mathematische Integration

[ashToXi]

Analysis I an der Uni, ich hoffe jemand kann mir behilflich sein

gegeben ist das unbestimmte Integral:
sin³(x)cos(x)

mit partieller integration klappt schonmal gar nix
ich hab dann substiuiert, und zwar sin³(x) = u
danach dann partiell integriert und kam sogar auf ein ergebnis, aber das scheint falsch zu sein

nach mathe-programm kommt raus: sin^4(x) / 4

kann mir jemand erklären, wie das funktioniert?
danke im vorraus

 

[General Mengsk]

Deine Idee ist doch gar nicht so falsch:

I = int(sin(x)^3*cos(x),x) willst du berechnen, wähle u = sin(x)^3 und v' = cos(x)
Entsprechend ist u' = 3*sin(x)^2*cos(x) und v = sin(x)

dann gilt nach int(u*v') = u*v-int(u'*v) nun

int(sin(x)^3*cos(x),x) = sin(x)^3*sin(x)- int(3*sin(x)^2*cos(x)*sin(x),x)
= sin(x)^4 - 3* int(sin(x)^3*cos(x),x)

Nun hast du I = sin(x)^4 - 3*I als Gleichug stehen. Das löst man auf, indem man 3*I addiert und erhält 4*I = sin(x)^4 also I = 1/4 * sin(x)^4

 

[ChoseYourWeapon]

oder substitution u=sin(x), dann ist du=cos(x) und oh wie schön das steht da ja schon, also

int(sin³(x)*cos(x))dx = int(u³)du

aufleiten ergibt 1/4*u^4, rücksubstitution ergibt 1/4*(sin(x))^4

 

[ISsToRm]

Original geschrieben von ChoseYourWeapon
oder substitution u=sin(x), dann ist du=cos(x) und oh wie schön das steht da ja schon, also

int(sin³(x)*cos(x))dx = int(u³)du

aufleiten ergibt 1/4*u^4, rücksubstitution ergibt 1/4*(sin(x))^4

wohl der wesentliche schnellere (und beabsichtigte) Weg, das andere ist natürlich auch nicht falsch

 

[General Mengsk]

Stimmt, das ist etwas eleganter. Aber so sieht Toxi, daß es auch mit partieller Integration klappt. Den Trick mit dem Integral, das man wieder rausbekommt und rüberzieht, kann man nämlich an der Uni noch öfter brauchen.

 

[Antrax4]

Infini 1? Da ist man noch jung und unschuldig
Am besten solltest du dir schnellstens den Umgang mit Maple aneignen. Maple kann alles!! Maple macht alles!! (zumindest dann, wenn es ums rechnen, differenzieren, integrieren und darstellen geht)

 

[The_Company]

Macht Maple auch Grenzwertberechnung von Folgen beliebiger offener Mengen? Oder erklaeren vom Regularitaetslemma?

 

[Picard]

maple ist auch garnicht so teuer...

 

[EnimaN]

ich habe dieses semster complexe analysis gehört und bei den integralen zum residue-theorem hat maple öfters mal versagt...

 

[penissimo]

ich hasse generell jede art von professioneller mathesoftware, weil jeder prof was anderes benutzt, sie alle wollen, dass man damit umgehen kann, man aber nie damit arbeitet und die scheiße für den heim-pc viel zu teuer ist.

 

[ashToXi]

danke schonmal an alle, den einfachen weg hab ich jetzt auch verstanden!
aber bei der PI ist mir noch etwas unklar

Original geschrieben von General Mengsk
Nun hast du I = sin(x)^4 - 3*I als Gleichug stehen. Das löst man auf, indem man 3*I addiert und erhält 4*I = sin(x)^4 [/B]

bei deiner gleichung ist doch linke I ungleich dem rechten I, wie kannst du das einfach so addieren ?

 

[General Mengsk]

Ich hätte nicht das gleiche I geschrieben, wenn es ein anderes Integral wäre. Der Clou ist doch, daß wenn du die 3 rausziehst, sich wieder das Ausgangsintegral ergibt, da die Ableitung von u = sin(x)^3 eben 3*sin(x)^2*cos(x) ist und die Stammfunktion von v = cos(x) eben sin(x) ist, was multipliziert bis auf den aus dem Integral ziehbaren Vorfaktor wieder sin(x)^3*cos(x) gibt.

@CAS-Diskussion: Gerade wenn man den Stoff erstmal lernt, ist es sinnvoll das auch von Hand lösen zu können. Wenn man dann später was machen muß, kann man das benutzen, was man mag bzw. zur Verfügung steht.

 

[Family Guy]

Lol wie einfach.



Hast es dir zu kompliziert gemacht von wegen partielle Integration usw, immer locker rangehen.

 

[maziques]

lol du bist an der tu berlin. machst deine ha immer so spät?

das moses forum hatte übrigens auch lösungen ohne ende:

http://www.moses.tu-berlin.de/forum/

da hättsch auch mal ne frage:

ich weiß, daß 1/cos^2(x) die ableitung vom tangens ist.
aber wie integrier ich das? also wenn ich nicht wüsste, dass es die ableitung vom tangens ist?

int(1/cos^2(x))dx= ????? = tan(x) +C

 

[ashToXi]

Original geschrieben von maziques
lol du bist an der tu berlin. machst deine ha immer so spät?

ja bin ich!
bist du zufällig auch bei der roegner? : >
aber ich geb die hausaufgaben immer erst freitag ab, da hab ich immer schön viel zeit

 

[maziques]

ja meistens geh ich zur amitussi. die ist ganz nett.
okey wenn de erst freitag tut hast, dann gehts ja noch. ich muss heute abgeben .

najo lineare algebra hab ich nicht gepeilt diesmal

egal hf dir noch bei deinen ha. und wie gesagt, im moses forum stehen immer (fast) alle lösungen.

 

[ashToXi]

dann sehen wir uns ja in genau 2 stunden
boss.kyopo hat übrigens auch mit uns ana I

zu deiner frage mit 1/cos²(x) ... da setz ich mich in der vorlesung mal ran^^

 

[n00dl]

bronstein weiß auch das meiste gänige (auch wenns bei ner ha wohl blöd kommt einfach die lösung hinzuschreiben )

 

[ReDruM5]

ihr müsst den tan durch sin/cos ersetzen und dann integrieren

 

[maziques]

dann hab ich 1/cos^2(x) = tan^2(x)/sin^2(x). was bringt mir das?

aber ich glaube ich weiß wie, es gibt ein addiotionstheorem
cos^2(x)=(1+cos(2x))/2 .

also ist 1/cos^2(x)=2/(1+cos(2x))

das mit 2x=u substituiert ist int(1+cos^-1(u))du=

2x+ln((1+sin(2x))/cos(2x))+C= ?????? = tan(x)+c . es muss tangens sein, was ist daran jetzt falsch?

 

[EnimaN]

jo 1 / (1 + cos(u) ) ist halt nicht 1 + 1 / cos(u)

 

[maziques]

das stimmt ach scheiss mathe, ich hör auf mit studieren...

 

[ISsToRm]

das Additionstheorem ist schon richtig nur dann muss zweimal substituiert werden

1) 2x = u

2) v = tan u/2

dann ergibt sich das einfache Integral

int 1 dv

-> v -> tan u/2 -> tan x

 

[ashToXi]

heut die vorlesung war ja auch wieder voll fürn arsch ey