Taylor Entwicklung - Binomialreihe - Restgliedabschätzung

[FORYOUITERRA]

Ich habe hier ein für mich etwas schwierigeres Problem, was, so denke ich, im Grunde Analysis 1 Stoff sein sollte.

Ausgangssituation ist:
0<epsilon<y<=y_max<infty
p!=1 mit 0<p<2.

Ich bin interessiert an zwei Abschätzungen:

1. f_y(eps)= |y-eps|^p - |y|^p
2. g_y(eps)=|y+eps|^p+|y-eps|^p -2|y|^p

und will zeigen, dass es eine Konstante M<infty gibt, so dass für alle y>eps gilt:

1. |f_y(eps)|^2 <= M/y^(2-p)*eps^2
2. |g_y(eps)| <=M/y^(2-p)*eps^2

Mein Problem: ohne weiteres kann ich zeigen, dass für y>eps eine konstante M existiert, aber ich finde/verstehe das Argument nicht, warum die Konstante nicht doch irgendwie von y abhängt.

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Beachte: da 0<eps<y<=y_max gilt, sollte es hinreichend sein zu zeigen, dass eine konstante M_1 existiert so dass |f_u(eps)|^2 <=M_1 eps^2 sowie |g_u(eps)| <= M_1 eps^2 gilt.
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Mein Ansatz:
zu 1.: (bei 2. ergibt sich im grunde dasselbe Problem, daher packe ich meinen Ansatz für 2. mal in einen Spoiler um das ganze hier übersichtlicher zu machen.)
Führt nur bedingt zum Erfolg:
für p>1 ist f(x)= |x|^p konvex mit f(0)=0 und somit für jedes c>0 auf [-c,c] (lokal) lipschitz.
hieraus folgt automatisch, dass |f_y(eps)|^2 = |f_y(eps)-f_y(0)|^2 <= L^2*eps^2

für p<1 ist f(x) = |x|^p nur noch hölder stetig mit parameter p und die daraus resultierende abschätzung ist zu schwach (eps geht nachher gegen 0, die abschätzung sollte also für alle hinreichend kleine eps gelten)

Führt vermutlich zum Erfolg:
Wir nutzen also die Annahme, dass y>eps>0 ist, dann gilt:

f(eps) := f_y(eps) = (y-eps)^p - y^p
mit der Ableitung:
f'(eps) = -p(y-eps)^(p-1)

und der recht trivialen Taylorentwicklung:
f(eps) = f(0) + Rest(eps)

wobei, nach der Restgliedformel nach Lagrange ein xi zwischen 0 und eps<y existiert, so dass

Rest(eps) = f'(xi)*eps = -p*(y-xi)^(p-1)*eps.

Hier sieht man dann auch mein Problem/Denkfehler:

Es gilt xi<eps<y (ANMERKUNG: sollte eigentlich nicht (leider) sogar xi <= eps gelten (vgl. Förster, Analysis 1)?! hier fehlt dann noch ein Argument, warum xi strikt kleiner als eps sein muss! das selbe Problem ist dann bei 2. auch nochmal...ich denke die strikte Ungleichung folgt jedoch aus dem mean value theorem und ist korrekt)

Damit ist für jedes y der Ausdruck

(y-xi)^(p-1) beschränkt

Mein Problem:
Ist die Konstante/Schranke wirklich unabhängig von y?! folgt daraus wirklich schon, dass es eine konstante M gibt, so dass für alle y der Ausdruck (y-xi)^(p-1) beschränkt ist?! (für p>1 ist die sache klar, für p<1 habe ich meine probleme, da y ja beliebig nah an eps sein kann.)

Die Lösung?!
Angenommen es gilt xi<eps<y (für alle y), dann existiert eine Konstante eps_1>0, so dass man für alle y die beziehung xi<= y-eps_1 hat. Damit sollte das Argument dann gültig sein:

Es gilt dann nämlich für c<0: (y-xi)^c <= eps_1^c für alle y, wohingegen für c>0 gilt, dass (y-xi)<=y^c<=y_max^c. Daraus könnte man dann die Konstante basteln.


Kann einer Bestätigen, dass das stimmt?




