Negativer Wurzelexponent

[Phoenix3]

Hallo,

eine Potenz mit einem negativen Exponenten ist ja gleich dem Kehrwert derselben Potenz mit positiven Exponent; gilt das selbe auch für Wurzeln?

Oder gibt es bei Wurzeln keinen negativen Exponent?


Ist also 2^-(1/2) = 1 / (2^(1/2)) = 1 / (Wurzel aus 2) = Wurzel aus 2 [mit negativem Wurzelexponent (-2)]

?

 

[ROOT]

x-te Wurzel = Basis ^ (1/x)

Es schreibt aber eigentlich niemand (-2)-te Wurzel, das würde dann Basis ^ (-0.5) = 1 / (Basis ^ (0.5)) entsprechen; also schreibst du einfach 1 / Wurzel(Basi#


pS: Beispiel: Ableitung der Wurzel

Wurzel(x) = x^(0.5)

Ableitung ergo 0.5 x ^ (-0.5) = 1 / (2*Wurzel(x))

 

[sweetie]

Hallo,

eine Potenz mit einem negativen Exponenten ist ja gleich dem Kehrwert derselben Potenz mit positiven Exponent; gilt das selbe auch für Wurzeln?

Oder gibt es bei Wurzeln keinen negativen Exponent?


Ist also 1^-(3/2) = 1 / (1^(3/2)) = 1 / (Wurzel aus 3) = Wurzel aus 3 [mit negativem Wurzelexponent (-2)]

?

Ja, dasselbe gilt auch für Wurzeln. Allerdings ist eine Rechnung falsch. Denn 1 / (1 ^(3/2)) = 1 / [(1 ^ 1/2) ^3] = 1 / [(Wurzel aus 1) ^3] = 1

 

[Phoenix3]

Rechnung habe ich korrigiert.

Und wieso macht das niemand?

-2.Wurzel aus 2 ist doch übersichtlicher als 1 / Wurzel 2.


Noch eine Frage zu dem Thema hätte ich:

Ich weiß, wie man Wurzeln 2. Grades schriftlich ausrechnet.

Mich würde interessieren, ob es auch eine Methodik zum schriftlichen Ausrechnen von Wurzeln mit beliebigem Wurzelexponenten gibt.

 

[Brusko651]

Rechnung habe ich korrigiert.

Und wieso macht das niemand?

-2.Wurzel aus 2 ist doch übersichtlicher als 1 / Wurzel 2.

weil's unnötig kompliziert und verwirrend ist.
also 2^(-1/2) kann man eh gut schreiben.
Aber "minus 2"-te Wurzel aus 2 hab ich noch nie so gehört, is nicht so üblich, weiß ned ob man das so sagen kann.

Noch eine Frage zu dem Thema hätte ich:

Ich weiß, wie man Wurzeln 2. Grades schriftlich ausrechnet.

Mich würde interessieren, ob es auch eine Methodik zum schriftlichen Ausrechnen von Wurzeln mit beliebigem Wurzelexponenten gibt.

Also wenn einem nichts besseres einfällt, kann man einfach Stelle für Stelle durchprobieren, wie hoch man die Ziffer wählen kann, damit die exponierte Zahl noch unter der Zahl ist, aus der man die Wurzel ziehen will.
zB. wenn du die dritte Wurzel aus 7 ausrechnen willst, dann wirst erstmal feststellen, dass die erste Ziffer 1 sein muss, weil 2^3 ist ja schon 8.
Dann kannst du probieren 1,5^3 , 1,6^3 etc... und wirst merken 1,9^3 geht auch noch, ist auch noch <7.
dann bei der nächsten Stelle ist 1,92 schon zu viel, aber 1,91^3 ist noch unter 7.
und so einfach weiter machen^^

so ähnlich funktioniert ja im Grunde auch das schriftliche Wurzelziehen, nur halt mit ein bisschen mehr Tricks und Abkürzungen.

Ansonsten kann man auch die Wurzel auch durch eine konvergierende Folge annähern, das ist ne recht gute Methode:
http://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren
Da rechnet man die Wurzel halt nicht mehr Stelle für Stelle aus, sondern nähert sich einfach immer weiter an.
(musst unten schauen bei "Verallgemeinerung des Verfahrens")

 

[Phoenix3]

Gibt es denn kein Verfahren, mit dem man die ersten 5-10 Nachkommastellen 100% präzise errechnen kann, wie dies bei Quadratwurzeln möglich ist?

