Mathe => Unterscheid zwischen Folge und Reihe

[Hendr1k]

kann mir das einer kurz und bündig erklären?
Hat das was mit Konvergenz und Divergenz zu tun?

 

[Busta_inaktiv]

Die Folge ist eine Auflistung von Zahlen: 1, 2, 3, 4
Die Reihe ist eine Summe über die Glieder einer Folge: 1+2+3+4

 

[Albstein]

Eine Folge ist eine Folge von aufeinanderfolgender Zahlen oder Elemente, während eine Reihe die Summe aus aufeinanderfolgenden Zahlen oder Elementen ist.

Eine Folge wäre z.B. 1/n und würde aus 1/1, 1/2, 1/3 ... , 1/n bestehen.
Die Reihe wäre dann SUMME[k=1,n] 1/k = 1/1 + 1/2 +1/3 +.....+ 1/n

Hieran sieht man auch, das nicht jede Reihe konvergiert, wenn die Folge der gleichen elemente dies tut. Während die Folge 1/n mit n => oo konvergiert, weil die Elemente beliebig klein werden, konvergiert die Reihe nicht.

 

[Hendr1k]

wenn eine Reihe gegen 0 geht, dann KOnvergiert sie doch auch,oder?

Dikonvergent ist die Reihe doch nur, wenn sie gegen unenedlich geht und es keinen bestimmten Grenzwert gibt,oder?

 

[Albstein]

Also man sagt "divergent" bzw. "Divergenz". Das eine unendliche Reihe gegen 0 geht kann man in meinem Beispiel nicht sagen, da es ja eine Summe ist, also jedes Glied zwar kleiner wird, insgesamt die Summe aber erhöht. Konvergenz von Reihen ist nicht direkt mit der von Folgen zu vergleichen, außerdem auch komplizierter. Generell ist "das geht gegen", was man sonst in der Schule lernt nicht so einfach übertragbar.

 

[4GT_DosX]

konvergent, divergent

Und ob Konvergenz vorliegt kann mit etlichen Kriterien getestet werden, Cauchy-,Wurzel-,Integral- sind nur einige. So einfach wie mit "sie geht gegen Null" ists nicht.

 

[Albstein]

http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)

Hier findest du ein paar Beispiele.

 

[Cleese]

Er meinte wohl Null-Folgen und wollte wohl auf das Leibnitz-Kriterium hinaus. Oder er hat keine Ahnung von der Materie.

 

[hummel]

http://www.google.de/search?hl=de&s...+Unterschied+zwischen+Folge+und+Reihe&spell=1

 

[xornado]

Wie Albstein schon sagte:

Während z.B. die Folge 1/i gegen 0 konvergiert (weil ja 1/unendlich ~ 0 ist) konvergiert die dazugehörige Reihe 1/i nicht.
Also 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +... + 1/n wird halt immer größer, diese Reihe DIVERGIERT also - sie strebt gegen unendlich.

Ein anderes wäre nun die Folge 1/n² ... hier konvergiert die Folge wieder gegen null (1/uendlich² ist wieder mal 0...), aber auch die Reihe 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +... + 1/n² konvergiert (ich glaub gegen irgendwas mal Pi)

Soll heissen: nur weil die Folge konvergiert, heissts noch lange nicht dass auch die Reihe divergieren muss.

Schlagwörter:
Konvergenz (gegen einen Wert)
Divergent (gegen +/- Unendlich)
Folge <> Reihe
Folge = Zahlen, die einer bestimmten Vorschrift folgen
Reihe = Summe der Folgenglieder

 

[SvenGlueckspilz]

Eine Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen oder auch in die komplexen Zahlen.
Meistens schreibt man das Element, das abgebildet wird unten klein als Index dran.
Also a_n = n zum Beispiel. Also n wird abgebildet auf n in diesem Fall. Die Konvergenz und Divergenz von einer Reihe ist definiert über die Partialsummen der Reihe

Man sagt eine Reihe über a_n von 0 bis unendlich (oder auch 3 bis unendlich wie man will) konvergiert wenn
die Folge der Partialsummen s_n konvergiert. Hierbei ist
s_n = Summe von 0 bis n über a_n.
Divergiert diese Folge, so heißt die Reihe divergent. Das heißt nicht automatisch, dass s_n gegen unendlich geht. Zum Beispiel kann man ja abwechselnd 1 und -1 addieren, dann springt s_n die ganze Zeit zwischen 1 und 0 hin und her und hat deshalb keinen Grenzwert, ist also divergent. Also auch die Reihe.

