Stochastik / Kombinatorik Frage

[Benrath]

Also es geht um treatment effects und daher um kombinatorik wie wahrscheinlich einzelnen vektor einer Gesamtheit Omega sind.

Ich hab also einen Vektor Nullen und Einsen, wobei Eins das Treatment benennt und Null kein Treatment.

jetzt gibt es also für diesen Vektor nennen wir ihn mal Z, 2^n verschiedene Auspräungsmölichkeiten als Omega. Sollte jetzt P(Zi=1)=0,5 sein, wäre die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Z=z also 1/2^n. Soweit so gut. Dies würde sich aber ändern wenn sich P(Zi=1) ändern würde oder? Ich kann mir nicht vorstellen das jedes Z=z gleich wahrscheinlich wäre, wenn z.b P(Zi=1)=0,9 wäre.


dann gibt es die möglichkeit die Zahl der ausprägungen festzulegen, damit reduziert sich die anzahl der verschiedenen Z=z auf den Binomialkoefizient n über m. wo n länge des vektors und m = anzahl Einsen. Nun heißt es bei uns die Wahrscheinlichkeit eines Z=z wäre also wieder 1/Omega sprich 1/(n über m ).

Da fängt so ein bisschen mein Vorstellungsproblem an. GIlt das dann nur für P(Zi=1)=0,5 ? was passiert für andere Wahrscheinlichkeiten? Ist trotzdem jede Ausprägung des Vektors gleichwahrscheinlich? Wie läuft das denn wenn sich der Vektor bildet. angenommen n = 10, m=5 und die ersten 5 Zi wären 1 wobei die Wschl jeweilse 0,5 war. Dann wäre doch für die 6. stelle zwingend eine 0 nötig, oder?

 

[Amad3us]

jetzt gibt es also für diesen Vektor nennen wir ihn mal Z, 2^n verschiedene Auspräungsmölichkeiten als Omega. Sollte jetzt P(Zi=1)=0,5 sein, wäre die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Z=z also 1/2^n. Soweit so gut. Dies würde sich aber ändern wenn sich P(Zi=1) ändern würde oder? Ich kann mir nicht vorstellen das jedes Z=z gleich wahrscheinlich wäre, wenn z.b P(Zi=1)=0,9 wäre.

Nimmst du denn- stillschweigend - an, dass die einzelnen Zi unabhängig sind? D.h. P(Z1=1,Z2=1)=P(Z1=1)*P(Z2=1)?
Wenn ich jetzt mal davon ausgehe, dass du diese Annahme machst, dann sind für p=0.9 nicht alle Möglichkeiten gleichwahrscheinlich. Du hast ja, wenn du z.B. den Vektor (1,x2,x3,x4) mit (0,x2,x3,x4) (die beiden Vektoren unterscheiden sich nur in der ersten Stelle) vergleichst, einen Wahrscheinlichkeitsquotienten von 0.9/0.1.

Nun heißt es bei uns die Wahrscheinlichkeit eines Z=z wäre also wieder 1/Omega sprich 1/(n über m ).

Dies ist ein zweites Szenario. Im obigem, ersten Szenario sind potentiell alle 2^n Ausprägungen möglich. In dem Fall Wkeit=1/(n über m) nimmst du nur die Menge aller Vektoren, die m Einsen besitzen und bildest darauf eine Gleichverteilung.
Das ist eine Gleichverteilung auf der Menge aller Vektoren der Länge n mit m Einsen.
Im ersten Szenario hingegen kriegst du (und auch nur falls p=0.5)
eine Gleichverteilung auf der Menge aller Vektoren der Länge n.

 

[Benrath]

Original geschrieben von Amad3us




Dies ist ein zweites Szenario. Im obigem, ersten Szenario sind potentiell alle 2^n Ausprägungen möglich. In dem Fall Wkeit=1/(n über m) nimmst du nur die Menge aller Vektoren, die m Einsen besitzen und bildest darauf eine Gleichverteilung.
Das ist eine Gleichverteilung auf der Menge aller Vektoren der Länge n mit m Einsen.
Im ersten Szenario hingegen kriegst du (und auch nur falls p=0.5)
eine Gleichverteilung auf der Menge aller Vektoren der Länge n.

sind denn wirklich alle vektoren gleich wahrscheinlich im 2. Szenario wenn P(Zi=1)=0,8 wäre. ?

 

[Amad3us]

sind denn wirklich alle vektoren gleich wahrscheinlich im 2. Szenario wenn P(Zi=1)=0,8 wäre.

Im ersten Szenario nicht, z.B. hat (1,0,0,0,0) eine höhere Wkeit als (0,0,0,0,0) wenn P(Zi=1)>0.5
Im zweiten Szenario ja! denn alle Vektoren mit gleicher Summe haben gleiche Wkeit: (1,0,0,0,0) hat gleiche Wkeit wie (0,1,0,0,0) auch wenn P(Zi=1)>0.5 ist.

 

[Benrath]

Original geschrieben von Amad3us



Im zweiten Szenario ja! denn alle Vektoren mit gleicher Summe haben gleiche Wkeit: (1,0,0,0,0) hat gleiche Wkeit wie (0,1,0,0,0) auch wenn P(Zi=1)>0.5 ist.

und das kann ich mir total schwer vorstellen

 

[Amad3us]

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist doch deine Annahme, dass P(Z1=1)=P(Z2=1)=....=0.8
Und dass Z1, Z2 .... unabhängig sind.
Wenn du aber das annimmst, dann folgt für die Wkeit von (1,0,0,0):
0.8*0.2*0.2*0.2
während für (0,1,0,0):
0.2*0.8*0.2*0.2

kommt also das gleiche heraus. Damit haben die beiden insbesondere in der bedingten Verteilung (Menge aller 0/1 Folgen mit Summe 1)
die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Analogie: Stell dir vor du hast 4 Münzen der gleichen Bauart. Und du wirfst sie unabhängig voneinander. Nun erhälst du einmal Kopf.
Nun wirst du gefragt: Welches Szenario erscheint dir am wahrscheinlichsten?

- (1,0,0,0)
-(0,1,0,0)
....

Es ist doch intuitiv klar, dass alle gleichwahrscheinlich sind. Wieso solltest du, wenn du die Münzen unabhängig voneinander wirfst eine bestimmte Reihenfolge bevorzugen?

 

[Benrath]

aber ich soll ja die münze 4 mal werfen und 2 mal muss kopf sein..

dann müssten ja wenn ich schon 2 mal kopf habe die nächsten würfe zahl sein. so ähnlich seh ich das beim treatment.