Supremum von zwei Funktionen abschätzen

[FORYOUITERRA]

der tag ist lang, vor einigen monaten hatte ich das problem schonmal, nun sehe ich jedoch die lösung nicht mehr und grübel nun schon wieder mehrere stunden über die scheiß ungleichung.

vielleicht kann mich einer wieder auf die richtige spur lenken.


f ist eine stetige funktion über der kompakten Menge S (teilmenge der reellen zahlen).
g ist eine weitere (stetige) funktion. ich weiß, dass f(s*) = sup_{s\in S}f(s) >0
sowie sup_{s \in S} |g(s)-f(s)|< eps für ein (kleines) eps>0 gilt.

zu zeigen ist:
sup_{s\in S}|g(s)| ≤ f(s*) +eps



-----------
ich verzweifele gerade an der blöden ungleichung. irgendwie muss man ja zeigen, dass sup|g| - |sup f| = sup|g| - sup(f) < eps gilt.

- f und g sind stetig, somit beschränkt auf S. damit gilt z.B. sup(f+g) ≤ sup(f)+sup(g) aber auch |sup f+g| ≤ sup|f+g| (und somit

Ansatz 1:
folgende ungleichungen sollten gelten:
sup(g)-sup(f) ≤ sup(g-f) ≤ |sup(g-f)| ≤ sup|g-f| < epsilon

hiermit komme ich sup(g) < f(s*) + epsilon allerdings eben nicht auf sup|g|<f(s*) + epsilon

Ansatz 2:
es gilt natürlich die dreiecksungleichung für die supremumsnorm:
sup|g|-sup|f|≤ |sup|g|-sup|f|| ≤ sup|g-f| <epsilon
somit
sup|g|< epsilon + sup|f|

=> problem: sup|f| ≥ f(s*).

beide ansätze führen also bei mir nicht so richtig zum erfolg. hat wer ne idee oder sieht meinen fehler?

 

[mfb]

Gegenbeispiel: Sei S=[-2,1], f(s)=g(s)=s

f(s*) = sup_{s\in S}f(s) >0 - erfüllt, 1>0.
sup_{s \in S} |g(s)-f(s)|< eps - erfüllt, die Funktionen sind identisch und 0<eps.

sup_{s\in S}|g(s)| ≤ f(s*) +eps - nicht erfüllt, die linke Seite ist 2 und die rechte 1+eps.

 

[FORYOUITERRA]

dankeschön. kann zu.

 

[SvenGlueckspilz]

Falls f überall positiv sein sollte, dann stimmt es:
|g(s)| = |g(s) - f(s) + f(s)| <= |g(s) - f(s)| + |f(s)| = |g(s) - f(s)| + f(s) < eps + f(s)
Also |g(s)| <= f(s) + eps
Jetzt das Supremum auf beiden Seiten nehmen und dann steht es da.

Wenn f beide Vorzeichen haben darf, geht es nicht (siehe mfb).

Meistens ist es übrigens eine bessere Strategie, erstmal ohne das Supremum zu rechnen und am Ende das Supremum zu nehmen, wie ich es gemacht habe. Und nicht nur, weil es weniger Schreibaufwand ist. Man muss sonst bei der Rechnung auch bei jedem Schritt wesentlich vorsichtiger sein und genauer überlegen.

 

[FORYOUITERRA]

...ich bräuchte vermutlich nen eigenes mathetopic 8[. nehme ich das hier und frag mich mal weiter durch den mathewurst.


sei f eine stetige funktion über einen kompakten teilmenge I=[-b,b] von R.
für alle x in I sind die linksseitigen und rechtsseitigen ableitungen beschränkt (wenn das nicht ausreicht: die funktion für die ich mich interessiere ist darüber hinaus sogar an allen stellen bis auf x in {c_1,...,c_k} differenzierbar und es gilt sogar f(c_i)=0 für alle i.)
ist f dann auch lipschitz auf dem gesamten intervall I?


Nimmt man an, dass die funktion auf (-b,b) differenzierbar ist (bis auf die stellen c_1,...,c_k), dann ist sie auf jedem teilteilintervall I_1:= [-b,c_1], I_2:= [c_1,c_2], ... , I_k:=[c_k,b] lipschitz aufgrund des mittelwertsatzes.
folgt draus, dann schon dass die funktion dann auf dem gesamten intervall [-b,b] lipschitz ist? wie?!


als einfaches beispiel, dass es nicht ganz verblödet ist diesesmal:
|x| ist bekanntlich lipschitz, was schon direkt aus der dreiecksungleichung folgt.

