Mandelbrot - Schmeckt und sieht gut aus, aber...

[^wnr]

Irgendwie verstehe ich die Menge nicht ganz. Wikipedia und Konsorten spucken eher nur Gibberisch aus, bei dem ich nichht ganz durchblicke. Kann mal jemand zufällig in ein paar Sätzen erklären was genau das ist und was es mit den Iterationen und den Mengengliedern auf sich hat?

Wäre nice.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

"Die Mandelbrot-Menge \Bbb M ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen z_0, z_1, z_2, \ldots mit dem Bildungsgesetz

z_{n+1} = z_n^2 + c

und dem Anfangsglied

z0 = 0

beschränkt bleibt"

was genau verstehst du jetzt nicht?

 

[^wnr]

rekursiv definierte Folge

 

[Brusko651]

rekursiv definierte Folge

das heißt dass die Folge so definiert ist, dass man jeweils aus einem folgenglied das nächste berechnen kann.
In dem Fall zum Beispiel erhältst du das nächste Folgenglied z_{n+1} indem du das vorherige Folgenglied z_n quadrierst und dann nochmal c dazurechnest.

Die ersten Glieder der FOlge wären also
0, c, c^2+c, (c^2+c)^2+c,.....
Und das geht unendlich so weiter.. (Folge halt^^)

Im Gegensatz dazu ist eine explizite Definition eine, wo man direkt irgendein Folgenglied ausrechnen kann, zB
z_n = n²
Hier kann man direkt zum Beispiel das zehnte Folgenglied z_10 ausrechnen: 10²=100.

 

[^wnr]

Ah ok, danke.

Und was hat es jetzt mit diesen Iterationen/Schritten auf sich im Bezug auf die Visualisierung?

Das Bild wird ja irgendwie immer genauer, je höher der Wert ist. Wie kommt das?

 

[Brusko651]

übrigens: kennst du überhaupt komplexe Zahlen? Weil die wären auch erstmal Grundvoraussetzung um die Mandelbrotmenge zu verstehen. Es ist immerhin eine Menge von komplexen Zahlen.

Also ich glaube das sind drei Dinge die beim Verstehen der Definition erstmal Probleme machen könnten:
*was sind komplexe Zahlen und wie rechnet man mit diesen? Und die Darstellung der komplexen Zahlen in der Ebene mit Koordinatensystem.
*Was ist eine Folge?
*Was heißt "beschränkt"?

 

[^wnr]

Die drei Fragen kann ich beantworten. Hab ich schon durch. Nur komm ich oft mit dem Zeug von Wikipedia nicht ganz klar.

 

[Brusko651]

Also das mit den Iterationen ist so:
Ein Punkt (also eine komplexe Zahl) gehört ja zur Mandelbrotmenge, wenn die Folge z_n beschränkt ist, wenn man diese Zahl als Wert c verwendet.

Wenn der Betrag von irgendeinem Folgenglied z_n jemals größer als 2 ist, dann kann man schonmal sicher sagen dass die Folge unbeschränkt ist, dann werden die Folgenglieder auch beliebig groß.
Man kann aber mit dem Computer natürlich nicht alle unendlich Folgenglieder ausrechnen, sondern nur eine endliche Anzahl. Das sind die Iterationen. Einfach, wie viele Folgenglieder der Computer für jeden einzelnen Punkt ausrechnen soll. Und wenn die Folge dann noch immer kleiner als 2 ist, dann geht der Computer einfach davon aus, dass sie auch klein bleibt und der Punkt also zur Mandelbrot Menge gehört. Der Punkt wird dann also schwarz eingefärbt auf dem Bild.
Wenn hingegen die Folge irgendwann größer als 2 wird (oder auch eine andere Grenze die man festlegen kann, zB 2,5), dann färbt der Computer den Punkt in irgendeiner anderen Farbe entsprechend der Anzahl an Iterationen wie lange es gedauert hat bis die Folge diesen Betrag überschritten hat.

Und es ist natürlich so:
wenn man mehr Iterationen ausrechnet, dann wird das Bild genauer. Weil es könnte ja sein, dass einige Punkte beim zwanzigsten Folgenglied noch nicht einen größeren Betrag als 2 liefern, nach 40 Folgengliedern aber schon. Die wären dann zB bei nur 20 Iterationen falsch eingefärbt, bei 40 aber schon richtig :]

 

[^wnr]

Also das mit den Iterationen ist so:
Ein Punkt (also eine komplexe Zahl) gehört ja zur Mandelbrotmenge, wenn die Folge z_n beschränkt ist, wenn man diese Zahl als Wert c verwendet.