Also ganz wichtig: Konvergenz der Reihe ist bestimmt durch die Folge der Partialsummen.

 

[Cleese]

Ich glaube er hat es nun verstanden, es muss nicht jeder probieren sich durch seine Erklärungen zu profilieren.

 

[SvenGlueckspilz]

Das war nicht meine Absicht, aber da ich vorher nicht in einem Posting das Wort Partialsummen entdecken konnte, war ich der Ansicht, dass er es noch nicht verstanden haben kann, da das wichtigste überhaupt fehlte.

 

[Cleese]

Ich gehe mal stark davon aus, dass er wohl nicht weiß, was überhaupt eine Partialsumme ist, geschweige denn wie man solche "benutzt".

Aber im allgemeinen ist deine Aussage natürlich auch richtig, nur wohl etwas zu ausführlich.

 

[SvenGlueckspilz]

Ich hab ja auch hingeschrieben, was die Partialsumme ist. Und die Folge der Partialsummen ist einfach DAS, worum es bei Reihen geht. Die Konvergenz von Reihen ist darüber definiert und der Reihenwert ist der Grenzwert von dieser Folge. Ohne Partialsummen kann man nicht verstehen, was eine Reihe ist.
Also ich glaube nicht, das man darauf verzichten kann.

 

[Cleese]

Also als einfachste Erklärung wäre eine Beschreibung, wie sie hier gegeben wurde mir:
Summe der Folge-Glieder.

Damit sieht man sofort den Unterschied. Nicht jeder studiert hier Mathe und will eine genaue Definition sondern eher eine vereinfachte Erklärung. Da hilft es wenig mit neuen Begriffen zu hantieren, wenn anscheinend nichtmal die "alten" richtig verstanden wurden sind.

 

[SvenGlueckspilz]

Nagut einverstanden, nur wenn mir jemand sagen würde die Summe von unendlichen vielen Zahlen könnte ich mir nichts drunter vorstellen.

 

[Benrath]

die beste erklärung war die erste und die zweite auch noch, danach wurdes es profillierungsmäßig immer toller.

 

[SvenGlueckspilz]

Die beste Erklärung fürn Kindergartenkind vielleicht.
Wenn hier was Profilierung ist sind das allenfalls die Profilierungsvorwürfe. Alles andere hatte wenigstens was mit dem Thema zu tun.

 

[Benrath]

kurz und bündig ist eventuell was anderes als das was oben versucht wurde... und da man bei der frage davon ausgehen kann, dass es sic nciht um nen mathe studenten handelt haben die erklärungen 1 und 2 gereicht, 1 war halt echt für doofe , aber im grunde genau das richtige.

 

[Cleese]

Original geschrieben von Benrath
kurz und bündig ist eventuell was anderes als das was oben versucht wurde... und da man bei der frage davon ausgehen kann, dass es sic nciht um nen mathe studenten handelt haben die erklärungen 1 und 2 gereicht, 1 war halt echt für doofe , aber im grunde genau das richtige.

#2 und das sage ich als Mathestudent.

 

[SvenGlueckspilz]

Das macht es nur trauriger.
Zu dem Thema kann ich nur noch sagen:

"Alles sollte so einfach wie möglich gemacht werden, aber nicht einfacher."
(Albert Einstein)

 

[Benrath]

und damit hat einstein die erklärungen 1 und 2 gemeint...

 

[SvenGlueckspilz]

Wohl kaum, denn die sind sinnlos. Oder kannst du mir sagen was die Summe von unendlich vielen Zahlen sein soll? Und bitte ohne Partialsummen, das war ja mein Vorschlag. Wenn man drüber nachdenkt ergibt das dann einfach keinen Sinn und dann ist die scheinbar einfache Erklärung überhaupt nichts wert.

 

[Cleese]

Ich nehme unendlich viele Zahlen und addiere sie. Zack, habe ich eine Unendliche Summe.

Anschaulich, verständlich.

 

[SvenGlueckspilz]

Willst du mich verarschen? Unendlich viele Zahlen kann man nicht in einem Schritt addieren. Man kann sie nur sukzessive nacheinander addieren. Und was hat man dann? Partialsummen.

 

[Benrath]

ich oute mich , was ist einen partialsumme?


ich find mir reicht die erklärung dass wenn ich unendlich vielen zahlen addiere ne unednliche summe rauskommt..

