nein, hier wird einfach nur ausgezählt. theoretisch könntest du zwar beim ziehen ohne zurücklegen einen baum malen, dann auszählen, aber es gibt zuviele möglichkeiten, um das in der praxis zu machen. hier müssen klügere argumente her:
binomialkoeffizienten (n über k) gibt immer die anzahl der verschiedenen k elementigen teilmengen einer n-elementigen menge.
wenn du z.b. n=5 hast, also eine menge von elementen {a,b,c,d,e} und k = 3, dann hast du (5 über 3) = 10 mögliche kombinationen aus diesen 5 elementen 3 elemente zu ziehen:
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] "a" "a" "a" "a" "a" "a" "b" "b" "b" "c"
[2,] "b" "b" "b" "c" "c" "d" "c" "c" "d" "d"
[3,] "c" "d" "e" "d" "e" "e" "d" "e" "e" "e"
du hast nun bei dir immer laplace experimente vorliegen. d.h. jede einzelne richtige kugel zu ziehen kommt mit derselben wahrscheinlichkeit vor. daher kannst du einfach die wahrscheinlichkeit durch das auszählen der günstigen durch die möglichen ereignisse bestimmen.
z.b. bei der 16.3)
wahrscheinlichkeit, dass unter den entnommenen genau 4 böse sind, lautet:
(6 über 4) * (14 über 6) / (20 über 10)
da: die anzahl der möglichen kombinationen aus insgesamt 20 kugeln 10 stück auszuwählen ist einfach (20 über 10), das ist der nenner.
(6 über 4) =15 gibt die anzahl der möglichkeiten an, aus den 6 bösen kugeln genau 4 stück zu ziehen.
(14 über 6)=3003 gibt die anzahl der möglichkeiten, aus den übrigen 14 kugeln die restlichen 6 zu ziehen.
insgesamt gibt es also 15 möglichkeiten 4 kugeln aus den 6 bösen zu ziehen. für JEDE dieser 15 möglichkeiten gibt es jeweils 3003 möglichkeiten die restlichen 6 kugeln aus den 14 übrigen zu ziehen. macht insgesamt 15*3003 möglichkeiten aus den 6 bösen kugeln 4 auszuwählen und die anderen 6 mal reingreifen aus den übrigens 14 zu haben.
wenn X die anzahl der bösen kugeln angibt, und wir mal eben annehmen, dass die bösen kugeln a,b,c,d,e,f heißen, dann ist gesucht (notation ist ein wenig sloppy):
P(X=4) = P({a,b,c,d} oder {a,b,c,f} oder ... oder {c,d,e,f} bei Ziehung ohne zurücklegen von 10 kugeln aus 20)
= P({a,b,c,d}) + P({a,b,c,f}) + ... + P( {c,d,e,f} )
= 3003/(20 über 10) + 3003/(20 über 10) + ... + 3003/(20 über 10)
= Anzahl Möglichkeiten aus 6 kugeln 4 zu ziehen * Anzahl Möglichkeiten aus 14 Kugeln 6 zu ziehen / (Anzahl Möglichkeiten aus 20 kugeln 10 zu ziehen)
= (6 über 4) * (14 über 6) / (20 über 10)
(da es, gegeben man hat z.b. {a,b,c,d} gezogen, 3003 möglichkeiten gibt die anderen 6 kugeln aus den 14 nicht bösen zu ziehen!)
ausführlicher erklärt wirst du es nirgends finden. vielleicht ist nun klar, warum
(6 über 4) * (14 über 6) tatsächlich die anzahl der möglichkeiten angibt, dass man aus den 6 kugeln 4 richtige zieht, wenn man insgesamt 20 kugeln hat und 10 mal zieht ohne zurücklegen.
feedback wieder erwünscht.