Mathe-Frage (Lineare Algebra)

[Ricky Spanish]

Hmm... Ich steh gerade irgendwie auf dem Schlauch. Wäre nett, wenn mir jemand bei folgendem Problem behilflich sein könnte:

Ich habe einen Vektorraum V gegeben und eine Basis B von V, mit B := {b1, b2, ..., bn}.

Jetzt bräuchte ich einen Beweis für folgendes:

Wenn ich das r-fache eines Basisvektors bi zu einem Basisvektor bj addiere, dann ist B' := {b1, b2, ..., bi, ..., bj + r*bi, ..., bn} wieder eine Basis von V.

Diese Aussage wird hier in einem Buch getätigt und ich bekomm es grade einfach nicht bewiesen...

thx
m.a.k.

 

[Dr. Picasso]

b1 ... bn sind basis bedeutet dass sie linear unabhängig sind und dass sie V aufspannen

nun sind bi und bj+r*bi immer noch linear unabhängig und spannen auch immer noch die beiden dimensionen auf für die sie vorher zuständig waren, also np

 

[Ricky Spanish]

Original geschrieben von Picasso
b1 ... bn sind basis bedeutet dass sie linear unabhängig sind und dass sie V aufspannen

jep, 100% agree

Original geschrieben von Picasso
nun sind bi und bj+r*bi immer noch linear unabhängig

joa, mein gefühl (und natürlich mein mathe-buch ^^) sagen mir das auch, aber ich bräuchte genau dafür einen beweis, und den bekomm ich aktuell nicht hin.
mag sein, dass die lösung total trivial ist, aber nach jetzt knapp 10 stunden lernen, bekomm ich das grad irgendwie nicht mehr so ganz auf die reihe...

€dit:
ok, hab nen beweis gefunden:
ich schreibe die basisvektoren zeilenweise in eine matrix. die matrix hat jetzt logischerweise vollen rang, da die vektoren linear unabhängig sind.
die oben geschilderte addition des vielfachen eines basisvektors auf einen anderen kann ich durch die multiplikation mit einer elementarmatrix beschreiben.
durch die multiplikation mit dieser matrix ändert sich aber der rang nicht, d.h. die zeilenvektoren sind auch anschließend noch linear unabhängig.

 

[ROOT]

Recht einfacher destruktiver Beweis.

Geg.: b1, ... , bn linear unabhängig.

Annahme:
bj + r*bi lin. abhängig zu b1, .. bj-1, bj+1, .. bn. (i,j aus 1,..,n, r aus IR.)

Das heißt: bj + r*bi = Summe (k=1,...,n, k != j) rk * bk (mit irgendwelchen Faktoren rk aus IR.)
=> bj + r*bi = ri * bi + Summe (k=1,...,n, k!=j, k!= i) rk*bk
=> bj = (ri-r) * bi + Summe (k=1,...,n, k!=j, k!= i) rk*bk
=> bj ist abhängig zu den bi, i != j.

Wäre also bj + r*bi linear abhängig zu den restlichen Vektoren, so auch bj. Da bj aber Basisvektor der Basis B ist, ist er linear unabhängig zu den anderen bk, k=1,...,n, k!=j.
=> Widerspruch
=> bj + r*bi muss linear unabhängig zu den anderen bk sein.
=> B' bildet Basis.

 

[Supervisor3]

sinnlos im hilbertraum

 

[Feos]

quadrupoltensor

will noch jemand was schlaues sagen?

 

[Spanzdolf]

Das is das Schwere an LA: Beweisen von Sachen, die bereits bewiesen dastehen.

Ich biete Dipolmoment.

 

[Sargon]

jap genau analysis war viel cooler D:

biete quaternions-skewfield

 

[Ancient]

ich will auch, destruktive Interferenz.

 

[Brot1]

ich frag mich wann hier mal ein mod reinschaut. das gäbe dann gelb für den ganzen fred.

 

[Busta_inaktiv]

Warum, total antimetrische Tensoren dritter Stufe sind bei LinAlg ontopic.

 

[Supervisor3]

ähh, du meinst etwa spezifische kausalalgorithmen die in reihe gehen mit der modularsequenzsynthese?

