Nicht stetige Ableitung differenzierbarer Funktionen

[Gelöschtes Mitglied 160054]

heho, gemäß meine Buch ist die Funktion f(t) = t²sin(1/t)(t != 0) mit f(0) = 0 überall differenzierbar, jedoch ist de Ableitung in t = 0 nicht stetig.
Als Ableitung erhält man 2t*sin(1/t)-cos(1/t) und das ist in 0 doch gar nicht definiert, also kann man doch keine stetigkeitsaussagen darüber führen, oder nicht? Analog zu etwa f(x) = 1/x im Ursprung. oO

 

[ROOT]

naja differenzierbar heißt ja nur, dass der grenzwert existiert und von beiden seiten gleich ist.
f ist also in 0 auch differenzierbar mit f'(0) = 0; f' ist also auch stückweise definiert.

und dann ist es ja leicht nachzuweisen, dass f' in 0 nicht stetig ist sondern in dessen umgebung ständig zwischen +- 1 oszilliert

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Mir geht es darum, dass die Funktion bei t = 0 nicht definiert ist, d.h. das die Null nicht im Definitionsbereich enthalten ist und daher Stetigkeitsuntersuchungen in dem Punkt sinnlos sind.

 

[narc]

Wenn die Funktion überall differenzierbar ist, existiert der Differentialquotient in jedem Punkt und also existiert die Ableitung in jedem Punkt. Du hast eben nur (im Punkt 0) die Ableitung falsch ausgerechnet (nämlich gar nicht).

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Also gibts du mir recht, dass die Funktion dort nicht definiert ist und daher Stetigkeitsaussagen sinnlos sind? Dann aber wäre die Funktion kein Beispiel für eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung nicht stetig ist.

 

[narc]

Doch, rechne mal den Differentialquotienten bei t = 0 aus. Es ist eben nicht damit getan, bei einer stückweise definierten Funktion nur ein Stück abzuleiten.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Das wäre dann(h schon gekürzt)
lim hsin(1/h) für h->0 = 0.
Ok die ist da tatsächlich unstetig. Danke

edit: das ärgert mich, genau den gleichen Fehler hab ich schonmal bei der Nabladarstellung der Deltafunktion durch 1/r gemacht(Also einach die Ableitung ausgerechnet und mich dann gewundert) :///