FORYOUITERRA
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Ich habe hier ein für mich etwas schwierigeres Problem, was, so denke ich, im Grunde Analysis 1 Stoff sein sollte.
Ausgangssituation ist:
0<epsilon<y<=y_max<infty
p!=1 mit 0<p<2.
Ich bin interessiert an zwei Abschätzungen:
1. f_y(eps)= |y-eps|^p - |y|^p
2. g_y(eps)=|y+eps|^p+|y-eps|^p -2|y|^p
und will zeigen, dass es eine Konstante M<infty gibt, so dass für alle y>eps gilt:
1. |f_y(eps)|^2 <= M/y^(2-p)*eps^2
2. |g_y(eps)| <=M/y^(2-p)*eps^2
Mein Problem: ohne weiteres kann ich zeigen, dass für y>eps eine konstante M existiert, aber ich finde/verstehe das Argument nicht, warum die Konstante nicht doch irgendwie von y abhängt.
-------------------------------------------------------------------------
Beachte: da 0<eps<y<=y_max gilt, sollte es hinreichend sein zu zeigen, dass eine konstante M_1 existiert so dass |f_u(eps)|^2 <=M_1 eps^2 sowie |g_u(eps)| <= M_1 eps^2 gilt.
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Mein Ansatz:
zu 1.: (bei 2. ergibt sich im grunde dasselbe Problem, daher packe ich meinen Ansatz für 2. mal in einen Spoiler um das ganze hier übersichtlicher zu machen.)
Führt nur bedingt zum Erfolg:
für p>1 ist f(x)= |x|^p konvex mit f(0)=0 und somit für jedes c>0 auf [-c,c] (lokal) lipschitz.
hieraus folgt automatisch, dass |f_y(eps)|^2 = |f_y(eps)-f_y(0)|^2 <= L^2*eps^2
für p<1 ist f(x) = |x|^p nur noch hölder stetig mit parameter p und die daraus resultierende abschätzung ist zu schwach (eps geht nachher gegen 0, die abschätzung sollte also für alle hinreichend kleine eps gelten)
Führt vermutlich zum Erfolg:
Wir nutzen also die Annahme, dass y>eps>0 ist, dann gilt:
f(eps) := f_y(eps) = (y-eps)^p - y^p
mit der Ableitung:
f'(eps) = -p(y-eps)^(p-1)
und der recht trivialen Taylorentwicklung:
f(eps) = f(0) + Rest(eps)
wobei, nach der Restgliedformel nach Lagrange ein xi zwischen 0 und eps<y existiert, so dass
Rest(eps) = f'(xi)*eps = -p*(y-xi)^(p-1)*eps.
Hier sieht man dann auch mein Problem/Denkfehler:
Es gilt xi<eps<y (ANMERKUNG: sollte eigentlich nicht (leider) sogar xi <= eps gelten (vgl. Förster, Analysis 1)?! hier fehlt dann noch ein Argument, warum xi strikt kleiner als eps sein muss! das selbe Problem ist dann bei 2. auch nochmal...ich denke die strikte Ungleichung folgt jedoch aus dem mean value theorem und ist korrekt)
Damit ist für jedes y der Ausdruck
(y-xi)^(p-1) beschränkt
Mein Problem:
Ist die Konstante/Schranke wirklich unabhängig von y?! folgt daraus wirklich schon, dass es eine konstante M gibt, so dass für alle y der Ausdruck (y-xi)^(p-1) beschränkt ist?! (für p>1 ist die sache klar, für p<1 habe ich meine probleme, da y ja beliebig nah an eps sein kann.)
Die Lösung?!
Angenommen es gilt xi<eps<y (für alle y), dann existiert eine Konstante eps_1>0, so dass man für alle y die beziehung xi<= y-eps_1 hat. Damit sollte das Argument dann gültig sein:
Es gilt dann nämlich für c<0: (y-xi)^c <= eps_1^c für alle y, wohingegen für c>0 gilt, dass (y-xi)<=y^c<=y_max^c. Daraus könnte man dann die Konstante basteln.
Kann einer Bestätigen, dass das stimmt?
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Ausgangssituation ist:
0<epsilon<y<=y_max<infty
p!=1 mit 0<p<2.