 

[Aule2]

Vektorräume sind eh für Anfänger -- lustig wird's bei Moduln

 

[Clawg]

Ich biete gleich einen abgeschlossenen Raum

 

[Aule2]

Original geschrieben von Clawg
Ich biete gleich einen abgeschlossenen Raum

ein Nicht-abgeschlossener Raum ist ja auch wesentlich schwieriger, solange man nicht mit einen Nicht-Abgeschlossenen Körper zugrunde legt

Behauptung: Ein endl. dimensionaler Raum über einen Abgeschlossenen Körper ist immer Abgeschlossen.

 

[PasswortUnsichtbar]

Aule, ich verstehe deine Antwort nicht. Bitte erklären.

 

[Warri]

ich verstehe so ziemlich keinen post hier im thraed außer brots

 

[Aule2]

Antwort 1: In Vektorräumen ist alles einfach, weil man da ne Basis hat;
(Ein Modul ist fast ein Vektorraum, nur nicht über einen Körper sondern über einen Ring, und damit gelegentlich auch ohne Basis )

Antwort 2: Ein Raum wird ja immer über einen Körper betrachtet, und wenn man nun einen abgeschlossenen Körper nimmt (wie zB |R) dann behaupte ich, dass im Falle der endlichdimensionalität der Raum ebenso abgeschlossen ist.

Würde man nun einen Nicht-Abgeschlossenen Körper nehmen ist es total einfach einen Nicht-Abgeschlossenen VR zu erhalten;

Die Herausforderung ist nun also, einen Nicht-Abgeschlossenen VR zu basteln, und dabei einen Abgeschlossenen Körper zu verwenden

Beachte:, um genau zu sein: das ich offener Raum geschrieben hab ist natürlich ziemlicher Quark, ich meine selbstredend Nicht-Abgeschlossen (das ist was völlig anderes) Da sind wohl meine Finger mit mir durchgegangen -- ich habd das mal geändert!

 

[Ancient]

Das ist jetzt übrigens ein guter Zeitpunkt um gedanklich auszusteigen.

 

[Cleese]

Oh man, ich weiß schon, wieso ich mir diesen Algebra Krams nicht näher anschauen werde...

Zum Glück muß ich das auch nichtmehr

 

[PasswortUnsichtbar]

Original geschrieben von Aule2

Antwort 2: Ein Raum wird ja immer über einen Körper betrachtet, und wenn man nun einen abgeschlossenen Körper nimmt (wie zB |R) dann behaupte ich, dass im Falle der endlichdimensionalität der Raum ebenso abgeschlossen ist.

Blöde Frage: Was ist für dich ein abgeschlossener Körper (algebraische Abgeschlossenheit schließe ich mal aus)? Meinst du Vollständigkeit? Ich steh da wohl gerade etwas auf dem Schlauch...

 

[Toadesstern]

Also mich würd mal ernsthaft intressieren, wie das ganze geschriebene hier zeitlich einzuordnen ist was hier steht. Ich meines Zeichens interessierter Mathe-LKler und mir gehts genauso wie warri, ich versteh nur Bahnhof
Jetzt die Frage zur Zeit. Ich geh mal davon aus , dass wird in der Uni vorkommen, aber wann? Semester? oder sonst irgendwie einkalkulierbar? just 4 fun die Frage :-]

 

[Ancient]

Erstes Semester.

 

[ROOT]

Original geschrieben von Toadesstern
Also mich würd mal ernsthaft intressieren, wie das ganze geschriebene hier zeitlich einzuordnen ist was hier steht. Ich meines Zeichens interessierter Mathe-LKler und mir gehts genauso wie warri, ich versteh nur Bahnhof
Jetzt die Frage zur Zeit. Ich geh mal davon aus , dass wird in der Uni vorkommen, aber wann? Semester? oder sonst irgendwie einkalkulierbar? just 4 fun die Frage :-]

Das ist lineare Algebra 1 + 2 und wird im 1ten und 2ten Semester der meisten Mathestudiengänge behandelt.

 

[Cleese]

Das, was Aule beschrieb ist zum Teil erstes Semester, wobei die Module je nach Prof. auch erst im 3ten vorkommen.