Allerdings sind für alle x in einem kompakten intervall I die rechtseitigen und linksseitigen ableitungen ja auch beschränkt und die funktion ist sogar überall bis auf die stelle x=0 diffbar => meine annahmen wären auch erfüllt. meine hoffnung ist, dass sich das auch damit zeigen lässt.



edit:
die stellen wo die ableitung nicht existiert haben ein Lebesgue-Maß von 0. folgt das ganze dann nicht schon aus dem fundamentalsatz der analysis?
konkreter gilt dann nicht schon das hier?
definiere g(s)= f(x-s(x-y)) dann ist g(1) = f(y) und g(0)=f(x). dann gilt:

|f(y)-f(x)| = |\int_0^1 g'(s) ds| <= int_0^1 |f'(x-s(x-y))|ds * |x-y| <= L |x-y|

da f'(x-s(x-y)) bis auf abzählbar viele stellen existiert und zudem beschränkt ist.


edit2:

http://math.stackexchange.com/questions/776970/differentiable-almost-everywhere-and-lipschitz - die antwort gibt hinreichende bedingungen an.

(=> leider ohne quelle/beweis. hat wer ne quelle oder kann es bestätigen?)

ich weiß zwar nicht genau, was "piecewise smooth" exakt bedeutet, aber ich gehe davon aus, dass f dafür
a) stetig sein muß (stückweise reicht wohl nicht aus )
und
b) die ableitungen fast überall existieren müssen, fast überall stetig sind und an den problemstellen immerhin die einseitigen ableitungen beschränkt sein müssen.
=> hat wer die richtige definition?
(bei mir wäre f auf I piecewise smooth und damit lipschitz auf I. dennoch: beschränkte rechtseitig- und linksseitige ableitungen ist ja theoretisch noch ne schwächere bedinung als f' existiert und ist stückweise stetig sowie beschränkt auf den intervallen, reichen meine annahmen?!)

edit3: hinreichende bedingungen für hölder bedingung wären auch ausreichend

 

[zoiX]

...ich bräuchte vermutlich nen eigenes mathetopic 8[. nehme ich das hier und frag mich mal weiter durch den mathewurst.

Ich kann den Titel hier gerne ändern, wenn du das willst

 

[FORYOUITERRA]

nee, besser nicht. peinlichkeit am rise sonst. kann lieber hier ingoknito bleiben :trollface:.
werden aber in den nächsten tagen noch paar stupide fragen zusammenkommen, die ich irgendwann mal einfach so geschluckt hatte.

z.Z.:
f(x)=|x|^p ist für 0<p<1 subadditiv.

für x \geq 0 ist das ganze kein problem: auf f ist auf [0,c] konkav mit f(0)=0 und somit auf [0,c] auch subbaditiv.
wie kann ich das resultat nun auf ganz R rüberziehen?

(hint an mich: theorem (27), inequalitiy (2.12.2) in Hardy, Littlewood, Polya's "Inequalities")

edit: lösung ist trivial.
g(x)=(x)^p ist auf R+ streng monoton steigend. somit:
f(x+y)= g(|x+y|) <= g(|x|+|y|) <= g(|x|) + g(|y|) = f(x)^p + f(y)^p

erste ungleichung nutzt aus, dass die funktion steigend ist, die zweite dann die subadditivitität auf R+.

 

[mfb]

piecewise = stückweise.
smooth sollte glatt sein, eine stärkere Forderung als du hast.

Stetig überall, diffbar überall bis auf eine endliche (oder vermutlich auch abzählbar unendliche) Teilmenge und beschränkte Ableitungen reichen auf jeden Fall aus für Lipschitz-Stetigkeit, und Fundamentalsatz der Analysis ist ein schöner Ansatz um das zu zeigen.

 

[SvenGlueckspilz]

Den Fundamentalsatz, zumindest wie er hier gegeben ist: https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis ,
kann man nur anwenden, wenn die Funktion, auf die er angewendet wird, differenzierbar auf dem ganzen Intervall ist. Dazu bräuchte man hier, dass in den Punkten c_1, ..., c_k die Funktion zumindest von beiden Seiten einseitig differenzierbar ist. Es gibt natürlich auch allgemeinere Versionen vom Satz mit Absolutstetigkeit und so, aber die habe ich gerade nicht im Kopf. Ich glaube man müsste für die fordern, dass eine Funktion f:[a,b] -> R zumindest absolutstetig sein muss, damit man f mit dem Hauptsatz ausdrücken kann.

