Mathe-Rätsel

[Brusko651]

Hoi,
nachdem hier im Forum zu wenig action ist, hab ich mir mal wieder ein erstklassiges mathematisches Rätsel ausgedacht
Mal sehn ob ihr es lösen könnt!

 

[r4id]

In der tat ein erstklassiges Rätsel...und von solcher Raffinesse, dass es auf keinen Fall deine Hausaufgaben sein könnten.

 

[SvenGlueckspilz]

Vandermonde-Determinante, gg no re ( ich vermute mal, es soll immer nur bis ^(n-1) gehen., sonst sind es n Vektoren im R^(n+1), aber dann kannst du die letzte Komponente jeweils Wegstreichen und die kürzeren Vektoren sind immer noch linear unabhängig, dann sind es auch die langen)

 

[Brusko651]

In der tat ein erstklassiges Rätsel...und von solcher Raffinesse, dass es auf keinen Fall deine Hausaufgaben sein könnten.

ja lol, hausaufgaben in den sommer ferien?

Vandermonde-Determinante, gg no re ( ich vermute mal, es soll immer nur bis ^(n-1) gehen., sonst sind es n Vektoren im R^(n+1), aber dann kannst du die letzte Komponente jeweils Wegstreichen und die kürzeren Vektoren sind immer noch linear unabhängig, dann sind es auch die langen)

fuu! war doch klar, dass irgendein franzose das rätsel schon vor mir erfunden hat.^^
well played, sir. well played.

 

[sesslor]

Wie waere deine Loesung gewesen? Auch mit der Vandermonde-Determinante?

 

[Brusko651]

Ich hätte über das bei der Polynom-Interpolation auftretende Gleichungssystem argumentiert.

Ein Polynom vom Grad n-1 ist bekanntlich durch n Stellen eindeutig gegeben.
Es gibt also genau ein Polynom vom Grad kleiner-gleich (n-1), sodass
f(a_1) = 1
f(a_2) = 2
f(a_3) = 3
......
f(a_n) = n

(wobei man statt den Werten 1,2,3,4,.... natürlich auch irgendwas andereres festlegen könnte.)
(Man kann das leicht beweisen mit Hilfe von sogenannten Lagrange-Polynomen.)


Also hat das Gleichungssystem

k_0 * 1 + k_1 * a_1 + k_2*a_1^2 + .... + k_(n-1)* a_1^(n-1) = 1
k_0 * 1 + k_1 * a_2 + k_2*a_2^2 + .... + k_(n-1)* a_2^(n-1) = 2
.....
k_0 * 1 + k_1 * a_n + k_2*a_n^2 + .... + k_(n-1)* a_n^(n-1) =n

genau eine Lösung (k_0, k_1, ...., k_(n-1))

Und bekanntlich ist ein quadratisches Gleichungssystem genau dann eindeutig lösbar, wenn die Zeilen der "Koeffizientenmatrix" (wobei mit Koeffizienten jetzt natürlich nicht die Koeffizienten des Polynoms gemeint sind, sondern eben die des linearen Gleichungssystems 1, a_1^2, a_3 etc..) linear unabhängig sind.

 

[Lurchie]

du meinst lineares Gleichungssystem?

 

[Brusko651]

ahja, jo, klar ^^

genaugenommen meinte ich ein quadratisches lineares gleichungssystem, wenn man das so nennen kann. Also eines wo gleich viele gleichungen wie variablen da sind. (und die zugehörige matrix dementsprechend quadratisch ist)