Wenn der Betrag von irgendeinem Folgenglied z_n jemals größer als 2 ist, dann kann man schonmal sicher sagen dass die Folge unbeschränkt ist, dann werden die Folgenglieder auch beliebig groß.
Man kann aber mit dem Computer natürlich nicht alle unendlich Folgenglieder ausrechnen, sondern nur eine endliche Anzahl. Das sind die Iterationen. Einfach, wie viele Folgenglieder der Computer für jeden einzelnen Punkt ausrechnen soll. Und wenn die Folge dann noch immer kleiner als 2 ist, dann geht der Computer einfach davon aus, dass sie auch klein bleibt und der Punkt also zur Mandelbrot Menge gehört. Der Punkt wird dann also schwarz eingefärbt auf dem Bild.
Wenn hingegen die Folge irgendwann größer als 2 wird (oder auch eine andere Grenze die man festlegen kann, zB 2,5), dann färbt der Computer den Punkt in irgendeiner anderen Farbe entsprechend der Anzahl an Iterationen wie lange es gedauert hat bis die Folge diesen Betrag überschritten hat.

Und es ist natürlich so:
wenn man mehr Iterationen ausrechnet, dann wird das Bild genauer. Weil es könnte ja sein, dass einige Punkte beim zwanzigsten Folgenglied noch nicht einen größeren Betrag als 2 liefern, nach 40 Folgengliedern aber schon. Die wären dann zB bei nur 20 Iterationen falsch eingefärbt, bei 40 aber schon richtig :]

OK, das verstehe ich schon eher.

Nur zwei Punkte gehen mir nicht ganz ein.
1. Warum ist die Folge unbeschränkt wenn ein Glied größer als 2 wird?
2. Du sagst, er rechnet für jeden Punkt alle Folgeglieder aus. Wie gibt es für einen Punkt mehrere Glieder? (Ich glaub da hab ich grad ne Denkblockade)

Danke auf jeden Fall schonmal.

 

[Brusko651]

1. Warum ist die Folge unbeschränkt wenn ein Glied größer als 2 wird?

Gute Frage. Das ist eigentlich eh alles andere als offensichtlich. Man kann sich das aber überlegen, dass das für solche Folgen immer stimmt:

Spoiler

Wenn für irgendeine natürliche Zahl n |z_n|>2 ist und |z_n| >= |c|, dann gilt:

Es ist aber

weil |z_n| ist ja >2.

Jedes weitere Folgenglied ist also mindestens z_n-1 mal so groß wie das vorherige.
Wenn wir jetzt die Zahl z_n-1 einfach als q bezeichnen, dann kann man sich überlegen
z_{n+m} >= z_n * q^m (für jede natürliche Zahl m)
und man sieht dass diese Folgenglieder also beliebig groß werden, weil die Folge q^m ist (bekannter Weise) unbeschränkt wenn |q|>1 ist.

Jetzt kann man sich noch überlegen: Wenn |z_n|>2 ist dann ist |z_n| sowieso automatisch auch schon größergleich |c|. Weil wenn |c|>2 ist, dann ist ja bereits z_1=c vom Betrag her größer als 2 und größergleich c, und es wird ab da nur mehr immer größer und größer

2. Du sagst, er rechnet für jeden Punkt alle Folgeglieder aus. Wie gibt es für einen Punkt mehrere Glieder? (Ich glaub da hab ich grad ne Denkblockade)

Naja zu jeder komplexen Zahl c (also zu jedem Punkt auf der Zahlenebene) gibt es eine eigene Folge z_n. Und diese besteht aus unendlich vielen Folgengliedern: z_1, z_2, z_3....
Wenn diese Folge beschränkt ist, dann gehört die Zahl c zur Mandelbrotmenge und der entsprechende Punkt wird auf der Zahlenebene schwarz eingefärbt.

