Mathe

[Hendr1k]

Höhere Mathe

Ermitteln sie für die Funktion

in P(0;2) die Richtung in der sich die Ableitung von f nicht ändert.

Was ist genau zu machen?

Ich hab die Ableitungen nach x und y gemacht, dann den Punkt eingesetzt und somit den Gradienten erhalten.

Aber was ist genau gesucht?

 

[EnimaN]

die frage ist doch im prinzip, in welche richtung die zweite ableitung null ist, oder? sprich du kannst z.b. die zweite ableitung berechnen (hesse-matrix) und dann hast so ne gleichung:

H(P)*x=0

wobei H(P) die Hessematrix in P ist und x der gesuchte Richtungs-Vektor

 

[Hendr1k]

aus der hessematrix erhalte ich doch jediglich ein skalar, woraus ich dann extrema ablesen kann.

ganz so richtig kann das nicht sein, weil dann müsste x=0 sein.

 

[sinusx]

*falsch*

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

gradient bilden, und nen dazu orthogonalen vektor suchen, fertig
edit:
müsste die richtung (1,2) sein

Korrektur: Hatte n Quadrat vergessen, sofern ich richtig abgeleitet habe, sollte es (1,2*ln(2)) sein^^

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Hendr1k
aus der hessematrix erhalte ich doch jediglich ein skalar, woraus ich dann extrema ablesen kann.

ganz so richtig kann das nicht sein, weil dann müsste x=0 sein.

hä?
die Hesse-Matrix in dem Punkt besteht aus vier Zahlen. Die Gleichung H*x = 0 ist damit ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (die Komponenten von x), und das gilt es zu lösen...

 

[Hendr1k]

Die Hesse Matrix

ist doch

df/dx in(x0;y0) * df/dy in(x0;y0) - d2f/dxdy in(x0;y0)

<0 Sattelpunkt ; >0 Extremum ; =0 nicht definiert.

Oder verwechsel ich hier nun was?

 

[ROOT]

Hessematrix ist (d²f / dxi dxj), i,j=1,..,n

 

[EnimaN]

was du anschaust ist die determinante der hesse-matrix - die nutzt du zur entscheidung, ob es sich um ein minimum/maximum oder sattelpunkt handelt.

 

[Aule2]

Jo, und es geht nicht um Minimum, Maximum und solche spässle, sondern um die Richtung a, in welche die Funktion sich nicht Verändert ( in dem Punkt p)

Also gesucht ist a mit D_a f(p) = 0
Netterweise gilt für tolle (C^1) Funktionen: D_a f(p) = a * grad f(p), wobei * das SKP sein soll

Also an kingcools halten

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Aule2
Jo, und es geht nicht um Minimum, Maximum und solche spässle, sondern um die Richtung a, in welche die Funktion sich nicht Verändert ( in dem Punkt p)

Also gesucht ist a mit D_a f(p) = 0
Netterweise gilt für tolle (C^1) Funktionen: D_a f(p) = a * grad f(p), wobei * das SKP sein soll

Also an kingcools halten

Falsch, es geht um die Richtung in die sich die ABLEITUNG nicht ändert (zumindest laut Ausgangspost) - also KEINESFALLS an kingcools halten.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Original geschrieben von voelkerballtier

Falsch, es geht um die Richtung in die sich die ABLEITUNG nicht ändert (zumindest laut Ausgangspost) - also KEINESFALLS an kingcools halten.

japp das ist mir nach nochmaligem lesen auch aufgefallen. Also erst
nach x und y ableiten und dann den gradienten bilden.

 

[EnimaN]

du kannst aber nicht den gradienten eines vektors bilden -.-

ich habe doch oben schon geschrieben, dass die lösung auf ein lineares gleichungssystem der hessematrix hinausläuft...

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

erstmal kann man das sehr wohl, 2. soll er erst normal ableiten, d.h. eben nicht den gradienten bilden, und danach selbigen anwenden.

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von kingcools
erstmal kann man das sehr wohl

manchmal wäre es echt toll wenn kurz die wikipedia konsultiert werden würde bevor hier wild unsinn gepostet wird:

Der Gradient ist ein mathematischer Operator, genauer ein Differentialoperator, der auf ein Skalarfeld angewandt werden kann.

Original geschrieben von kingcools

2. soll er erst normal ableiten, d.h. eben nicht den gradienten bilden, und danach selbigen anwenden.

so ganz verstehe ich nicht was du meinst, aber ich zweifle stark an der Richtigkeit. Erst die gemischte 2 fache Ableitung bilden und dann davon den Gradienten, oder wie?

 

[sinusx]

Naja, formal kann man den Nabla als Vektor betrachten und auf einen beliebigen Vektor angewandt das dyadische Produkt der beiden Vektoren bilden - nennt sich dann Vektorgradient und ergibt einen Tensor 2. Stufe (vgl. Bronstein S.673)... aber das tut hier nichts zur Sache.

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von sinusx
Naja, formal kann man den Nabla als Vektor betrachten und auf einen beliebigen Vektor angewandt das dyadische Produkt der beiden Vektoren bilden - nennt sich dann Vektorgradient und ergibt einen Tensor 2. Stufe (vgl. Bronstein S.673)... aber das tut hier nichts zur Sache.

Ah ok der Begriff Vektorgradient war mir nicht wirklich bewusst, ich kenne das nur als Jacobi-Matrix. Daher Entschuldigung für die obigen Ausführungen. Konsistenterweise ist der Vektorgradient des Gradienten einer skalaren Funktion genau die Hesse-Matrix und der Kreis schließt sich wieder und dein Hinweis tut sehr wohl zur Sache

 

[Aule2]

voller schande muss ich gestehen, dass ich mich in der tat total verslesen habe x-X