 

[General Mengsk]

Wenn du von einer Folge (a_m) nur die ersten n Zahlen addierst, hast du eine sogenannte Partialsumme mit einem bestimmten Summenwert.
Jetzt kannst du das m erhöhen und jeweils die Werte dieser Partialsummen berechnen. Aus diesen kannst du wieder eine Folge bilden und untersuchen, ob sie konvergiert.

 

[SvenGlueckspilz]

Original geschrieben von Benrath
ich oute mich , was ist einen partialsumme?


ich find mir reicht die erklärung dass wenn ich unendlich vielen zahlen addiere ne unednliche summe rauskommt..

Ja, was der General gesagt hat.
Aber hast du nicht mal drüber nachgedacht, wie man unendlich viele Zahlen addiert? Mir fällt da nichts sinnvolles ein. Das einzige was man halt machen kann, man addiert endlich viele davon und schaut ob es sich irgendwann kaum noch ändert und gegen einen bestimmten Wert strebt. Also schauen ob die Folge der Partialsummen einen Grenzwert hat. Diesen würde man dann Reihenwert oder wenn man so will unendliche Summe ansehen. Aber man muss es auf den endlichen Fall zurückführen. Ähnlich kann man auch unendliche Produkte definieren. Da merkt man noch eher, das man nicht einfach sagen kann, dass man unendlich viele Zahlen miteinander multipliziert. Wie soll das gehen? Da muss man sich schon was einfallen lassen.
Das mag zwar erstmal einsichtig klingen, man addiert unendlich viele Zahlen, aber wenn mans dann machen will, ja wie eigentlich?
Und es hängt sogar von der Reihenfolge der Summanden ab, was rauskommt! Bei manchen unendlichen Reihen kommen verschiedene "unendliche Summen" raus, je nachdem in welcher Reihenfolge man die Summanden hinschreibt.
Zum Beispiel:

1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6- ... =S
1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+1/5+... =S/2

wobei S halt irgendne Zahl ist.

Wenn du dir anschaust welche Zahlen in beiden Reihen addiert werden, sind es aber die gleichen. Trotzdem kommt bei der ersten das doppelte raus wie bei der zweiten.
Und ich muss sagen, der Umgang mit unendlichen Reihen ist anfangs ziemlich schwierig, da steckt schon einiges dahinter und unendlich viele Zahlen addieren ist wirklich sehr stark vereinfacht.

 

[Cleese]

Original geschrieben von SvenGlueckspilz
Willst du mich verarschen? Unendlich viele Zahlen kann man nicht in einem Schritt addieren. Man kann sie nur sukzessive nacheinander addieren. Und was hat man dann? Partialsummen.

Achwas, denkste das weiß ich nicht? Aber darunter kann man sich etwas vorstellen. Jeder kann sich etwas darunter vorstellen und genau das war gefragt.
Langsam bestätigst du das Bild eines Mathestudenten. Zum Glück sind die hier nicht so wie du.

 

[Aule2]

Jeder kann sich was drunter vorstellen, nur leider ist das vollkommen nutzlos, wenn man interessantere Fälle wie zB die Summe von weit überabzählbar vielen Zahlen betrachtet..
Das Problem ist halt die Existenz...
man kann sich eine unendliche Summe nur im Existenzfall vorstellen, und dann auch (im absoluten Konvergenzfall) als Summe über alle Elemente, aber man benötigt einen Erweiterten Begriff, eben einen, der sich auf endl. Summen bezieht, um die Frage der Existenz beantworten zu können!

 

[SvenGlueckspilz]

Ich kann mir auch ne Giraffe vorstellen oder nen Elefanten, davon habe ich weit mehr, als mir was unter einer deiner Wortneuschöpfungen vorzustellen, mit der ich dann kein bisschen was anfangen kann.
Tut mir ja leid für dich, wenn deine Komilitonen alle dumm sind.

 

[Cleese]

Was hat das mit Dummheit zu tuen? Denkst du, wenn Leute es einem anschaulich und einfach erklären, dass diese dann sofort "dumm" sind? Ist ja fast so, als würdest du einen Phsyiker fragen, was der Urknall ist und er dir mit sonst was für Wörtern ankommt, die du noch nie gehört hast.
Fachchinesisch sollte für Fachleute bleiben, die anderen kriegen halt eine etwas einfachere Erklärung und sind dann auch damit befriedigt. Hast wohl noch nie Maschbauer/E-Techniker oder gar Erstis betreut?