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Spoiler

zu 2.:
Da y>eps gilt:
g(eps) = g_y(eps)=(y+eps)^p+(y-eps)^p -2y^p
g'(eps) = p( (y+eps)^(p-1) - (y-eps)^(p-1)))
g''(eps) = p(p-1)* ((y+eps)^(p-2) + (y-eps)^(p-2)))
g'''(eps) = p(p-1)* ((y+eps)^(p-3) - (y-eps)^(p-3)))

Man sieht sofort, dass sich das Problem hier wiederholen wird: in der dritten Ableitung taucht wieder der term (y-eps)^(p-3), wobei diesesmal sogar -3< p-3<-1, also immer p<0 gilt.

Dennoch, Taylorn ergibt:
g(eps) = g(0) + eps*g'(0) + eps^2/2*g''(0) + REST(eps)
= 0 + 0 + p(p-1) eps^2/y^(2-p) + REST(eps)

Unter verwendung der Cauchy Darstellung (offensichtlich würde auch Lagrange-Darstellung reichen, aber wo bleibt der Spaß?) des Restgliedes existiert ein xi_1 zwischen 0 und eps, so dass:

REST(eps) = c_p * g'''(xi_1)(eps-xi_1)^2*eps
= c_{p,1}* ((y+xi_1)^(p-3) - (y-xi_1)^(p-3))*(eps-xi_1)^2*eps
= c_{p,1}* ((y+xi_1)^(p-1) ((eps-xi_1)/(y+xi_1))^2*eps
- (y-xi_1)^(p-1))*((eps-xi_1)/(y-xi_1))^2*eps)

-(ANMERKUNG: eigentlich xi<= eps?!)
wir wissen, dass eine Konstante a mit 0<a<1 existiert, so dass xi_1 = a*eps, daher:

(eps-xi_1)/(y+xi_1) = eps (1-a)/(y/eps+a), aber, da y> eps ist gilt offensichtlich 1-a < y/eps + a und daher
eps (1-a)/(y/eps+a) < eps
ebenso erhält man mit einer ähnlichen argumentation:
(eps-xi_1)/(y-xi_1)=eps (1-a)/(y/eps-a)<eps
und somit:

|REST(eps)| < c_{p,2}*eps^3 ( (y+xi_1)^(p-1) + (y-xi_1)^(p-1) )

Hier taucht wieder dasselbe Problem wie zuvor auf:

Kann ich nun einfach eine Konstante M_3 finden, so dass
für alle y gilt,

(y-xi_1)^(p-1) <= M_3

gilt?


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(Ein alternativer Ansatz wäre es sich ansonsten einmal die komplette Binomialreihe (y-eps)^p anzuschauen, die konvergiert absolut für |eps|<=y und die aussage sollte dann ohnehin irgendwie unmittelbar (für alle hinreichend kleinen eps) folgen).

 

[SvenGlueckspilz]

Kurze Zwischenfrage: Darf M von eps abhängen? Man vergebe mir, falls es im Text steht, muss gleich wieder los und habs nur überflogen.

Edit:
M müsste wenigstens von eps abhängen bei 1)
Sieht man so:
Teile die Ungleichung durch eps dann steht da ((y-eps)^p-y^p) / eps <= M y^(p-2) * eps.
Beträgt habe ich weggelassen, da alles positiv nach Voraussetzung y > eps. Wenn du nun eps gegen 0 gehen lässt, konvergiert die linke Seite gegen p * y^(p-1) und die rechte gegen Null. Daraus ergibt sich ein Widerspruch, denn die linke Seite ist nicht 0.
Ich hoffe ich hab jetzt keinen Blödsinn geredet, habe gerade nur kurz Zeit. Schaue später nochmal drauf.

Edit2:
Ok ich war blind und hab ein Quadrat übersehen.

 

[FORYOUITERRA]

ich bin 99.999% sicher, dass die abschätzung gilt.

dennoch habe ich gerade nen schock bekommen allerdings schaue ich mir am ende den ausdruck ((y-eps)^p-y^p))^2 und nicht (y-eps)^p-y^p) an. das sollte bzw. macht dann den unterschied - dein plausibilitätscheck geht dann durch.

ansonsten hängt M nur insofern von eps ab, dass die schranke für alle eps "hinreichend klein" gilt... wäre ziemlich übel, wenn die konstante von eps abhängen würde.