Ich bin interessiert an zwei Abschätzungen:
1. f_y(eps)= |y-eps|^p - |y|^p
2. g_y(eps)=|y+eps|^p+|y-eps|^p -2|y|^p
und will zeigen, dass es eine Konstante M<infty gibt, so dass für alle y>eps gilt:
1. |f_y(eps)|^2 <= M/y^(2-p)*eps^2
2. |g_y(eps)| <=M/y^(2-p)*eps^2
Mein Problem: ohne weiteres kann ich zeigen, dass für y>eps eine konstante M existiert, aber ich finde/verstehe das Argument nicht, warum die Konstante nicht doch irgendwie von y abhängt.
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Beachte: da 0<eps<y<=y_max gilt, sollte es hinreichend sein zu zeigen, dass eine konstante M_1 existiert so dass |f_u(eps)|^2 <=M_1 eps^2 sowie |g_u(eps)| <= M_1 eps^2 gilt.
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Mein Ansatz:
zu 1.: (bei 2. ergibt sich im grunde dasselbe Problem, daher packe ich meinen Ansatz für 2. mal in einen Spoiler um das ganze hier übersichtlicher zu machen.)
Führt nur bedingt zum Erfolg:
für p>1 ist f(x)= |x|^p konvex mit f(0)=0 und somit für jedes c>0 auf [-c,c] (lokal) lipschitz.
hieraus folgt automatisch, dass |f_y(eps)|^2 = |f_y(eps)-f_y(0)|^2 <= L^2*eps^2
für p<1 ist f(x) = |x|^p nur noch hölder stetig mit parameter p und die daraus resultierende abschätzung ist zu schwach (eps geht nachher gegen 0, die abschätzung sollte also für alle hinreichend kleine eps gelten)
Führt vermutlich zum Erfolg:
Wir nutzen also die Annahme, dass y>eps>0 ist, dann gilt:
f(eps) := f_y(eps) = (y-eps)^p - y^p
mit der Ableitung:
f'(eps) = -p(y-eps)^(p-1)
und der recht trivialen Taylorentwicklung:
f(eps) = f(0) + Rest(eps)
wobei, nach der Restgliedformel nach Lagrange ein xi zwischen 0 und eps<y existiert, so dass
Rest(eps) = f'(xi)*eps = -p*(y-xi)^(p-1)*eps.
Hier sieht man dann auch mein Problem/Denkfehler:
Es gilt xi<eps<y (ANMERKUNG: sollte eigentlich nicht (leider) sogar xi <= eps gelten (vgl. Förster, Analysis 1)?! hier fehlt dann noch ein Argument, warum xi strikt kleiner als eps sein muss! das selbe Problem ist dann bei 2. auch nochmal...ich denke die strikte Ungleichung folgt jedoch aus dem mean value theorem und ist korrekt)
Damit ist für jedes y der Ausdruck
(y-xi)^(p-1) beschränkt
Mein Problem:
Ist die Konstante/Schranke wirklich unabhängig von y?! folgt daraus wirklich schon, dass es eine konstante M gibt, so dass für alle y der Ausdruck (y-xi)^(p-1) beschränkt ist?! (für p>1 ist die sache klar, für p<1 habe ich meine probleme, da y ja beliebig nah an eps sein kann.)
Die Lösung?!
Angenommen es gilt xi<eps<y (für alle y), dann existiert eine Konstante eps_1>0, so dass man für alle y die beziehung xi<= y-eps_1 hat. Damit sollte das Argument dann gültig sein:
Es gilt dann nämlich für c<0: (y-xi)^c <= eps_1^c für alle y, wohingegen für c>0 gilt, dass (y-xi)<=y^c<=y_max^c. Daraus könnte man dann die Konstante basteln.
Kann einer Bestätigen, dass das stimmt?
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zu 2.:
Da y>eps gilt:
g(eps) = g_y(eps)=(y+eps)^p+(y-eps)^p -2y^p
g'(eps) = p( (y+eps)^(p-1) - (y-eps)^(p-1)))
g''(eps) = p(p-1)* ((y+eps)^(p-2) + (y-eps)^(p-2)))
g'''(eps) = p(p-1)* ((y+eps)^(p-3) - (y-eps)^(p-3)))
Man sieht sofort, dass sich das Problem hier wiederholen wird: in der dritten Ableitung taucht wieder der term (y-eps)^(p-3), wobei diesesmal sogar -3< p-3<-1, also immer p<0 gilt.
