]

Die Aufgabe a) ist einfach nur ein Spezialfall von Aufgabe b). Man kann den Beweis (der Beweis den ich gepostet habe ist für Aufgabe b) also einfach übernehmen, und ihn entsprechend anpassen, indem man die ganzen Nenner weglässt, weil die ja alle gleich 1 sind.

Das ergibt dann sowieso einen sehr schönen kurzen Beweis:

Also du schreibst einfach mal die Behauptung auf:
1 >= x_1*y_1 + .... + x_n*y_n
Jetzt das ganze mit 2 multiplizieren:
2 >= 2x_1*y_1 + .... + 2x_n*y_n

Die 2 auf der linken Seite kannst du durch 1+1 ersetzen, und das wiederum kannst du ersetzen durch Summe(x_i²) und Summe (y_i²), also:

x_1² + x_2² + .... + x_n² + y_1² + y_2² + ... + y_n² >= 2x_1*y_1 + .... + 2x_n*y_n

Jetzt bringst du alles auf die linke Seite und ordnest die Terme um:
(x_1² -2x_1*y_1 + y_1²)+ .... (x_n² - 2x_n*y_n + y_n²) >= 0
<=>
(x_1 - y_1)^2 + ..... + (x_n - y_n)^2 >= 0

Und das ist wiederum offensichtlich wahr, weil eine Summe von Quadraten kann nicht negativ sein.

PS: Viele Mathe Profs sehen es übrigens lieber wenn man bei etwas bekanntem anfängt, und dann auf die Behauptung umformt. Also der ganze Beweis den ich eben geschrieben habe, wäre besser wenn man ihn von unten nach oben liest bzw. schreibt. Ich habs nur in der Reihenfolge geschrieben, weil's so mMn leichter nachzuvollziehen ist.

 

[Toadesstern]

ok das ist schonmal äußerst verständlich und geil, thx soweit. Muss mir irgendwann mal anschaun wie man mit latex umgeht, denn solche summen wie du sie jetzt hast oder ich sie hätte, wenn ich versucht hätte zu erklären was ich gemacht habe, sind halt mega unübersichtlich

Die b versuche ich atm noch mit striktem einsetzen rauszukriegen (so wie sie es wollen^^), da mir von nem übungsleiter gesagt wurde, dass das ezpz machbar sei

 

[Brusko651]

Ok, der Hinweis ist nützlich, warum hast du den nicht gleich gepostet ^^
Der deutet darauf hin, dass wirklich ungefähr der Beweis erwartet wird, den ich oben als screenshot gepostet habe.
Ich glaub ich weiß jetzt ganz gut, was erwartet wird, ich schreib den Beweis nochmal ordentlich in Latex auf und poste dann nochmal.

Aber denk daweil ruhig selber weiter nach ;-) ^^

 

[Brusko651]

Ok, hier im Anhang der Beweis für Aufgabe b). Ist wirklich ziemlich so ähnlich wie der für Aufgabe a) nur halt mit ein bisschen Brüchen und so.
Und ich hab ihn jetzt in der umgekehrten Reihenfolge aufgeschrieben, also bei den Quadraten angefangen und dann auf die Cauchy Schwarz Ungleichung umgeformt.

hoffe das hilft jetzt weitter so.

 

[Brusko651]

Ok, wobei, moment, genaugenommen musst du eigentlich garnicht den ganzen Beweis nochmal aufschreiben für Aufgabe b).

Du kannst, wenn du Aufgabe a) bereits bewiesen hast, einfach feststellen, dass die Folgen (x_n) und (y_n), so wie sie im Hinweis definiert sind, die Bedingung erfüllen, dass die Summe ihrer Quadrate jeweils gleich 1 ist.

Dann kannst du also in Aufgabe a) einfach einsetzen und erhältst direkt

Und dann musst du nur mehr mit dem Nenner multiplizieren, und fertig.

edit:
hier noch der Beweis, warum das 1 ergibt für die beiden Folgen:

 

[Toadesstern]

ok vielen dank. Werde mir dann am Wochenende nochmal eintrichtern wie man mit Summen rechnen darf, das hab ich noch nicht drauf, zumindest nicht so, dass ich intuitiv damit umgehen kann und muss mich dabei immer fragen ob man das denn auch grade machen darf

 

[sesslor]

Es hat schon seine Sinn, warum die Aufgaben in der Reihenfolge gestellt sind.
a) ist wirklich einfach: \sum_k (x_k-y_k)^2 >= 0 (eine Summe von Quadraten ist positiv)

==> \sum_k x_k^2 + \sum_k y_k^2 - 2\sum_k x_k y_k >= 0

Den Rest solltest du wirklich selbst hinkriegen.

b) ist dann mit dem Hinweis auch sehr einfach.

 

[Toadesstern]

habe heute rausgefunden, dass irgendwer hier aus meinem kurs entweder mitließt oder das via google gefunden hat.
Hallo du

ach und ja ka. So im nachhinein ist die 1 wahrscheinlich sogar die einfachste aufgabe auf dem Blatt gewesen, aber aus irgend nem Grund fand sie jeder bei uns am schwersten, weil einfach keiner nen peil hatte wie man da ran gehen soll. Eventuell einfac weil das erste mal mit summen gerechnet wurde und dementsprechend die Leute nicht so sicher sind wie man umformen kann? Also der "Trick" ist echt trivial und da hätte man selbst drauf kommen können/müssen aber irgendwie hats keiner hingekriegt