Der Mittelwertsatz ist hier denke ich etwas mächtiger, da kann sogar auf die einseitige Differenzierbarkeit in den Ausnahmepunkten verzichtet werden.
Mit dem Mittelwertsatz kann man es dann zusammensetzen, was ich bei Bedarf gerne demonstrieren kann.

piecewise smooth = stetig auf dem ganzen Intervall und stetig diffbar auf den *abgeschlossenen* Teilintervallen, wobei es nur endlich viele Teilintervalle geben sollte. Wenn man ein kompaktes Intervall in abzählbar viele Teilintervall zerlegt, würde man das glaube ich nicht piecewise smooth nennen. Das betrifft jetzt nur die Namensgebung.

Hinreichend sollte auf jeden Fall sein:
f ist stetig auf [a,b], und es gibt endlich viele c_0, ..., c_k, so dass f auf (c_j, c_(j+1)) stetig differenzierbar ist und es gibt ein M > 0 so dass
|f'(x)| <= M für alle x in denen f' differenzierbar ist.
Das ist dann nichtmal piecewise smooth, weil ich nicht die einseitige Differenzierbarkeit in den Problempunkten gefordert habe.

Eine weitere Verallgemeinerung wäre: (ich rede hier nicht über Unterteilungspunkte wegen Anordnungsproblemen)
f ist stetig auf [a,b] und es gibt abzählbar viele disjunkte offene Intervalle I_k, so dass [a,b] \ Vereinigung I_k abzählbar ist
und f auf allen I_k differenzierbar ist und es gibt außerdem ein M>0, so dass
|f'(x)| < M für alle x in denen f differenzierbar ist. Zeigen kann man das mit dem MIttelwertsatz (der Differentialrechnung).

Am allgemeinsten ist natürlich die if and only if Charakterisierung aus dem stackexchange link, aber um die nachzuprüfen musst du dann erstmal die Absolutstetigkeit prüfen, die ja mehr ist, als die Stetigkeit.

 

[FORYOUITERRA]

danke schön, irgenwas von den punkten ist bei mir also auf jeden fall was erfüllt

Der Mittelwertsatz ist hier denke ich etwas mächtiger, da kann sogar auf die einseitige Differenzierbarkeit in den Ausnahmepunkten verzichtet werden.
Mit dem Mittelwertsatz kann man es dann zusammensetzen, was ich bei Bedarf gerne demonstrieren kann.

ich sehe selbst nicht direkt, wie man aus der zerlegung von I in die disjunkten Teilintervalle I_i, i=1,...,k, , auf denen der mittelwertsatz gilt, wieder auf den gesamten Definitionsbereich I kommt, wenn der beweis nicht zuviel schreibarbeit ist, wäre ich definitiv interessiert.

(siehe auch deine letze anmerkung zur weiteren verallgemeinerung, die ja auch in eine ähnliche richtugn geht)

piecewise smooth = stetig auf dem ganzen Intervall und stetig diffbar auf den *abgeschlossenen* Teilintervallen, wobei es nur endlich viele Teilintervalle geben sollte. Wenn man ein kompaktes Intervall in abzählbar viele Teilintervall zerlegt, würde man das glaube ich nicht piecewise smooth nennen. Das betrifft jetzt nur die Namensgebung.

=> f(x)=|x| also piecewise smooth auf [-b,b], da 1.) f(x) ist stetig auf [-b,0] sowie [0,b] und 2. auf [-b,0] ist f'(x)=-1 stetig und auf [0,b] ist f'(x)=1 stetig?


die funktion f(x)= x-(x-1)*ln(1-x) (falls 0\leq x<1) sowie f(x) = x für 1 <= x <=2
ist hingegen nicht stückweise smooth, da:
1.) sie ist zwar stetig
aber
2.) auf dem Intervall [0,1] ist f'(x)= -ln(1-x) und lim_{h->0, h<0} f'(x+h) = unendlich
=> grenzwert existiert nicht, somit ist die funktion nicht mehr (überall) diffbar auf [0,1]

=> mit anderen worten: die ableitung einer piecewise smooth function darf nur endlich viele und endlich große sprungstellen haben.