 

[SvenGlueckspilz]

Ok, dann so:
|(y-eps)^p -y^p|^2 = p^2 * xi^(2p-2) * eps^2 nach Mittelwertsatz, wobei xi zwischen y-eps und y liegt.

edit : Hatte erst weiter Unsinn geschrieben, da ich schon wieder vergessen hatte, dass y <= y_max.
Muss morgen nochmal schauen.

 

[SvenGlueckspilz]

Ok also für die erste Abschätzung:
Ich unterscheide zwei Fälle. Der erste ist, dass eps < y <= 2 * eps bzw eps/2 < y/2 <= eps:
Dann ist |(y-eps)^p - y^p|^2 <= |y^p|^2, denn beide beide Terme in der Differenz sind positiv und der zweite ist der Betragsmäßig größere.
Weiter: |y^p|^2 = y^(2p)<=(2 eps)^(2p) = 2^(2p)* eps^(2p) = 2^(2p) * eps^(p-2)*eps^p*eps^2 <=(y/2)^(p-2) * y_max^p*eps^2=C_1 * 1/y^(2-p)*eps^2,
wobei C_1=(1/2)^(p-2)*y_max^p. Bei der letzten Abschätzung habe ich verwendet, dass p-2 negativ ist.
Jetzt der andere Fall:
Nach Mittelwertsatz ist |(y-eps)^p - y^p|^2 = p^2 * xi^(2p-2) * eps^2, wobei xi zwischen y-eps und y liegt.
Schauen wir uns den xi^(2p-2) Teil an. Das schreiben wir als xi^p * x^(p-2) <= y_max^p * xi^(p-2) <= y_max^p * (y-eps)^(p-2).
Da p-2 negativ ist und y-eps >= y-y/2 =y/2 gilt y_max^p * (y-eps)^(p-2) <= y_max^p * (y/2)^(p-2).
Oben eingefügt erhalten wir
|(y-eps)^p - y^p|^2 <= C_2 * 1/y^(2-p) wobei C_2 = p^2 * y_max^p *(1/2)^(p-2)
Das M in deiner Abschätzung ist dann das Maximum aus C_1 und C_2.

Übrigens dein Posteingang ist voll ;-)

 

[FORYOUITERRA]

Danke schön!
Die Erklärungen lassen sich gut nachvollziehen: ich habe alles verstanden und die argumentation geht durch.
Die Abschätzung von Funktion 1 ist damit geklärt (und würde sogar für eps<=y statt eps<y gelten, was für mich äußerst nützlich wäre, da ich mir damit am ende der Sache eine Fallunterscheidung sparen könnte) .

Mein Postfach ist auch wieder etwas freier. Bleibt nurn och die Frage, ob meine Argumentation nicht korrekt war:

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Meine Argumentation war:

1. (y-eps)^p - y^p als funktion von epsilon auffassen
2. taylorn (bzw. der Mittelwertsatz) ergibt dann:

((y-eps)^p - y^p)^2 = (-p*(y-xi)^(p-1)*eps)^2 = p^2 eps^2 (y-xi)^(2p-2)

(hier nun die Kritische Stelle)
für ein xi im intervall (0,eps). das impliziert jedoch (???), dass ein eps_1 existiert so dass eps-xi > eps_1 gilt.

3. für alle y gilt per annahme dass eps<=y somit ist xi + eps_1 < eps <= y für alle y und damit haben wir für 0<p<1 den ausdruck:
(y-xi)^(2p-21) < (eps_1)^(2p-2) < M < M_1/ y^(2-p)

(gilt für alle relevanten y - also unabhängig von den betrachteten y)
wohingegen die schranke für $2>p>1$ eh kein problem ist.

=> mit der Argumentation könnte ich zwar die Konstante nicht so genau bestimmen wie bei deiner Abschätzung, allerdings hätte ich mit der Argumentation keine Probleme die Gültigkeit der 2. Abschätzung zu zeigen, wohingegen deine Argumente sich leider nicht direkt darauf anwenden lassen.

