Nullstellenberechnung

[Ricky Spanish]

Ich müsste die Nullstelle der folgenden Funktion berechnen, aber ich kriegs einfach nicht hin...

k(x) = exp(x)/((1+exp(x)^2)^(3/2)) - (3exp(x)^3)/((1+exp(x)^2)^(5/2))

(exp meint hier natürlich die Exponentialfunktion)

Nochmal in TeX-Schreibweise:
k(x) = \frac{\exp(x)}{(1+exp(x)^2)^(3/2)} - \frac{3exp(x)^3}{(1+exp(x)^2)^(5/2)}

Hab schon diverse Logarithmus-Gesetze ausprobiert, aber bisher hat's nicht geklappt. Falls also wer ne gute Idee hat, wär ich dankbar.

Gruß
M.

 

[Didier]

Substitution ist das Zauberwort.

 

[voelkerballtier]

das zauberwort ist kurz nachdenken

die funktion hat keine nullstellen. Grund:
exp(x) > 0 für alle x und außerdem
x^5 > x^3 für alle x>1 und
x > x^3 für alle 0<x<1
=> k(x) > 0 für alle x

 

[Ricky Spanish]

Ok... Hab den Eingangspost überarbeitet. Jetzt stimmt die Funktion und die sollte auch definitiv ne Nullstelle haben (ungefähr bei -0.xx).

 

[Amad3us]

Weiß jetzt nicht ob ich die Funktion genau verstanden habe..
aber vielleicht geht es so:

-setze y= exp(x)
-multipliziere beide Seiten mit (1+y^2)^(5/2)
- es folgt eine Gleichung dritten Grades in y (hierfür gibt es soweit ich weiß explizite Lösungsformeln)
-anschließend sind für alle positiven Werte von y deine endgültige Lösungen x=log(y)

aber vielleicht ist da auch ein Haken dabei.

 

[sinusx]

Mathcad sagt:

x1= ln(1/sqrt(2)) = -0.3466
x2= ln(-1/sqrt(2))= -0.3466 + 3.1416i

Nur so, zum Vergleich hinterher.

 

[voelkerballtier]

nochmal die formel als schickes bild

und da sieht mach auch sofort was zu tun ist:
den linken bruch mit 1+exp(x)^2 erweitern -> gleiche nenner. Dann mit dem Nenner durchmultiplitzieren, einmal exp(x) dividieren und y = exp(x) einsetzen und man erhält die quadratische gleichung:

2y^2 - 1 = 0

und damit für x die Lösung(en) x = ln ( +- 1/sqrt(2) ), die MathCAD offensichtlich auch gefunden hat

 

[Ricky Spanish]

Vielen lieben Dank für die Tipps.

Eigentlich war mein Rechenweg genau der gleiche - bis auf einen fatalen Rechenfehler bzw. Denkfehler.

Ich hab die original Formel

mit dem Nenner des zweiten Bruchs multipliziert und war der Auffassung erlegen, dass da dann

rauskommt.

Aber natürlich ist das Ergebnis

Damit klappt's dann natürlich auch und ich komme auf's richtige Ergebnis.

Also dann, danke nochmal.