Lineare Differentialgleichung, problem

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Hi liebes Forum, hocke gerade über einer alten Klausuraufgabe die ich allerdings irgendwie nicht lösen kann auch nach längerer durchforstung des Internets.
Folgende Aufgabe:
http://service.ifam.uni-hannover.de/~kasten/Analysis2/AltLos.pdf

5b)

Versuche das gerade mit unserem Skript ( http://service.ifam.uni-hannover.de/~schrohe/ -skript analysis -> lineare Abbildungen und Banachräume -> Seite 4 und folgende) zu lösen.

exp(tA) möchte ich berechnen, da sich daraus das Fundamentalsystem ergibt und damit die Diffgleichung einfach lösbar ist(steht ja da auch, aber das wusste ich auch schon vorher).
Problem ist halt vernünftig exp(tA) zu berechnen.
Nun steht ja die "Anleitung" im Skript.

Hab also die Eigenwerte von Matrix A aus der aufgabe ausgerechnet, sind:
-2 und 5, wobei -2 eine algebraische Vielfachheit von 2 hat.
Daraus ergibt sich die Jordanschenormalform als:

[img=http://img34.imageshack.us/img34/3918/jordanoss.th.jpg]

Ist die erstmal richtig? Musste ewig suchen um rauszufinden wie breit die Blöcke denn nun sind.

So, aber danach hab ich schon wieder keine Ahnung, denn es zeigt sich, dass die Eigenvektoren immer der Nullvektor sind.
Was mach ich dann? B wäre dann Null ebenso T, aber dann funktioniert das ganze irgendwie nicht oO
Und mir ist ebenso unklar was denn nun exp(Jt) ergibt.
Ich kann das natürlich über die Reihe ausrechnen, aber für die Klausur(schreibe samstag) wärs ganz praktisch das abgekürzt zu können.

Kann mir jemand dabei helfen? Wäre seeeeeeeehr nett
Vielen Dank, bin für jede hilfe dankbar^^

 

[ROOT]

Also erstmal ist die Matrix doch schon in Jordan-Normalform, das siehst du mit einem Blick. Dementsprechend zweimal EW -2, einmal EW 5.

Wieso bekommst du keine Eigenvektoren? (Nullvektor ist btw. nie Eigenvektor).

Ker(A-5*E) = { x | x1=x2=0 }
Ker(A+2*E) = { x | x2=x3=0 }

Hast also Eigenvektoren (1,0,0) und (0,0,1).

Den Rest deiner Fragen kann ich dir nicht beantworten da ich mit

Was mach ich dann? B wäre dann Null ebenso T, aber dann funktioniert das ganze irgendwie nicht oO
Und mir ist ebenso unklar was denn nun exp(Jt) ergibt.

nichts anfangen kann :P will nicht das ganze Skript durchsehen um die Notation zu verstehen, drück dich etwas präziser aus oder vllt. reicht ja obiges auch schon

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

lol stimmt du hast recht, ist ja schon die normalform
und argh mit den vektoren hast du recht ok dann probier ich erstmal rum^^
B ist die Basis des Eigenraums. T eine Matrix mit den Basisvektoren von B als spalten.
vieeelen dank schonmal

edit:
ok ok auf Wikipedia hab ich eine sehr guten Eintrag dazu gefunden, der mein Problem löst. Gibt dazu noch eine weiter Möglichkeit das zu berechnen, die ich viel besser finde, hier der link falls es jemanden interessiert:

http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential

ich frag trotzdem mal in ner sprechstunde wie man das mit der jordanmatrix macht^^

vieeeelen dank dir!

 

[maziques]

mal abgesehen von der aufgabenstellung finde ich diesen weg endst kacke. ich würde sowas lieber mit hauptvektoren machen.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Jo finde den auch hart kotig, aber ich weiss nicht ob wir nicht in dieser Klausur was mit der Jordannormalform machen müssen :/

 

[MesH]

Irgendwie versteh ich hier die komplette Problematik nicht so ganz Was will man denn hier mit Haupt/Eigenvektoren überhaupt?!

Die Matrix ist doch schon in JNF bzgl. der kanonischen Basis, also einfach Exponentialfunktion drüber und Spalten sinds Lösungsfundamentalsystem? Das ist doch hier keine Frage des Weges, sondern ein 'einfacher' Spezialfall? Irgendwie steh ich aufm Schlauch