 

[SvenGlueckspilz]

Die kritische Stelle, wie du sie genannt hast, ist falsch. xi hängt ja von y und von eps ab. Daher kann dein eps_1 nicht von y und von xi unabhängig sein, bzw man kann das nicht wissen.

(Der Mittelwertsatz geht ja so: Unter gewissen voraussetzungen gibt es zu h > 0 ein xi, so dass
f(x+h) - f(x) = f'(xi) * h, wobei xi zwischen x+h und x liegt. Wenn man formuliert "zu h gibt es xi ...", heißt das, dass es für jedes h ein anderes xi sein kann. Und das ist hier das Problem. Würde man hingegen sagen, es gibt xi, so dass für alle h, dann wäre das xi unabhängig von h. Aber so ist es hier nicht.)
Abgesehen davon muss xi ja von eps abhängen bei dir, weil xi in (0,eps) liegt. Wenn du eps immer kleiner machst, kann xi ja nicht immer das gleiche bleiben. Es könnte zum Beispiel sein, dass immer xi = eps/2 ist (unwahrscheinlich, aber denkbar). Dann stünde da eps - xi = eps/2 > eps_1. Dann kann eps_1 nur gleich 0 sein, sonst kann das nicht für alle eps gelten.

 

[FORYOUITERRA]

das ist äußerst schade (bin froh, dass ich wenigstens die kritische stelle vorahnend kennzeichnen konnte. )

und die erklärung war verständlich.






edit: gott, zum kotzen.

wenn man es mal für einige feste eps und p werte über y plotted, so scheint die zweite aussage trivial zu sein.

grafisch ist erkennbar, dass:

f(y)=||y+eps|^p+|y-eps|^p -2|y|^p|

eine streng monoton fallende, stetige sowie streng konvexe funktion in y ist.

=> sie hat ein maximum an der stelle f(eps) = abs((2^p-2)) eps^p
an dieser stelle kann das maximum natürlich beschränkt werden durch M*eps^2/y^(2-p) = M*eps^2/eps^(2-p) = M eps^p
=> für y=eps scheint die sache zu funktionieren

durch ein stetigkeitsargument der beteiligten funktionen sollte die abschätzung für eine hinreichend große Konstante M auch noch irgendwie in der nähe von y=eps gelten; sagen wir für y<2*eps

für y>=2eps kann man dann wieder wie ich oben im Spoiler vorgenommen taylorn.
da in diesem bereich dann (sofern ich mich nicht verrechnet habe) |REST(eps)| = O(eps^min((2+p),3))=o(eps^2) gelten sollte, ist die aussage dann korrekt.

 

[SvenGlueckspilz]

Sorry War die Erklärung denn verständlich, warum es so nicht geht? Werde mir die Tage auch mal die zweite Abschätzung zu Gemüte führen.

 

[FORYOUITERRA]

ich glaube mit dem stetigkeitsargument geht es tatsächlich.


definiere:

g_eps(y)=|y+eps|^p+|y-eps|^p -2|y|^p
und h_eps (y) = M_temp eps^2/y^(2-p)


wobei M_temp so gewählt werden kann, dass h_eps(eps)>>|g_eps(eps)| (unabhängig von eps!) gilt.

1. Stetigkeitsargument:
sowohl f_eps als auch g_eps sind stetige funktionen, daher existiert auf jeden fall ein k, so dass
h_eps(y)>|g_eps(y)| für alle y zwischen [eps, eps+k] gilt.

2. Taylorargument
betrachte y>eps+k
und betrachte g_eps(y) diesesmal als funktion von eps, man betrachtet also
g_y(eps)=|y+eps|^p+|y-eps|^p -2|y|^p

aus meiner taylorentwicklung aus dem spoiler folgt:
g_y(eps) = g_y(0) + eps*g_y'(0) + eps^2/2*g_y''(0) + REST(eps)
= p(p-1) eps^2/y^(2-p) + REST(eps)

mit
|REST(eps)| < c_{p,2}*eps^3 ( (y+xi)^(p-1) + (y-xi)^(p-1) )

wobei xi zwischen 0 und eps mit eps<eps+k<y<y_max liegt.