Ich mach mal ein paar Beispiele:

c=1
Dann ist
z_0 = 0
z_1 = 0² + 1 = 1
z_2 = 1² + 1 = 2
z_3 = 2² + 1 = 4 + 1 = 5
...
Und man sieht schon, die Folge wird beliebig groß wenn man länger so weiter macht. Also gehört die Zahl 1 nicht zur Mandelbrotmenge.

c= -1
Dann ist:
z_0 = 0
z_1 = 0² - 1 = -1
z_2 = (-1)² - 1 = 1-1 = 0
z_3 = 0² - 1 = -1
z_4 = 0
...
Man sieht schon: Die Folge ist immer abwechselnd 0 und 1. Sie ist also auf jeden Fall beschränkt (der Betrag wird ja nie größer als 1).
Und somit gehört die Zahl -1 zur Mandelbrotmenge.

c=1+i
Dazu sieht die Folge z_n so aus:
z_0 = 0
z_1 = 0² + 1+i = 1+i
z_2 = (1+i)² + 1+i = 1+3i
Und hier sieht man schon:
|z_2| = Wurzel(1²+3²) = Wurzel(1+9) = Wurzel(10) > 2.
Der Betrag von z_2 ist also bereits größer als 2 und somit kann man schonmal sicher sagen, dass 1+i nicht zur Mandelbrotmenge gehört.

Und hier ist noch ein Bild wo man sieht wo diese drei Punkte in der komplexen Zahlenebene liegen:

 

[^wnr]

Wow, danke. Jetzt versteh ich zumindest mal das Prinzip von dem ganzen Spaß. Ich nehm an die Muster ergeben sich einfach von selbst.

Gibt es einen bestimmten Grund dafür, dass das ding quasi unendlich oft doppelt vorkommt? (Also ein Stück links von dem großen "Mandelbrot" auf dem Bild ist noch eines, halt ein bisschen kleiner, das aber exakt gleich aussieht usw.)

 

[Shihatsu]

Apfelmännchen ist halt n Fraktal mit Selbstähnlichkeit, wenn du beweisen kannst was da Ursache und was Wirkung ist -> gogo Stockholm

 

[Brusko651]

jo, also warum das ding gerade so aussieht wie es aussieht, kann ich dir auch nicht sagen, das ist dann schon höhere mathematik.

@shi: hmm was ist denn in stockholm?

 

[Shihatsu]

da wird der nobelpreis verliehen, und solch fundamentale dinge (die sich dazu noch für wirtschaftliche dinge verwenden lassen) werden gerne mal mit dem nobelpreis belohnt (in dem fall wohl wegen wirtschaft -> halboffene systeme und selbstähnlichkeit).

 

[Toadesstern]

shi der alte hase hat nicht gepeillt, dass es für mathe keinen nobelpreis gibt vermute ich
@: ach damn nur den ersten post von dave gelesen, naja wenn man da wirtschaftlich rangeht und es dafür nen nobelpreis gibt natürlich machbar

 

[zoiX]

Aber es gibt einen für Wirtschaftswissenschaften, das hat er auch geschrieben...

 

[xornado]

Shi, kannst Du nochmal erklären warum die fraktale Theorie so wichtig für die Wirtschaft (speziell welcher Bereich) ist? Ich muss zugeben, dass ich das Argument nicht verstanden habe / nicht nachvollziehen kann.

Ich muss auch zugeben, dass ich mal ein Papier abgelehnt habe, das fractal brownian motion betrachtete...

 

[narc]

Apfelmännchen ist halt n Fraktal mit Selbstähnlichkeit, wenn du beweisen kannst was da Ursache und was Wirkung ist -> gogo Stockholm

Ach, was will man denn mit dem Nobelpreis? Lieber Seoul 2014 anpeilen.

 

[mfb]

Im Zweifelsfall ist es wichtig für die Mathematik, und die ist eben auch wichtig für die Wirtschaftswissenschaft - ob eine bahnbrechende, rein mathematische Arbeit über Fraktale Chancen auf den Nobelpreis hätte, ist trotzdem eher fraglich. Vielleicht helfen Bücher.
Macht aber nichts: Die Fields-Medaille ist nicht weniger beliebt, auch wenn sie in der Öffentlichkeit nicht ganz so bekannt ist .

 

[Brusko651]

jo Fields Medaille ist quasi der Nobelpreis für Mathematik.

Ist aber eigentlich sogar noch besser als ein Nobelpreis, weil Mathematik is ja auch besser als alle anderen Wissenschaften ;-)

 

[^wnr]

True.

 

[Shihatsu]

fields gibts halt für mathe an sich - nobel halt wenns praktischen nutzen hat. meine vermutung basiert darauf, das man eben noch keine regel bzw regelmässigkeit für die selbstähnlichkeit von fraktalen gefunden hat - wenn man sie fände, ließe sich das in chaorsforschung überaus gewinnbringend benutzen, da chaos- und spieltheorie hand in hand gehen bei halboffenen systemen wie zb wirtschaftskreisläufe. ist aber wie gesagt auch nur ne vermutung.

 

[ROOT]

beschäftigst du dich auch mit mathematik shi? wusst ich noch gar nicht