Dennoch, Taylorn ergibt:
g(eps) = g(0) + eps*g'(0) + eps^2/2*g''(0) + REST(eps)
= 0 + 0 + p(p-1) eps^2/y^(2-p) + REST(eps)
Unter verwendung der Cauchy Darstellung (offensichtlich würde auch Lagrange-Darstellung reichen, aber wo bleibt der Spaß?) des Restgliedes existiert ein xi_1 zwischen 0 und eps, so dass:
REST(eps) = c_p * g'''(xi_1)(eps-xi_1)^2*eps
= c_{p,1}* ((y+xi_1)^(p-3) - (y-xi_1)^(p-3))*(eps-xi_1)^2*eps
= c_{p,1}* ((y+xi_1)^(p-1) ((eps-xi_1)/(y+xi_1))^2*eps
- (y-xi_1)^(p-1))*((eps-xi_1)/(y-xi_1))^2*eps)
-(ANMERKUNG: eigentlich xi<= eps?!)
wir wissen, dass eine Konstante a mit 0<a<1 existiert, so dass xi_1 = a*eps, daher:
(eps-xi_1)/(y+xi_1) = eps (1-a)/(y/eps+a), aber, da y> eps ist gilt offensichtlich 1-a < y/eps + a und daher
eps (1-a)/(y/eps+a) < eps
ebenso erhält man mit einer ähnlichen argumentation:
(eps-xi_1)/(y-xi_1)=eps (1-a)/(y/eps-a)<eps
und somit:
|REST(eps)| < c_{p,2}*eps^3 ( (y+xi_1)^(p-1) + (y-xi_1)^(p-1) )
Hier taucht wieder dasselbe Problem wie zuvor auf:
Kann ich nun einfach eine Konstante M_3 finden, so dass
für alle y gilt,
(y-xi_1)^(p-1) <= M_3
gilt?
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(Ein alternativer Ansatz wäre es sich ansonsten einmal die komplette Binomialreihe (y-eps)^p anzuschauen, die konvergiert absolut für |eps|<=y und die aussage sollte dann ohnehin irgendwie unmittelbar (für alle hinreichend kleinen eps) folgen).
Da y>eps gilt:
g(eps) = g_y(eps)=(y+eps)^p+(y-eps)^p -2y^p
g'(eps) = p( (y+eps)^(p-1) - (y-eps)^(p-1)))
g''(eps) = p(p-1)* ((y+eps)^(p-2) + (y-eps)^(p-2)))
g'''(eps) = p(p-1)* ((y+eps)^(p-3) - (y-eps)^(p-3)))
Man sieht sofort, dass sich das Problem hier wiederholen wird: in der dritten Ableitung taucht wieder der term (y-eps)^(p-3), wobei diesesmal sogar -3< p-3<-1, also immer p<0 gilt.
Dennoch, Taylorn ergibt:
g(eps) = g(0) + eps*g'(0) + eps^2/2*g''(0) + REST(eps)
= 0 + 0 + p(p-1) eps^2/y^(2-p) + REST(eps)
Unter verwendung der Cauchy Darstellung (offensichtlich würde auch Lagrange-Darstellung reichen, aber wo bleibt der Spaß?) des Restgliedes existiert ein xi_1 zwischen 0 und eps, so dass:
REST(eps) = c_p * g'''(xi_1)(eps-xi_1)^2*eps
= c_{p,1}* ((y+xi_1)^(p-3) - (y-xi_1)^(p-3))*(eps-xi_1)^2*eps
= c_{p,1}* ((y+xi_1)^(p-1) ((eps-xi_1)/(y+xi_1))^2*eps
- (y-xi_1)^(p-1))*((eps-xi_1)/(y-xi_1))^2*eps)
-(ANMERKUNG: eigentlich xi<= eps?!)
wir wissen, dass eine Konstante a mit 0<a<1 existiert, so dass xi_1 = a*eps, daher:
(eps-xi_1)/(y+xi_1) = eps (1-a)/(y/eps+a), aber, da y> eps ist gilt offensichtlich 1-a < y/eps + a und daher
eps (1-a)/(y/eps+a) < eps
ebenso erhält man mit einer ähnlichen argumentation:
(eps-xi_1)/(y-xi_1)=eps (1-a)/(y/eps-a)<eps
und somit:
|REST(eps)| < c_{p,2}*eps^3 ( (y+xi_1)^(p-1) + (y-xi_1)^(p-1) )
Hier taucht wieder dasselbe Problem wie zuvor auf:
Kann ich nun einfach eine Konstante M_3 finden, so dass
für alle y gilt,
(y-xi_1)^(p-1) <= M_3
gilt?
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(Ein alternativer Ansatz wäre es sich ansonsten einmal die komplette Binomialreihe (y-eps)^p anzuschauen, die konvergiert absolut für |eps|<=y und die aussage sollte dann ohnehin irgendwie unmittelbar (für alle hinreichend kleinen eps) folgen).
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