für p>1 ist p-1 >0 und daher
(y+xi)^(p-1) + (y-xi)^(p-1) <= (y+eps)^(p-1) + y^(p-1)
<=(2y_max)^(p-1) + y_max^(p-1)
<KONSTANTE_1

für p<1 ist p-1<0 und daher
(y+xi)^(p-1) + (y-xi)^(p-1) <= (eps+k)^(p-1) + (eps+k-eps)^(p-1)
<= k^(p-1) + k^(p-1)
<KONSTANTE_2


Insgesamt ist also REST(eps) = O(eps^3)=o(eps^2) (zumal c_p etc alles auch universell beschränkt werden kann).


daraus folgt aber insgesamt, das es eine konstante 0<M_1<infty gibt, so dass
||y+eps|^p+|y-eps|^p -2|y|^p| <= M_1 eps^2/y^(2-p)
für eps+k<= y<=y_max


3. Konstante aus Schritt 1 und 2 korrekt wählen

falls nun M_temp<M_1 gewesen ist, dann setze M_temp=M_1, wenn hingegen M_1<M_temp gewesen ist, dann M_1 =M_temp.

auf jeden fall ist dann ||y+eps|^p+|y-eps|^p -2|y|^p| <=M_temp eps^2/y^(2-p) auf dem gesamten intervall.

müsste so hoffentlich passen.

 

[SvenGlueckspilz]

Ich finde es verwirrend von der Notation her, dass g manchmal eine Funktion von eps und manchmal eine Funktion von y ist.

Bei Schritt 1 ist nicht klar, warum k unabhängig ist von eps. Dafür gibt es erstmal keinen Grund. Die Argumentation gibt für mich nur her, dass für jedes feste eps ein solches k existiert, das sich aber von k zu k unterscheiden kann. Wenn ich den Rest richtig überflogen habe, benötigst du aber ein von eps unabhängiges k.

Übrigens, wenn du g wie im ersten Beitrag bei festem y als Funktion von eps betrachtest, dann ist g'(0) = 0 aus Symmetriegründen. Ohne es ausgerechnet zu haben, wäre meine Vermutung: Wenn du das verwendest und weniger weit entwickelst, also als Restglied das Lagrange-Restglied wo die zweite Ableitung vorkommt, nimmst und dann eine Fallunterscheidung wie ich sie für 1) gemacht habe, machst, dann bekommst du es raus.
Ich denke, ich werde Freitag Abend Zeit haben, das mal aufzuschreiben. Hoffe, es eilt nicht zu sehr

 

[FORYOUITERRA]

jo tatsächlich, die ausführung oben ist notationsmässig eine katastrophe.
ich änder das nachher mal ab und mach verschiedene funktionen (oder eine funktion in 2 variablen bzw. füge subindizes hinzu) raus: das argument in den beiden schritten ist tatsächlich unterschiedlich:

im 1. schritt fasse ich die beiden funktionen als von y abhängig auf.
im 2. schritt wird die taylorentwicklung jedoch bezüglich epsilon gemacht (somit als funktion von epsilon und nicht von y aufgefasst)

über das argument, dass die konstante abhängig von epsilon ist, wobei im 1. schritt die ungleichung selbst jedoch nicht unabhängig von epsilon ist, muss ich nochmal nachdenken - das sehe ich leider im moment immernoch nicht.

ich schau mir später auch nochmal die taylorapproximation mit rest = 2. ableitung an -allerdings spricht halt die form von der jetzigen taylorentwicklung dafür, dass man tatsächlich bis zu rest=3. ableitung entwickeln muss: dann erhält man ja sozusagen schon die ungleichung bis auf nen restterm, der ja, wenn es gut geht, eigentlich immer ne größenordnung kleiner sein sollte...

=> irgendwo muss die ungleichung ja herkommen und woher sollte sie sonst kommen, wenn nicht daher?

edit: finde auch bei ner taylorentwicklung kleinerer ordnung keinen richtigen ansatz.

edit2: da p nachher fest ist, würde es übrigens ausreichen, wenn für jedes p eine konstante existiert...das schwächt die sache etwas ab, aber das war eh noch nicht das problem.

edit3: das argument scheint korrekt. hat ne eigene antwort verdient.