Hinreichend sollte auf jeden Fall sein:
f ist stetig auf [a,b], und es gibt endlich viele c_0, ..., c_k, so dass f auf (c_j, c_(j+1)) stetig differenzierbar ist und es gibt ein M > 0 so dass
|f'(x)| <= M für alle x in denen f' differenzierbar ist.
Das ist dann nichtmal piecewise smooth, weil ich nicht die einseitige Differenzierbarkeit in den Problempunkten gefordert habe.

kommt da nicht hinterrücks durch grenzwertbetrachtungen bei den randpunkten wieder sowas wie eine einseitige (beschränkte) differenzierbarkeit hinterrücks rein (bei mir reicht es aber ohnehin diese anzunehmen, da man die beschränktheit der einseitigen ableitungen an den problemstellen ziemlich leicht zeigen kann).

 

[FORYOUITERRA]

okay: ich sehe es vielleicht doch.

gezeigt habe ich: f(x) ist lipschitz auf jeden Teilintervall I_1,..., I_k:

wähle x \in I_i und y in I_j; (wenn i=j, dann ist es lipschitz) obda sei i<j.
dann existiert ein k so dass gilt:
x <= c_{i+1} < c_{i+2} < ... <c_{k} <= y

und somit, mit L = maximum der lipschitz-konstanten für jedes Teilintervall:

|f(x)-f(y)| = |f(x) -f(c_{1+1}) + f(c_{1+1}) - f(c_{1+2}) + ... -f(c_{k}) + f(c_{k}) - f(y)|
<= L(|x-c_{i+1}| + |c_{i+1}-c_{i+2}| +...+ |c_{k}-y|)
= L(|c_{i+1}-x| + |c_{i+2}-c_{i+1}-| +...+ |y-c_{k}|)
= L( c_{i+1}-x + c_{i+2}-c_{i+1} - c_{i+2} + ... -c_{k} + c_{k} - y)
= L( y-x ) = L|y-x|


(ich glaube man braucht dafür dennoch noch, dass die einseitigen grenzwerte an den problemstellen existieren, also beschränkt sind)

 

[SvenGlueckspilz]

Haben wir hier eigentlich keinen Latexeditor integriert? Das zu lesen ist echt hart

Ich fang mal mit einer Bemerkung zum letzten Satz an den du geschrieben hast:
"(ich glaube man braucht dafür dennoch noch, dass die einseitigen grenzwerte an den problemstellen existieren, also beschränkt sind)"
Betrachte die Funktion sin(1/x). Die ist in der Umgebung von x = 0 beschränkt, der Grenzwert in x = 0 existiert trotzdem nicht, auch nicht einseitig, weil das oszilliert. Die kann man nichtmal zeichnen, weil dadurch bedingt die Kurve unendlich lang wird, aber das nur Nebenbei.
Eine Ableitung kann auch oszillieren, ohne dabei unbeschränkt zu werden.
In dem Zusammenhang solltest du dir auch drüber klar werden, was es heißen soll, wenn du sagst
"beschränktheit der einseitigen ableitungen an den problemstellen"
Ehrlich gesagt ergibt das keinen Sinn für mich.

Der Mittelwertsatz ist deswegen gut, weil der die Diffbarkeit nur im inneren braucht. Genauer:
wenn f auf [a,b] stetig und auf (a,b) diffbar ist, dann gibt es ein xi in (a,b) so dass f(b) - f(a) = f'(xi) * (b-a). Die Differenzierbarkeit in a oder in b brauchte man dafür nicht.

Zu den Beispielen: Ja |x| ist piecewise smooth oder deutsch: stetig und stückweise stetig diffbar.

Das zweite Beispiel mit dem Logarithmus ist tatsächlich nicht piecewise smooth. Aber zu dem Schlusssatz an der Stelle: Dazu müsste sie nicht überall differenzierbar sein. Aber sie müsste auf den Unterteilungsintervallen differenzierbar sein. Zum Beispiel f(x) = |x| ist auf [-b,0] diffbar und auf
[0,b] aber nicht auf [-b,b]