Aber ist alles halb so wild, ist ja _nur_ Mathe.

 

[Ancient]

wobei die oben gestellte aufgabe sicher erstes semester ist.

€: moduln erst im dritten semester?
kumpel hats im ersten schon gehabt.

e: moduln

 

[Mackiavelli]

alter scheisse und ich muss auch sowas machen, zum kotzen.
Braucht kein Schwein, interessiert mich nicht, blabla und im Dezember muss ich den Schein schreiben

na ja, war nett mich auszuheulen

 

[ROOT]

Erstens heißt es Moduln und zweitens kam es bei uns im zweiten.

 

[Aule2]

ganz Klassisch:

abgeschlossen: Eine Menge ist abgeschlossen, wenn eine Konvergente Folge in der Menge den Grenzwert in der Menge hat.
vollständig: CauchyFolgen konvergieren.

Ist aber in der Tat ein bischen vermischt in meinem Sinne, weil ich zur Frage der Konvergenz die Konvergenz im vervollständigten Körper betrachte...

btw: Der Modul

 

[PasswortUnsichtbar]

Okay, so ergibt das Sinn. Jetzt frag ich mich aber noch, ob diese Topologie mit der von der Metrik induzierten epsilon-Ball Topologie übereinstimmt - mal sehen wie weit ich komm

 

[Aule2]

von R mit gew Topo nach Q als Untermengen induzierte Topo ist gleich der Topo die durch die übliche Metrik erzeugt wird, weil die übliche Metrik |.| auf Q nix anderes ist als |.|: R -> R eingeschränkt auf Q

€ Um Topologisch ordentlich zu sein, sollte eigentlich überall wohl besser Vollständig gemeint sein..
Man kann zwar über den Gedanken der Untermenge sich einiges Vorstellen, aber es gibt dann eben keine passende ordentliche Topologie mehr, und das wär ja nicht im Sinne des Erfinders!

€€ Wo studierst Du diese Freuden?

 

[PasswortUnsichtbar]

Hab mein Grundstudium in Freiburg absolviert und fange im Februar einen Master in Utrecht in Holland an. Thematisch wird's dabei wohl in Richtung alg. Geometrie oder alg. Topologie gehn....

 

[2kewl4you]

Was macht man damit später? (Ist nicht böse gemeint, nur aus interesse)

 

[Warri]

Original geschrieben von 2kewl4you
Was macht man damit später? (Ist nicht böse gemeint, nur aus interesse)

Man endet wie Clawq in einem Forum in dem man von niemandem verstanden wird (ich habe auch vor mathe zu studieren )

Die Herausforderung ist nun also, einen Nicht-Abgeschlossenen VR zu basteln, und dabei einen Abgeschlossenen Körper zu verwenden

Man nimmt den Abgeschlossenen Körper drölf^unendlich mal nebeneinader übereinander usw, wo is das Problem

Spoiler

Ja ich habe keine ahnung ws er meint

 

[Ancient]

Original geschrieben von 2kewl4you
Was macht man damit später? (Ist nicht böse gemeint, nur aus interesse)

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

okay, dem Mathematiker selbst ist das egal, den interessiert die Anwendung nicht.
Aber du fragtest ja nach praktischem Nutzen.

Warum muss man denn gleich alles irgendwie immer sofort anwenden können müssen?
Als die Matrizenrechnung entwickelt wurde, wusste auch kein Mensch, dass man sie Jahre später brauchen wird, um das Verhalten von Elementarteilchen zu beschreiben.

Kein Handy, kein Auto, sogut wie nichts funktioniert ohne höhere Mathematik.

Aber warum ist Erkenntnisgewinn allein keine Rechtfertigung?
Wozu "braucht" man eine Symphonie von Beethoven? Was "macht" man damit, wo liegt die Anwendung?

€: ich weiß das deine Frage nicht ganz so gemeint war, wie ich darauf geantwortet habe, wollte das allgemein aber mal loswerden, da mir die "wozu braucht man das?" Frage so auf den Geist geht.
Als ob alles ohne unmittelbare praktische Anwendung wertlos sei...