 

[SvenGlueckspilz]

Es ist überhaupt kein bisschen anschaulich, das ist es ja gerade! Partialsummen sind viel anschaulicher, denn unter endlichen Summen kann man sich tatsächlich was vorstellen. Und ich hab nicht einfach den Begriff in den Raum geworfen, sondern ihn erklärt.
Zusammengefasst sind Erklärungen ohne Partialsummen kein bisschen anschaulich, nicht einfach und völlig nutzlos.
Die Erklärung mit Partialsummen anschaulich, mathematisch korrekt und darüberhinaus könnte man sie auch noch anwenden.

 

[Benrath]

also wenn ich s jetzt richtig verstanden hab, soll ich mir lieber mehrerer(unedlich viele) große teilsummen vorstellen als eine unendliche summe?

was soll mir das bringen?

 

[SvenGlueckspilz]

Sich eine große Summe vorzustellen ist auf jeden Fall kein Problem denke ich.
Aber wie stellt man sich eine unendliche Summe vor? Was soll denn das sein? Das gibt es doch gar nicht und ich kann mir jedenfalls überhaupt nichts drunter vorstellen. Und selbst wenn man zwei einfache Alternativen hat, warum soll man sich nicht lieber das vorstellen, was auch richtig ist?

 

[Devotika]

SvenGlueckspilz' Definition ist die exakteste, also hört auf zu meckern.

Bei der Gelegenheit möchte ich fragen: wie zum Teufel unterscheide ich in der linearen Algebra das "reguläre" Produkt vom Inneren in der Schreibweise?

Im Buch und bei Wiki wird beides stumpf mit * angegeben.
Soll ich dann etwa raten, was gemeint ist?

Ist echt ein Armutszeugnis, genau wie dieser Müll mit log vs. ln etc. Jeder schreibts anders.

 

[General Mengsk]

Klingt jetzt vielleicht blöd, aber normalerweise erkennt man aus dem Zusammenhang, was es sein muß. Ein Skalarprodukt steht nur zwischen Vektoren, ein "normales" entweder zwischen Skalaren oder es ist eine skalare Verfielfachung eines Vektors oder einer Matrix, also z.B. 5a mit a als Vektor oder Matrix.
Schreiben tut man meist nur das Skalarprodukt, während beim "normalen" der Punkt einfach weggelassen wird. Alternativ kann man auch wie beim allgemeineren Skalarprodukt, was man ja auch für Funktionen definieren kann, es mit spitzen Klammern schreiben, also für a * b nun <a,b>.

Beim Logarithmus ist eigentlich ln immer der zur Basis e, lg der zur Basis 10 und ld der zur Basis 2. Wenn man nur log schreibt, sollte man die Basis angeben. Das das nicht immer der Fall ist, ist zuweilen ärgerlich, aber kaum zu verhindern.

Übrigens, auch wenn du dich momentan darüber ärgerst, es trainiert mittelfristig auch ein wenig das abstrakte denken.

 

[uLti_inaktiv]

Wenn nur log steht, dann ist im Normalfall immer lg gemeint (zur Basis 10).

Und zu der Diskussion oben: Ich finde nicht, daß das von
SvenGlueckspilz gepostete eine Profilierung war, weil es zumindest für mich sehr interessant zu lesen war. Damit war es weniger überflüssig als vieles andere, was hier in diesem Thema steht. Und ich bin kein Mathestudent.

 

[Devotika]

Original geschrieben von General Mengsk
Schreiben tut man meist nur das Skalarprodukt, während beim "normalen" der Punkt einfach weggelassen wird.

Das reicht mir schon, wenn das im Allgemeinen so stimmt.

In einer Klausur könnte z.b. gefragt werden, was (1 5)' * (3 4)' ist.
Regulär wäre es nicht definiert, als Sklararprodukt gibt es das.

Original geschrieben von General Mengsk
Beim Logarithmus ist eigentlich ln immer der zur Basis e, lg der zur Basis 10 und ld der zur Basis 2. Wenn man nur log schreibt, sollte man die Basis angeben. Das das nicht immer der Fall ist, ist zuweilen ärgerlich, aber kaum zu verhindern.

Original geschrieben von uLti
Wenn nur log steht, dann ist im Normalfall immer lg gemeint (zur Basis 10).

Bei uns ist log meistens ln.