lin. Abhängigkeit von Funktionen

[Ronschk]

Hm eigentlich sollte das hier ein Hilfeschrei werden, aber als ich das Problem abgetippt habe bin ich.. naja hoffentlich auf die Lösung gekommen. Würde es nach vielen Stunden des Grübelns nur gerne verifiziert haben ^^

Aufgabe:

sind f(x)=cos(x), g(x)=cos (2x), h(x)=cos (3x) lin. abhängig?

Ich habe mir die Nullstellen der jeweiligen Fkt ausgerechnet.
Für f(x): x= pi/2 +k*pi
Für g(x): x= pi/4 + k*pi/2
Für h(x): x= pi/2+k*pi und x=pi/3 + k*pi

Man sieht, dass f und h bei pi/2+k*pi beide eine Nullstelle haben, also muss an dieser Stelle b*g(x)=0 sein. => b=0.

g(x) hat keine Nullstelle mit den anderen beiden.

Dann hatte ich als Matrix also noch

cosx cos3x
-sinx -3sin3x

da habe ich die Wroski Determinante gebildet und soweit ausgerechnet, dass da noch cosx (cos²x(-12*sinx+2)+sinx-3) da steht.
Sieht nicht sonderlich schön aus, aber besser bekomm ichs nicht hin. Naja jedenfalls muss man ja jetzt nur ein x Wert finden, für den die Gleichung != 0 ist. Das wäre z.B. für x=0 der Fall:

1*(1²(0+2)+0-3)=-1

folglich sind die Funktionen linear unabhängig mit a= irgndwas, b=0 und c=irgendwas.

Ist das richtig? Und wie ginge es einfache? Und: kann man sich aus der Wroski-Determinante noch die Werte für a und c ausrechnen? (muss ich ja nicht, aber wäre nett zu wissen)

 

[Brusko651]

ok, ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das richtig verstanden habe, aber ich glaube du hast mal angefangen mit der Gleichung
a*f + b*g + c*h = O,
wobei O die Nullfunktion ist.
Und um herauszufinden ob f,g,h l.a. oder l.u. sind, musst du herausfinden, ob (0,0,0) die einzige Lösung dieser Gleichung ist.

Nach deinem ersten Argument hast du also gewusst dass b=0 ist und hattest somit die Gleichung:
a*f + c * h = O

also für alle x€R:
a*f(x) + c*h(x) = 0

Jetzt könntest du ja einfach nochmal mit Nullstellen argumentieren:
pi/6 ist eine Nullstelle von h, nicht aber von f.
Also h(pi/6)=0, f(pi/6)!=0
Es gilt aber:
a*f(pi/6) + c*h(pi/6) = 0
und weil c*h(pi/6) = 0 ist und f(pi/6) ungleich 0, folgt daraus, dass a=0 sein muss.

Wir wissen also a=b=0.
übrig bleibt die Gleichung:
c*h=0
Und es ist klar, dass c 0 sein muss, weil sonst könnte c*h niemals die Nullfunktion ergeben.

also
a*f + b*h + c*g = O => a=b=c=0
Also sind f,g,h linear unabhängig.

kA ob das einfacher ist als das mit der Determinante

 

[Ronschk]

omg. natürlich -.- ja, das ist einfacher ^^