Physik Aufgabe zur eindimensionalen Bewegung

[Brusko651]

Hoi,
bin in meinem physik Buch (Tipler) auf folgende Aufgabe gestoßen:

2.37
Die Beschleunigung eines Teilchens sei durch folgende Funktion von x gegeben:
a(x) = (2 s^-2) * x
Welche Geschwindigkeit hat das Teilchen bei x=3m, wenn die Geschwindigkeit bei x=1m null ist.
----------------

Jo, keine Ahnung wie das gehen soll.
Ich kann die Beschleunigungsfunktion ja nicht einfach integrieren, weil sie in Abhängigkeit vom Ort, und nicht in Abhängigkeit von der Zeit, gegeben ist.

plz help

 

[Brusko651]

Hmmm, ich glaube die Aufgabe führt zu einer Differentialgleichung.

f: R+ -> R+
f(0)=1
f '(0) = 0
f ''(t) = 2 * f(t) (für alle t.)

und gesucht wäre dann f '(3)

wie löst man die?
Hab probiert sowas wie cos(- wurzel(2) t) einzusetzen, aber da ist immer das Vorzeichen verkehrt.

 

[gelle]

das ist eigentlich ne ziemliche standardaufgabe für lineare, gewöhnliche dgl 2. ordnung, wenn ich das richtig sehe. was weist du schon zu dem thema?
(für was soll aber das "s" stehen? sekunde als einheit? und warum 5 als vorfaktor in deinem zweiten post)

naja so wie sie dasteht jedenfach einfahc mit exponentialansatz lösbar.
also
f(t)= A * exp(C * t) + B* exp(-C * t). einsetzen, C bestimmen, dann randbedingung einsetzen und daraus A und B.

 

[sesslor]

Ich erklaers mal fuer Physiker, kann die mathematische Herleitung wenn gewuenscht spaeter noch angeben:

Das Integral a(x) dx ist ja proportional zum Integral Kraft mal Weg (F=m*a). Daher ist dieses Integral gleich den Differenzen der kinetische Energie des Koerpers geteilt durch die Masse. Da die Geschwindigkeit am Anfing (t_1) gleich Null ist, ist
\int_{t_1}^{t_2} a(x) dx = (1/2) v(t_2)^2.

Daraus kannst du die Geschwindigkeit ausrechnen.

 

[Brusko651]

Jo das s soll für die Sekunde stehen.

Zu differential Gleichungen weiß ich eigentlich überhaupt nichts.

Ich mach da auch eindeutig etwas falsch, weil wenn ich in deinen Exponentialeinsatz die Bedingung f(0)=1 einsetze, dann erhalt ich 1 = A + B
und wenn ich f '(0) = 0 einsetze, erhalte ich 0 = A + B

 

[Brusko651]

@sesslor
Energie und Kraft und so sagt mir nicht wirklich was. Bin kein Physiker.
Falls deine mathematische Erklärung verständlicher ist, bitte her damit
Aber ich kenn mich halt mit Differential/Integral Rechnung nur sehr wenig aus, ehrlich gesagt.

 

[sesslor]

Ok, dann die mathematische Herleitung:
\int a(x) dx = \int a(t)*(dx/dt) dt = \int a(t)*v(t) dt.

Also einfach Variablensubstitution x->t.

Integriere dies partiell:
\int a(t)*v(t) dt = [v(t) v(t)] - \int v(t)*a(t) dt.
=> [v(t)*v(t)] = 2 \int v(t)*a(t) dt = 2 \int a(x) dx.
=> v(t) = \sqrt{2 \int a(x) dx}.

Ist das verstaendlich?

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

a = dv/dt = dv/dx * dx/dt = dv/dx *v
->
a*dx = v*dv

 

[Brusko651]

hmm, ich glaube ihr wendet die Kettenregel an, die ich vom Differenzieren kenne. Das find ich gut

Ansonsten hab ich nichts verstanden.
Integrieren kann ich sowieso nicht, wenn's keine Polynomfunktion ist.
Aber is auch egal, ich wollte eh nur ungefähr wissen, wie man an die Aufgabe ran gehn könnte.

 

[xornado]

ui - ich hätte einfach die beschleunigung als funktion der strecke angegeben und dann integriert oder so.. ?

 

[sesslor]

Tja, wenn du nicht integrieren kannst, wirds schwer. Obwohl du hier eh nur eine Polynomfunktion integrieren muesstest.

 

[vuur]

Das mit der Differentialgleichung geht schon, nur musst du statt dem Minus in cos(-wurzel(2) t) das komplexe i verwenden, also cos(i wurzel(2) t), damit das Vorzeichen stimmt. die Funktion cos(it) wird auch cosh(t) genannt, siehe hier. Ableitung von cosh ist sinh, von sinh wieder cosh.