[Mathe] Oberfläche parametrisieren

[maziques]

zwei zylinder sind im dreidimensionalen gegeben:

Z_1={x^2+y^2<=1} , Z_2={x^2+z^2<=1}

diese beiden zylinder bilden eine schnittmenge. es ergibt sich folgendes:

hier noch ein link, wos nochma bisschen anders erklärt ist:

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel557/

ich soll nun die oberfläche von dieser schnittmenge berechnen.
problem: die parametrisierung.
sprich, ich soll die oberfläche mit einer funktion von 2 variablen und 3 komponenten beschreiben.
habe ich die parametrisierung, sollte das oberflächenintegral ausrechnen unproblematisch sein.

folgendes hab ich mir überlegt:

man kann diesen körper in 8 gleichgroße teile zerlegen, ich würde dann die oberfläche des teils berechnen, der auf den positiven achsen liegt. so erspare ich mir vorzeichenüberlegungen.

wenn ich jetzt beispielsweise mal ganz naiv x=u setze und einfach mal die ränder (</> wird zu =) der beiden bedingungen damit umstelle, so bekomme ich:

p(u,v)=(u;sqrt(1-u^2);sqrt(1-u^2))^T

was natürlich totaler schwachsinn ist, da ich nach v abgeleitet den 0-vektor bekomme, was wiederum schlecht fürs kreuzprodukt ist

danke für die hilfe...

edit: schön wär natürlich, wenn mir jemand eine parametrisierung in der form p(u,v)=(u;v;irgendwas)^T sagen könnte, so kann man das leicht mit einem plotter prüfen.

 

[Feos]

wäre das ganze in kugel bzw eben zylinderkoordinaten net einfacher?

und was soll bitte diese zeichnungen?

 

[EnimaN]

halbiere das doch nochmal entlang der ebene x=y.

dann ists in zylinderkoordinaten extrem einfach

 

[maziques]

Original geschrieben von EnimaN
halbiere das doch nochmal entlang der ebene x=y.

dann ists in zylinderkoordinaten extrem einfach

hm... , ehrlich gesagt bin ich mir trotzdem nich sicher, aber:

p(phi,z)=(cos(phi);sin(phi);z) , wobei 0<=z<=1 und 0<=phi<=pi/4 .

und diese oberfläche mal 16 halt dann.

sollte es wirklich so sein, kann ich mir mal wieder an den kopf fassen.

ps: die zeichnungen habe übrigens nicht ich gemacht, finde sie auch nicht unbedingt toll, aber so ist das meistens bei mehrdimensionaler analysis :/

 

[EnimaN]

was du da gerade beschreibst ist ein viertel-zylinder...

du musst noch das abschneiden bei x=y einbauen

z.B. in zylinderkoordinaten (r,phi,z):

F:={(1,phi,z) \in R^3 : 0 <= phi <= pi/2, 0 <= z <= sin(phi) }


bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob das stimmt, aber das sollte schon so ungefähr passen

 

[EnimaN]

wenn man weiter drüber nachdenkt, kann man das imo sogar ohne integration lösen:

der oben links gezeichnete ausschnitt dürfte genau der gleichen fläche entsprechen, wie ein zylinder in diesem abschnitt hätte, wenn es keine intersektion wäre.

sprich, die gesamtoberfläche entspricht die einem zylinder A = 2*pi -.-

 

[maziques]

sowas ähnliches habe ich mir eigtl. auch überlegt.

aber wenn ich deine (ich denke richtig) parametrisierte oberfläche integriere, dann bekomm ich ne 1 raus. sprich für den ganzen körper 16.

dass das pi rausfällt macht auch sinn, da das volumen ja auch kein pi enthält, wie man meinem bild sieht (das ist eine musterlösung).
beim integral fällts halt deswegen weg, da die obere grenze von z von sin(phi) abhängt.

im übrigen hatte ich in meinem post einen achtel zylinder mit höhe/radius 1 beschrieben, nur der vollständigkeit halber

leider kann ich deine parametrisierung auch nicht plotten, da mathematica keine variablen grenzen will