Umkehrsatz für streng monotone Funktionen

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Hallo, da ich mal wieder ein wenig in meinem Mathebuch arbeite bin ich auf den themagebenden Satz gestoßen.
In kurz:

f sei auf dem beliebigen Intervall I streng wachsend. Dann ist ihre Umkehrfuntion f^-1 auf f(I) vorhanden, strengwachsend und stetig.
Mir geht es vor allem darum, dass f^-1 stetig sein soll.

Ich vermute ich verstehe das f(I) falsch.
Mein Beispiel:

Sei f(x) = x für x aus [0,1] und f(x) = x+1 für x aus (1,2]. f ist streng wachsend.
f(I) ist dann ja [0,1] vereinigt mit (2,3].
Ah, ok ich glaube ich habs kapiert:
in y = 1 ist f^-1 stetig, weil es ("unmittelbar")rechts davon ohnehin nicht definiert ist(und damit stetigkeitsaussagen sinnlos sind) und offensichtlich linksseitig stetig ist.
Oder?!

 

[Brusko651]

Jo in dem Beispiel wäre f^(-1) auch in 1 stetig, weil wenn du eine Folge a_i im Definitionsbereich von f^(-1) hast, die gegen 1 konvergiert, dann konvergiert f^-1(a_i) auch gegen f^(-1)(1) = 1.
Die Funktion ist auf dem ganzen Definitionsbereich stetig.

edit: fix'd

 

[ROOT]

Jo, seh ich auch so.

Wenn f Sprünge hat, dann sind das bei f^-1 Lücken im Definitionsbereich.

 

[SvenGlueckspilz]

Jo, würd ich so unterschreiben. Erst dachte ich, kann ja nicht sein, man könnte ja den Satz zweimal anwenden und würde erhalten, dass (f^(-1))^(-1) = f auch stetig sein muss, was ja nicht gefordert war, also nicht sein kann. Aber da f(I) kein Intervall mehr ist, kann der Satz ja nicht nochmal auf die dort definierte Umkehrfunktion angewendet werden.
Weniger verwirrend für den Anfänger sollte es aber sein, wenn man als Voraussetzung auch die Stetigkeit von f fordert, dann ist f(I) auch ein Intervall und alles ist gut ^^