Der Weg des Näherungsberechnen ist mir klar, dies ist jedoch bei größeren Zahlen und höheren Wurzelexponenten sehr aufwendig.

 

[ROOT]

Naja, wurzeln rechnet niemand per hand aus.
und die entsprechenden numerischen verfahren sind tatsächlich relativ aufwendig.

 

[Phoenix3]

Auch Computer rechnen per "Hand".

Das es einen entsprechenden Algorithmus gibt ist daher notwendig, mich würde halt ein adäquates, praktikables Verfahren für n. Wurzeln aus m (m,n natürl. Zahl) interessieren. Aber vielleicht suche ich da woanders.

 

[xornado]

lol ^^ natürlich gibt es dafür KEINE "einsetzen, fertig" formel. leider.

 

[sweetie]

Du kannst es immer per Hand über die Exponentialreihe ausrechnen. Wirklich praktisch ist das aber nicht...
Es gibt auch irgendeine Näherungsformel mit Binomialkoeffizienten, die fällt mir aber gerade nicht ein. Müsstest du mal selber suchen.

 

[Phoenix3]

lol ^^ natürlich gibt es dafür KEINE "einsetzen, fertig" formel. leider.

Davon rede ich nicht.

Ich spreche von einer Rechenweise, die dem Verfahren zum Lösen von Quadratwurzeln ähnelt, demjenigen, welches Ziffernweise funktioniert(!), falls das hier überhaupt jemand kennt.

Nur eben nicht von Quadratwurzeln, sondern auch von Wurzeln mit höherem Exponent. Im Prinzip muss man nur die Primzahlexponenten errechnen, da jede Wurzel sich in Wurzeln mit Primzahlexponenten zerlegen lässt.

Bitte nur posten, wenn ihr auf meine Frage eventuell eine Antwort habt.

 

[mfb]

Eine Verallgemeinerung eines Verfahrens, das für eine spezielle Zahl funktioniert (1/2) auf alle reellen Zahlen ist eben unhandlicher.

Für positive a und beliebige reelle b gilt a^b = e^(b*ln(a))
Nun gilt ln(a)=n+ln(a/e^n) wobei n so gewählt wird, dass 1+x=a/e^n zwischen 1 und e ist. Man kann das gleiche auch mit einer anderen Basis, beispielsweise 2, machen, da man auf dem Papier besser durch 2 als durch e teilen kann. Dafür hat man dann beim nächsten Schritt mehr Aufwand.
ln(1+x) wird nun als Reihenentwicklung ausgedrückt und mit der gewünschten Genauigkeit berechnet. Daraus erhält man ln(a), was dann mit b multipliziert wird.
e^(y)=e^m*e^(y-m) wobei m so gewählt wird, dass y zwischen 0 und 1 liegt. Wieder kann man e^(y-m) mit einer Reihe ausdrücken und mit der gewünschten Genauigkeit ausrechnen.
Das ist die schnellste mir bekannte Art die allgemein anwendbar ist, wenn die Exponenten wirklich beliebig sind.



Wenn man nur Ausdrücke der Form a^(1/n) mit natürlichem n berechnen möchte, geht es aber auch einfacher, dann kann man sowohl ziffernweises Ausprobieren (genau wie bei der Wurzel) als auch Verallgemeinerungen des Heron-Verfahrens nutzen, da die Probe (n. Potenz bilden) kein Problem ist.

Ich weiß nicht, welches Verfahren du mit dem ziffernweise meinst (das Ausprobieren?), aber das Heron-Verfahren dürfte die gleiche Zahl Nachkommastellen schneller liefern, sofern es mehr als 1-2 sind.
Für a^(-1/n) einfach a^(1/n) berechnen und am Ende den Kehrwert bilden.

 

[vuur]

Wenn du die n-te Wurzel von a ausrechnen willst, kannst du das Newton-Verfahren mit f(x) = x^n - a benutzen. Das ist iterativ und konvergiert ziemlich schnell.