 

[FORYOUITERRA]

vermutlich kommt man doch recht einfach mit der binomialreihe weiter:

mit x=eps/y ergibt sich nämlich |x|<=1 sowie:

(y+eps)^p + (y-eps)^p - 2y^p = y^p ((1+eps/y)^p + (1-eps/y)^p -2)
= y^p ((1+x)^p +(1-x)^p-2)
= y^p (sum_{k=0}^infty choose(p,k) (x^k +(-x)^k) -2)
= y^p sum_{k=1}^infty choose(p,k) (x^k +(-x)^k)
= y^p sum_{k=1}^infty choose(p,2k) 2 x^(2k)

bei der letzten gleichung wurde ausgenutzt, dass sich die ungeraden potenzen wegkürzen.
nun ist aber y^p x^(2k) = eps^(2k)/y^(2k-p).
zudem gilt für alle k=1,2,... , da eps<=y:
eps^(2k)/y^(2k-p) <= eps^2/y^(2-p)

daher:
|(y+eps)^p + (y-eps)^p - 2y^p| <= 2*eps^2/y^(2-p)*(sum_k=1^\infty |choose(p,2k)|)

es verbleibt nun nur noch zu zeigen, dass (sum_k=1^\infty |choose(p,2k)|)<= KONSTANT < infty gilt.
dies ist jedoch der fall:
Es gilt nämlich |choose(p,k)| <= M/k^(1+a) für alle k>=1, siehe hier.

Damit haben wir:
sum_{k=1}^infty |choose(p,2k)| <=1/2* M sum_{k=1}^infty 1/k^(1+a)< 1/2*M *CONST.

Da sum_{k=1}^infty 1/k^(1+a)<CONST, da die linke seite eine hyperharmonische serie (p-serie) darstellt von der bekannt ist, dass diese konvergiert, sofern wie in diesem fall hier (1+a)>1 gilt, was offensichtlich erfüllt ist.

Daher insgesamt:
|(y+eps)^p + (y-eps)^p - 2y^p| <= Konstantin* eps^2/y^(2-p)


das sollte es nun tatsächlich gewesen sein?! würde dann auch sinn machen, da der beweis dann tatsächlich mit mehr oder weniger elementaren kenntnisen machbar wäre und daher keine weiteren hilfestellungen benötigte...


...bin übrigens pro latex kompatibiltät im baldigen neuen forum. das hier zu lesen ist eine tortur.



edit: mit denselben argumenten sollte man übrigens auch ((y-eps)^p -(y)^p)^2 komplett ohne fallunterscheidung abgeschätzt bekommen:
es gilt tatsächlich:
((y-eps)^p -(y)^p)^2 = (y^p((1-eps/y)^p -1))^2
= (y^p (sum(j=1)^infty choose(p,k)(eps/y)^k) )^2
<= (eps/y^(1-p) *const * sum(j=1)^infty 1/j^(1+p))^2
<=Konstantinopel* eps^2/y^(2-p)

 

[SvenGlueckspilz]

Ich dachte erst man kann beide Fälle in einem Rutsch abarbeiten, das lag aber daran, dass ist an einer Stelle aus
p-2 ein 2-p im Exponenten gemacht habe. Damit schien dann alles banal, da sieht beim Abschätzen groß und klein nicht umgedreht hat. Jetzt die hoffentlich richtige Fassung:

Erstmal der Fall 2 * eps <= y bzw äquivalent eps <= y/2 (das war bei der ersten Abschätzung oben mein zweiter Fall):
Ich brauche hier zwei xi's, also verwende ich die Bezeichnung t und s stattdessen, das ist etwas weniger schlecht lesbar (Raute an die Latex Forderung).

