Suche Beweis (moeglicherweise nichttrivial)

[sesslor]

Hi,

ich suche eine Beweis fuer einen Sachverhalt, der mir im Rahmen meiner Doktorarbeit(in Physik) ueber den Weg gelaufen ist. Koennte mir vorstellen, dass es fuer einen echten Mathemetiker leicht zu beweisen ist, mir faellt aber nichts mehr ein.

Der Satz lautet folgendermassen:
Gegeben sei eine Funktion T(v,w) von 2 komplexen Variablen v und w, die auf die komplexen Zahlen abbildet. Diese ist symmetrisch(d.h. T(v,w) = T(w,v)) und analytisch(holomorph) auf einer offenen Kreisscheibe G um den Ursprung, in der der komplexe Einheitskreis enthalten ist. Ausserdem eine Funktion n(v), die ebenso auf G analytisch ist und fuer die gilt n(1) = 0, sie darf aber nicht auf ganz G identisch 0 sein. Auf G soll zudem folgende Gleichung erfuellt sein:
T(v,w) * n(1/(v*w)) + T(v,1/(v*w)) * n(w) + T(w,1/(v*w)) * n(v) = 0

Die Behauptung ist nun, dass T auf G identisch 0 sein muss.
Ist vielleicht nicht ganz einfach, ich dachte nur, dass veilleicht der ein oder andere Mathestudent eine Idee hat.

mfg,
Sebastian

 

[mfb]

T(1,v)=T(v,1)=0 kann ich beweisen, den nächsten Schritt habe ich allerdings noch nicht gefunden.

Zunächst setze ich w=1 fest:
T(v,1) * n(1/v) + T(1,1/v) * n(v) = 0
und nutze die Symmetrie:
T(v,1) * n(1/v) + T(1/v,1) * n(v) = 0
sei S(z)=T(z,1)*n(1/z).
S(v) + S(1/v) = 0 bzw. S(v) = - S(1/v)
Nach Konstruktion ist S auf einer Kreisscheibe, die den Einheitskreis enthält, analytisch.
Damit sind auch S(1/v) und S(v)*S(1/v) analytisch auf der Kreisscheibe.
Auf dem Einheitskreis gilt 1/v=v* (komplex konjugiert)
Da sich S in einer Potenzreihe entwickeln lässt und (z*)^n = (z^n)*, gilt S(v*)=(S(v))*
Damit ist S(v) * (S(1/v)) = |S(v)|^2 auf dem Einheitskreis. Da S(v) * (S(1/v)) auf dem ganzen Einheitskreis reell ist, muss es auf der Kreisscheibe konstant sein (nicht ganz sicher).
Schließlich gilt S(1)=0 und somit S(v)=0 auf der gesamten Kreisscheibe.
n(1/v) kann nur endlich viele Nullstellen in der Kreisscheibe haben, also muss T(v,1) fast überall null sein, also gilt T(v,1)=0 auf der gesamten Kreisscheibe.
Aufgrund der Symmetrie folgt daraus natürlich auch T(1,v)=0 auf der Kreisscheibe.

 

[sesslor]

Danke für die Antwort, allerdings hab ich jetzt schon ein Gegenbeispiel gefunden und der Beweis ist somit gestorben.

Falls es interessiert: T(v,w) = n(v)*n(w)*(v+w-(2/(v*w))

mfg