Surjektivität

[dayuM]

Ich wäre froh, wenn mir jemand eine verständliche Definition der Surjektivität liefern könnte.
In meinem Skript steht in etwa:
Eine Funktion, die A auf B abbildet, ist surjektiv, falls B=f(A). Nach meiner Interpretation bedeutet dies, dass Zielmenge (B) und Wertebereich f(A) gleich sein müssen. Wenn ich dies nun auf Aufgaben anwende, komme ich nicht zum richtigen Ergebnis.
Wenn meine Definition und Interpretation so theoretisch stimmen, poste ich auch gerne Aufgaben, die mir Schwierigkeiten bereiten.
E: Ich glaub ich hab es rausgefunden; wenn ich mit dem Limes arbeite, klappt es einwandfrei. Wenn bei einem gegebenen Definitionsbereich beide Grenzwerte der ebenfalls gegebenen Zielmenge entsprechen, ist die Funktion surjektiv.

 

[Annihilator]

Deine beiden genannten Mengen müssen eben nicht gleich sein, das wäre dann die Bijektivität.

Surjektivität bedeutet nur, dass es bei einer Abbildung f: A -> B für jedes b aus B mindestens ein a aus A existiert für das gilt f(a) = b.
Es dürfen also mehrere a_i auf das gleiche b abbilden.

 

[Brusko651]

Deine Definition ist äquivalent zu der gebräuchlicheren Definition von Surjektivität:
f:A->B ist genau dann surjektiv, wenn es für jedes y€B ein x€A gibt, sodass f(x)=y.

Du kannst dir das einfach so vorstellen, dass jedes Element von B tatsächlich durch die Funktion f getroffen wird.

Beispiele:

( Die Menge N ist die Menge aller natürlichen Zahlen, die Menge {a€N | a ist gerade} ist die Menge aller geraden natürlichen Zahlen.

f: N-->{a€N | a ist gerade} mit f(n)=2n
ist eine surjektive Funktion, weil jedes Element aus dem Wertebereich {a€N | a ist gerade} wird von der Funktion getroffen.
Für ein beliebiges Element y aus {a | a ist gerade} gibts es nämlich das Element y/2 aus N (y/2 ist klarerweise eine natürliche Zahl, weil y gerade ist), für das gilt f(y/2)=y

anderes Beispiel:
g:N-->N mit g(n)=2n
ist nicht surjektiv.
denn in N sind ja auch ungerade Zahlen, und diese werden von der Funktion g nicht getroffen.
Es gibt zum Beispiel kein n€N sodass g(n)=3.


(Annihilators Einspruch ist übrigens falsch, f(A)=B bedeutet tatsächlich dass f:A->B surjektiv ist, und nicht dass es bijektiv ist.
Die Definition von f(A) lautet f(A):={ f(x) | x€A})

 

[dayuM]

Was sagt ihr zu meinem Grenzwert-Edit? Ist das anwendbar?

 

[Brusko651]

Ich hab deine Idee mit dem Limes nicht ganz verstanden.

Im Allgemeinen braucht man eigentlich keine Grenzwerte um Surjektivität von irgendeiner Funktion zu zeigen, aber je nachdem was deine Aufgabe ist, könnte es natürlich sein, dass du da irgendetwas mit Grenzwert machen musst.

Allgemein zeigt man Surjektivität von einer Funktion so:
du nimmst dir ein beliebiges Element y aus dem Wertebereich B und zeigst dann, dass es ein x aus der Definitionsmenge A gibt, sodass f(x)=y.

 

[dayuM]

Zielmenge muss per Definition der Surjektivität gleich Wertebereich sein. Bei uns kommen vor allem stetige, monotone Funktionen vor. Wenn ich nun einen gegebenen Definitionsbereich für eine Funktion f habe, z.B. (-unendlich, 1] betrachte ich die Grenzwerte der Funktion, wenn x gegen -unendlich und 1 strebt. Die beiden erhaltenen Grenzwerte sind die Intervallbeschränkungen des Wertebereichs von f. Wenn nun Wertebereich=Definitionsbereich gilt, ist die Funktion surjektiv.
Konkretes Beispiel: f(x)=Wurzel von(1-x), f: (-unendlich, 1] -> [0, unendlich)
Ich rechne nun den Limes für die Funktion aus, wenn x gegen -unendlich geht: +unendlich. Der Limes der Funktion für x gegen 1 beträgt 0. Daraus folgt, dass der Wertebereich [0,unendlich) ist. Dies entspricht gerade der Zielmenge. Also ist die Funktion surjektiv.

 

[crazyBlTCH]

geht wenn dann überhaupt aber nur bei stetigen funktionen, bei denen es meist sowieso klar ist. die definitionen von surjektivität sind halt für viel allgemeinere abbildungen geeignet

 

[Ancient]

Jo. Benutze zum zeigen der Surjektivität besser die Definition. Das funktioniert dann auch noch wenn du ganz abstrakte Abbildungen hast, zum Beispiel zwischen Mengen deren Elemente wieder Abbildungen sind.

 

[RambosDad]

Heute zufällig Prüfung gehabt ?

 

[dayuM]

Ne, erst in der Woche vor Weihnachten. Aber bei meinen Mathe-Defiziten fängt man besser früh an zu lernen

 

[Ancient]

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