(y+eps)^p = y^p + p y^(p-1) * eps + 1/2 * p*(p-1)*t^(p-2) * eps^2 mit t in (y, y +eps)
(y-eps)^p = y^p + p y^(p-1) * (-eps) + 1/2 * p*(p-1)*s^(p-2) * eps^2 mit s in (y-eps, y)

Damit zusammen (y+eps)^p + (y-eps)^p - 2y^p = 1/2 * p*(p-1)*eps^2 *(t^(p-2) + s^(p-2)).
Beträge spare ich mir, da die Funktion g positiv ist (wie man an der rechten Seite der letzten Gleichung sieht).
Jetzt haben wir t in (y, y + eps), damit t >y, also t^(p-2) < y^(p-2), da der Exponent negativ ist.
Weiter ist (y-eps, y) Teilmenge von (y/2,y) und folglich s > y/2. Also s^(p-2) < 1/2^(p-2) * y^(p-2)
Insgesamt 1/2 * p*(p-1)*eps^2 *(t^(p-2) + s^(p-2)) <= 1/2 * p*(p-1) * eps^2 *(1 + 1/2^(p-2)) * y^(p-2).
Deine Konstante M ist in diesem Fall 1/2 * p*(p-1) *(1 + 1/2^(p-2)).

Nun der Fall eps < y <= 2 eps bzw äquivalent eps/2 < y/2 <= eps:
Die Taylorentwicklung hilft hier nicht weiter (denke ich), da die Abschätzung von s problematisch ist.
s liegt ja in (y-eps, y) und kann damit potentiell nahe an 0 rankommen. Daher mache ich denn Fall anders:
Wir haben im anderen Fall gesehen, dass die Funktion positiv ist, daher kann ich den Betrag weglassen
und mache es folglich größer, wenn ich den -2 y^p Term weglasse:
(y+eps)^p + (y-eps)^p - 2y^p <= (y+eps)^p + (y-eps)^p <= 2* (y+eps)^p <= 2* (3eps)^p
=2*3^p * eps^(p-2) * eps^2 <= 2*3^p * (y/2)^(p-2) * eps^2 (beachte in der letzten Abschätzung den negativen Exponenten und eps >= y/2).
Damit ist deine Konstante im zweiten Fall 2*3^p * 1/2^(p-2). Deine Gesamtkonstante ist dann das Maximum beider Konstanten.

Bitte nochmal kritisch auf Rechenfehler und Abschätzungen prüfen, die kleiner und größer vertauschen
Denke aber, dass alles passt.

Das mit der Binomialreihe hab ich mir noch nicht angeschaut, könnte gehen. Ist halt nur ein "Restglied", was durch eine Reihe dargestellt wird. Ich schaue es mir später mal an, wenn du willst. Jetzt gerade ist es mir zu anstrengend, werde schon müde. Außerdem ist das ohne Latex recht hart zu lesen.

 

[FORYOUITERRA]

ich geh gleich mal durch deinen ansatz durch.
wäre dennoch nett, wenn du nochmal über meinen mit der binomialreihe schauen könntest - habe ihn ausführlicher als oben beschrieben hier reinkopiert:
edit: dein ansatz geht schonmal für p>1 durch. übersehen hast du, dass für p<1 die funktion negativ ist. im ersten argument, also für den bereich in welchem eps<<y gilt, macht das nichts kaputt - da funktioniert taylor einfach
im zweiten argument fehlt dann jedoch ein weiterer fall: für p<1 lässt sich die gleichung im bereich eps<=y <= 2 eps noch einfacher abschätzen:
sei also y <= 2 eps
dann gilt:
|(y+eps)^p + (y-eps)^p - 2y^p| = 2y^p - (y-eps)^p - (y+eps)^p
<= 2y^p
= 2 y^2 y^(p-2)
<= 2 4 eps^2/y^(2-p)
= 8eps^2/y^(2-p)

eine mögliche gesamtkonstante ist dann das maximum von 2*3^p * 1/2^(p-2), 8 und |1/2 * p*(p-1) *(1 + 1/2^(p-2))|.

 

[SvenGlueckspilz]

Ups, das hab ich übersehen.
Also dann im ersten Fall
|(y+eps)^p + (y-eps)^p - 2y^p| = 1/2 * p*|p-1|*eps^2 *(t^(p-2) + s^(p-2)) für eine vom p-Fall unabhängige Schreibweise.
Im zweiten Fall so wie du gesagt hast.

Das mit der Binomialreihe schau ich mal später an.