Ich schreib den Beweis nochmal exemplarisch für den Fall, dass das Intervall nur in zwei Intervalle zerfällt, auf der die Funktion glatt ist.
Also sei f auf [a,b] = [a,c] u [c,b] stetig und auf (a,c) und auf (c,b) differenzierbar und es gelte |f'(x)| < M für ein M > 0 und alle x in denen f diffbar ist.
(Nochmal: Das ist noch nicht piecewise smooth, weil die Funktion in a, b, c nicht einseitig diffbar sein muss.
Dann ist f Lipschitz auf [a,b]
Beweis:
Seien x und y aus [a,b].
1. Fall: x und y aus [a,c] und oBdA x < y.
Dann |f(x) - f(y)| = |f'(xi)| * |x-y| nach Mittelwertsatz mit einem xi aus (x,y)
<= M * |x-y|
2. Fall: x und y aus [c,b] analog zu Fall 1.
3. Fall: x aus [a,c] und y aus [c,b]
|f(x)-f(y)| <= |f(x)-f(c)| + |f(c) - f(y)| <= M * |x-c| + M * |c-y| nach Fällen 1 und 2
= M* (|x-c| + |c-y|) = M * (c-x + y-c) (da x <= c und c <= y)
= M * (y-x) = M * |x-y|

Das Beweisprinzip lässt sich auch auf mehr Einzelintervalle, sogar für meine Version mit abzählbar vielen Unterteilungsintervallen, anwenden.

 

[FORYOUITERRA]

danke dir. das hilft meinem verständnis sehr weiter.

das beispiel mit sin(1/x) ist toll. so ne art von funktion war mit tatsächlich gänzlich unbekannt. die funktion wird aber (z.B. auf dem intervall (0,1)) nicht lipschitz stetig sein, allerdings ist klar, was du sagen willst.

"muss stetig auf [-b,b] sein" ist was anderes als muss stetig auf [-b,0] und [0,b] sein" hört sich logisch an. allerdings ist die heavyside function kein gutes beispiel: die ist nicht stetig auf einem der teilintervalle (auf [-b,0] springt sie an der stelle x=0 auf 1.)



...immerhin war mein beweis richtig

 

[SvenGlueckspilz]

Sorry, ich hab an einer Stelle Quatsch geschrieben: Die Stetigkeit auf [-b,0] und auf [0,b] impliziert sehr wohl die Stetigkeit auf [-b,b].
Anders wäre es, wenn du nur die auf [-b,0] und die auf (0,b] behauptet hättest. Ich lösche es oben raus, damit es keiner liest und verwirrt ist

Bei der Differenzierbarkeit ist das anders, weil es ja verschiedene einseitige Ableitungen geben kann.

edit:
Scheinbar liest du immer noch, was ich oben schon rausgelöscht habe, das mit der Stetigkeit war Quatsch von mir

Zu dem Sinus nochmal: sin(1/x)-artige Funktionen habe ich ja quasi als Möglichkeit für die Ableitung ins Spiel gebracht. Und wir reden ja darüber, ob f Lipschitz ist, nicht ob f' Lipschitz ist.

 

[FORYOUITERRA]

ich glaube mein hauptoblem ist, dass mir halt nicht so ganz klar ist, was differenzierbarkeit auf (a,b) tatsächlich an den randpunkten bedeutet:

für jedes eps>0 muss ja f(a+eps) differenzierbar sein.
was passiert nun, wenn man eps gegen 0 gehen lässt?
dann endet man ja doch wieder der stelle f(a) (stetigkeit der funktion auf [a,b]).

Mein problem ist somit:
impliziert diffbarkeit auf (a,b) nicht insbesondere, dass lim_(h->0, h>0) (f(a+h)-f(a))/h =: f'(a+) existiert (und somit auch endlich ist)?


(edit: andererseits: stetig diffbar auf (a,b) und die rechtsseitige bzw. linksseitige ableitung existiert an den betreffenden rändern, reicht vermutlich aus um zu zeigen, dass die ableitung stetig auf ganz [a,b] ist? daraus würde dann beschränktheit der ableitung auf (a,b) folgen => letztendlich also nur eine hinreichende bedingung für deine annahme?!)

 

[SvenGlueckspilz]

Ok dann gehen wir das mal langsam durch:
f sei definiert in [a,b]. Wenn x in (a,b) ist, dann kann man ganz normal definieren: f ist in x differenzierbar genau dann wenn
lim_h->0 (f(x+h) - f(x))/h existiert (also der beidseitige Grenzwert dieses differenzenquotienten.
Kurze Notationserklärung, falls du die nicht kennst: lim_h->0+ bedeutet h strebt von rechts gegen null und lim_h->0- bedeutet h strebt von links gegen 0.
Wenn jetzt x = a, dann würde man da nur die rechtsseitige Differenzierbarkeit fordern, das heißt
dass lim_h->0+ (f(a+h) - f(a))/h existiert. Entsprechend in b nur die linksseitige, also dass lim_h->0+ (f(b+h) - f(b))/h existiert.

