Linearer Unterraum: Definition aus der Vorlesung Schrott?

[Ancient]

Moin, ich habe gerade ein kleines Problem mit der Aufgabe b):

Die Definition von linearer Unterraum aus der Vorlesung lautet:

Eine nichtleere Teilmenge HcR^n heißt linearer Unterraum, wenn H Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist, d.h. es gibt reelle Zahlen a_ij, b_i für i€{1,...m}, j€{1,...,n}, sodass P=(x1,...,x_n) € H <=> A*x=b mit A€M_mn, b€R^m, x€R^n gilt.

Jetzt habe ich gesagt:
ein LGS hat ja entweder genau eine, keine, oder unendlich viele Lösungen. Wenn P Lösung ist und Q Lösung ist, mit P!=Q, gibt es also noch unendlich viele weitere Lösungen. {P,Q} ist also nicht Lösungsmenge, sondern nur Teilmenge dieser.

Andererseits: seien (a_ij, b_i) = (0,0) für alle i,j. Dann löst jedes x ein LGS, nämlich das LGS 0*x=0 und alles ist ein linearer Unterraum? :P

Wenn ich Linearer Unterraum google finde ich nur den Untervektorraum, der ist bei uns aber was anderes.

 

[Aquarius]

Was ist {P,Q}? Hab des Zeichen weder bei uns in der Vorlesung, noch beim sonst im Internet rumklicken jemals gesehen.

Studierste Mathe?

 

[Ancient]

{P,Q} ist die Menge, die die Elemente P und Q enthält.
Studiere Chemie.

 

[Dr. Picasso]

wie sollen denn zwei punkte des R^d einen unterraum bilden?
http://de.wikipedia.org/wiki/Unterraum

 

[crazyBlTCH]

Moin, ich habe gerade ein kleines Problem mit der Aufgabe b):

Wenn P Lösung ist und Q Lösung ist, mit P!=Q, gibt es also noch unendlich viele weitere Lösungen. {P,Q} ist also nicht Lösungsmenge, sondern nur Teilmenge dieser.

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zB ist P+Q auch Lösung, also ist {P,Q} nicht die gesamte Lösungsmenge.

zu deinem "andererseits" argument: du gehst hier quasi falsch vor, gesucht sind nicht x1,... zu gegebenem aij,bj, sondern zu gegebenem x1,... sind die aij und bj gesucht.

linearer unterraum und untervektorraum sind das gleiche, äquivalenz eurer definition und der üblichen definition von untervektorraum kann man zeigen, sollte vermutl auch bei wikipedia oder so stehen

 

[Ancient]

Auf einem l.U. sind Addition und Multiplikation aber doch gar nicht definiert, im Gegensatz zum UVR. Jedenfalls nicht nach der Definition im OP.

zu deinem "andererseits" argument: du gehst hier quasi falsch vor, gesucht sind nicht x1,... zu gegebenem aij,bj, sondern zu gegebenem x1,... sind die aij und bj gesucht.

Hm, habe ich nicht genau das getan? P=(x1,...) ist gegeben, ich habe a_ij und b_i gefunden (nämlich alles 0) sodass P Lösung.

 

[crazyBlTCH]

naja, die linearen unterräume sind ja mengen von vektoren, daher könnte man die "kanonischen" definitionen von addition und (skalarer !) multiplikation benutzen

und der lineare Unterraum, den man zu aij = 0, bj = 0 für alle i,j findet ist eben genau der R^n, also der gesamte raum

 

[Ancient]

naja, die linearen unterräume sind ja mengen von vektoren

Ich glaube dir gerne dass es nach einer 'besseren' Definition so ist, aber nach der Definition oben ist ein LU eine Menge von n-Tupeln. Die werden ja erst zu Vektoren, wenn man Addition und Multiplikation mit einem Skalar auf ihnen definiert. Oder übersehe ich da was?

Die zweite Zeile deines Posts ist aber sehr einleuchtend, danke.

 

[mfb]

P=(x1,...,x_n) € H <=> A*x=b

Das <=> ist hier wichtig.
Ein linearer Unterraum ("UR") ist also stets die gesamte Lösungsmenge des Gleichungssystems. Der gesamte R^n ist ein Unterraum, der zum Gleichungssystem 0*x=0 passt, aber es gibt viele weitere Unterräume.
Und nicht jede Teilmenge eines URs ist auch zwingend ein UR. Ebenso ist die Vereinigung von 2 UR im Allgemein kein UR. Der Schnitt zweier UR aber schon - man kann sicher eine spannende Aufgabe daraus machen, aus zwei gegebenen LGS das resultierende LGS anzugeben, das lediglich den Schnitt beider Lösungsmengen als Lösungsmenge hat.

Aus p,q element X (X UR) folgt auch nicht p+q element X - das erhält man nur, falls der UR ein Gleichungssystem der Form A*x=0 hat.


>> Wenn P Lösung ist und Q Lösung ist, mit P!=Q, gibt es also noch unendlich viele weitere Lösungen. {P,Q} ist also nicht Lösungsmenge, sondern nur Teilmenge dieser.

Genau das, und damit ist das auch schon fertig.


@Ancient: Zum Lösen des Gleichungssystems verwendet man schon Operationen, die im Wesentlichen dem Rechnen im Vektorraum R^n entsprechen. Ob man die Definition davon formal braucht, weiß ich nicht.