UMVUE für Parameter einer Gleichverteilung finden

[Seingalt]

Guten Tag,

ich hab mal wieder Schwierigkeiten mit einer Statistik-Aufgabe.

Gegeben seien gleichverteilte Zufallsvariablen X_1 bis X_n auf dem Intervall (a-c,a+c), a ist reell, c>0.

Ich soll nun einen UMVUE für a, c und für a/c finden, also einen erwartungstreuen Schätzer mit minimaler Varianz.

Nach dem Satz von Lehmann-Scheffé b enötige ich dafür eine vollständige, suffiziente Statistik V, so dass g(V) erwartungstreu für meinen jeweiligen Parameter ist. Dann ist g(V) ein UMVUE.

Leider gelingt es mir nicht mal, solch eine Statistik zu finden. Ich vermute, dass wir Ordnungsstatistiken benutzen sollen, denn es wurde angekündigt, dass wir die auf dem Blatt brauchen und die anderen Aufgaben gingen ohne.

Jemand einen Vorschlag?


[edit]
Ok, wir hatten in der Vorlesung, dass (min X_i, max X_i) suffizienz für (a,b) ist, wenn die X_i gleichverteilt auf (a,b) sind.

Das heißt hier müsste (min X_i, max X_i) suffizient für (a-c,a+c) sein, also auch für (a,c)?

Nun muss ich (min X_i, max X_i) auf Vollständigkeit prüfen. Hier häng ich grad fest.

 

[Amabilis]

Ja, die suffizienz für (a,c) folgt direkt aus der für (a-c,a+c).

Die vollständigkeit ergibt sich straight forward aus der definition. Du brauchst natürlich die gemeinsame dichte von (min X_i, max X_i).
Dann guckst du dir das integral E[g(V)] an und siehst, dass es genau dann verschwindet, wenn g(V) lebesgue-fast-sicher verschwindet, fertig.

Nun musst du lediglich dein g richtig wählen, um den umvue zu erhalten. Das heißt, du brauchst für jeden deiner parameter einen erwartungstreuen schätzer als messbare funktion von deiner vollständigen, suffizienten statistik V. Für a und c sollten solche bekannt sein. Falls nicht: Es sind genau die, die man intuitiv vermuten würde.
Für a/c kannst du dann mit dem naivsten möglichen ansatz aus den erwartungstreuen schätzern für a und c ebenfalls einen erwartungstreuen schätzer finden.
Der nachweis ist unwesentlich schwieriger, aber ganz analog.