Man kann natürlich auch von einseitiger Differenzierbarkeit im inneren sprechen, zum Beispiel f(x) = |x| ist in x = 0 sowohl links als auch rechtsseitig diffbar, aber nicht richtig differenzierbar, da die einseitigen Ableitungen nicht übereinstimmen.

Differenzierbarkeit in (a,b) ist nicht gleichbedeutend mit differenzierbarkeit in [a,b], wie man am Beispiel f(x) = sqrt(x) sehen kann. Die ist zwar stetig in 0, differenzierbar in x > 0, aber nicht in x = 0. Die Ableitung ist allerdings in der Nähe von 0 unbeschränkt. Es gibt aber auch Beispiele, wo die Ableitung in der Nähe vom Randpunkt beschränkt bleibt, mir fällt nur gerade keins ein, wird später nachgereicht.

Es gibt auch Beispiele, dass eine Funktion auf [a,b] differenzierbar ist, die Ableitung aber unstetig ist.

Etwa f(x) = x^2 * cos(1/x) für x > 0 und f(0) = 0. Dann ist f'(x) = 2x * cos(1/x) + sin(1/x) für x > 0. In x=0 muss man es dann per Hand mit dem Differenzenquotienten ausrechnen. (f(0+h)-f(0))/h = h * cos(1/h) und das strebt gegen 0, also ist f in 0 diffbar und f'(0) = 0.
Jetzt ist also f überall differenzierbar auf [0, infty). In x = 0 ist die Ableitung aber unstetig, obwohl sie in der Nähe beschränkt ist.
Denn schauen wir uns die nochmal an: f'(x) = 2x * cos(1/x) + sin(1/x) für x > 0. Wenn jetzt x gegen 0 strebt, konvergiert der erste Term
2x * cos(1/x) gegen 0. Der zweite Term sin(1/x) hat aber keinen Grenzwert, wie ich bereits erwähnt habe. Daher existiert lim_x->0+ f'(x) nicht.
Also ist f'(x) in x = 0 unstetig.

Fun fact an der Stelle: Ableitungen haben immer die Zwischenwerteigenschaft (im Sinne vom Zwischenwertsatz), auch wenn sie nicht stetig sind.
Daher kann zum Beispiel die Heaviside-Funktion keine Stammfunktion haben, dann die hat nur die Werte 0 und 1, aber nicht die dazwischen.
Also kann die nicht Ableitung einer Funktion sein. Das ganze ist der Zwischenwertsatz von Darboux.

Zu dem was du in Klammern geschrieben hast: Erstmal sollte dir klar sein, dass
lim_(h->0, h>0) (f(a+h)-f(a))/h =: f'(a+) falsch ist, jedenfall der Definitionsdoppelpunkt.
Per Definition gilt f'(a+) = lim_x->a+ f'(x), aber lim_(h->0, h>0) (f(a+h)-f(a))/h =: f'(a). Das stimmt überein, wenn f' in a stetig ist.
Gegenbeispiel ist mein x^2 * cos(1/x) Beispiel, da existiert f'(0+) nicht.
Jetzt gibt es einen Satz, dessen Namen ich nicht kenne und ich auch nicht weiß, wo er steht, der glaube ich so lautet:
Sei f auf [a,b] definiert und f auf (a,b) differenzierbar und auf [a,b] stetig (zur Sicherheit). Wenn jetzt f' fortgesetzt werden kann zu einer stetigen Funktion g auf [a,b], dann ist f auch auf [a,b] stetig diffbar und es gilt f = g. (Insbesondere gilt dann f'(a+) = f'(a)).

Im eindimensionalen ist der Satz nicht so schrecklich relevant, interessanter ist es im mehrdimensionalen. Stell dir vor das Definitionsgebiet deiner Funktion ist etwa am Kreis. Was bedeutet dann stetige Diffbarkeit auf dem abgeschlossenen Kreis? Das mit den einseitigen Differentialquotienten ist nicht so schrecklich hilfreich hier. Stattdessen fordert man dann, dass f im inneren diffbar sein soll und dass die Ableitung gleichmäßig stetig sein soll (denn dann kann sie stetig auf den Rand fortgesetzt werden).

Ok, jetzt hast du erstmal was zu verdauen
Btw ich hoffe du hast oben meine Korrektur mitbekommen, da hatte ich an einer Stelle Quatsch erzählt.