Suche Beweis: AffineAbbildung = Translation + LineareAbbildung

[Ricky Spanish]

Ich dachte bisher immer, dass sich eine affine Abbildung definitionsgemäß als Summe einer linearen Abbildung und einer Translation schreiben lässt.

Nun hab ich allerdings ein Skript entdeckt, in dem es etwas anders drin steht:

Dort wird eine affine Abbildung dadurch definiert, dass sie Affinkombinationen erhält. Hieraus muss man wohl irgendwie die oben genannte Eigenschaft ableiten können - aber ich hab gerade keinen Plan, wie.

Vielleicht würde sich einer von den Mathe-Profis hier erbarmen und mir kurz bei diesem Problem helfen?

Hier ist die entsprechende Passage aus dem Skript:

Wer darüber hinaus noch mehr Wissen möchte - ist alles nachzulesen in diesem Skript

http://zach.in.tu-clausthal.de/teaching/cg_literatur/Skript_Strasser.pdf

auf Seite 105 unten bis 106 Mitte (bzw. Seite 114 bis Seite 115 im PDF).

Also dann, wäre für jede Hilfe extrem dankbar.

Gruß
M

 

[voelkerballtier]

Also eigentlich steht alles im Skript, aber leider nicht sonderlich klar, finde ich. Neben ein paar Schreibfehlern fehlen hier und da auch Definitionen von benutzten Variablen, was das Verständnis etwas erschwert (zumindest empfinde ich das so).

Um auf deine Frage einzugehen:
1. Jede Abbildung Phi(x) = Ax + t (lin. Abb. + translation) erhält Affinkombinationen.
Beweis: einfach Phi in (3.12) einsetzen.
Die andere Richtung ist nicht ganz so offensichtlich, aber eigentlich auch einfach zu beweisen. Der Beweis ist sogar im zweiten Teil deines Ausschnitts skizziert.
Dazu muss man sich erstmal klar machen, dass jeder affine Raum eindeutig durch eine affine Basis p_0,...,p_n gegeben ist. Die p_1 ... p_n folden dabei aus der Basis des assoziierten Vektorraums. Jeder Punkt x des affinen Raums lässt sich dann in dieser Basis darstellen:
x = sum lambda_i p_i i=0...n, wobei noch sum lambda_i = 0 gilt (Steht alles in deinem Skript) - lambda_i nennt man dann die Koordinaten von x.
Mit diesem Wissen und Formel (3.12) kann man nun zeigen, dass jede affine Abbildung eine Translations + lin. Abb. ist:



Phi(p_0) ist hier der Translationsanteil und Psi ist eine lineare Abbildung, was sich leicht überprüfen lässt (lambda_i mit a*lambda_i bzw mit lambda_i + mu_i ersetzen und man sieht die linearität sofort).
Wenn man einmal verstanden hat, was ein affiner Raum ist und wie der Zusammenhang zum Vektorraum ist, ist das alles nicht sonderlich schwierig. Das Skript ist leider, wie gesagt, stellenweise etwas verwirrend.

 

[Ricky Spanish]

Super - vielen Dank erstmal für die ausführliche Erklärung!

Das Skript ist wirklich ziemlich mies und viele Dinge sind einfach gar nicht / unzureichend erklärt. Wenn man den Beweis einmal hat, ist der wirklich ziemlich einleuchtend. Mann muss halt nur erstmal drauf kommen

Lediglich der letzte Teil ist mir noch nicht so ganz klar. Wie genau kann ich zeigen, dass Psi eine lineare Abbildung ist? Den Satz hier

Original geschrieben von voelkerballtier
... Psi ist eine lineare Abbildung, was sich leicht überprüfen lässt (lambda_i mit a*lambda_i bzw mit lambda_i + mu_i ersetzen und man sieht die linearität sofort).

hab ich ehrlich gesagt noch nicht so ganz verstanden.

Psi müsste doch eine Abbildung zwischen den assoziierten Vektorräumen sein, oder?
Daher hatte ich versucht, die Elemente dieser VRs einfach darzustellen als z.B. "v = sum lambda_i p_i" mit i=1...n und dann für Psi einfach die Kriterien für eine lineare Abbildung zu prüfen.
Aber irgendwie hab ich da ein bisschen Probleme mit, weil mich das Phi im hinteren Teil der Formel stört.

Wäre super nett, wenn Du mir hier vielleicht noch kurz auf die Sprünge helfen könntest.

Danke und viele Grüße
M

 

[voelkerballtier]

Du hast völlig recht, Psi wirkt in den assoziierten Vektorräumen. Wenn p0, p1, ..., pn eine Basis des Affinen Raumes ist, dann ist p1-p0, p2-p0, ..., pn-p0 eine Basis des assozierten Vektorraums. Analog für Phi(pi) und Phi(pi)-phi(p0). Das heißt also, sum lambda_i (pi-p0) ist ein Vektor in V1 und sum lambda_i (Phi(pi) - Phi(p0)) ist aus V2. Unter diesen Gesichtspunkten wird dann auch die Linearität von Psi: V1 -> V2 trivial.
Ich hoffe, das war verständlich.

 

[Ricky Spanish]

Original geschrieben von voelkerballtier
Ich hoffe, das war verständlich.

Aye, das war es.

Vielen lieben Dank für Deine Hilfe!