Kugel-Schitttest

[Ricky Spanish]

Bekanntlich schneiden sich ja zwei Kugeln genau dann, wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten kleiner oder gleich der Summe der Radien ist. Ich möchte diesen Sachverhalt gerne formeltechnisch beweisen.

Der erste Teil ist easy:



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Aber die andere Richtung krieg ich einfach nicht hin. Hatte überlegt, dass man vielleicht den Punkt auf der Mitte der Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten nimmt und zeigt, dass dieser in beiden Kugeln enthalten ist. Aber weiter komm ich leider nicht.

Vielleicht hat hier ja jemand ne gute Idee?

 

[voelkerballtier]

deine idee ist schon gut, nur darfst du nicht den mittelpunkt nehmen, sondern zb x = m1 + r1*(m2-m1)/|m2-m1| (das ist der punkt auf der verbindungsgeraden der auf dem rand von S1 liegt). Der ist per Definition in S1 und jetzt rechne den Abstand zu m2 aus und der Beweis ist fertig

 

[Ricky Spanish]

deine idee ist schon gut, nur darfst du nicht den mittelpunkt nehmen, sondern zb x = m1 + r1*(m2-m1)/|m2-m1| (das ist der punkt auf der verbindungsgeraden der auf dem rand von S1 liegt). Der ist per Definition in S1 und jetzt rechne den Abstand zu m2 aus und der Beweis ist fertig

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
Der Vorschlag, einen Punkt zu nehmen, der per Definition bereits in S1 liegt, ist super. Aber leider bekomm ich es trotzdem nicht hin. ;(

Ich muss ja zeigen, dass das gewählte x in S2 liegt, also |m2 - x| <= r2.
Aber wenn ich mich nicht irre, dann ist das gar nicht immer der Fall. Beispiel:



Ich hatte dann überlegt, ob es, wenn man r1 <= r2 voraussetzt (was man imho ja obda tun kannst, sonst tauscht man einfach s1 und s2) mit dem von dir vorgeschlagenen x funktioniert, aber auch mit dieser einschränkung komm ich nicht weiter.

Ich löse |m2 - x| auf und lande bei ner großen formel, für die ich die abschätzung einfach nicht zeigen kann.

Wäre wirklich super nett, wenn Du da vielleicht noch den ein oder anderen kleinen Hinweis für mich hättest.

 

[voelkerballtier]

Ich hab jetzt was, geht bestimmt eleganter, aber sollte zumindest richtig sein.
Als erstes braucht man eine Unterscheidung:
Wenn r1 >= |m2-m1|, dann liegt der MP von S2 in S1 (dein Beispiel) - trivial...
Sei im folgenden also r1 < |m2-m1|, x = m1 + r1(m2-m1)/|m2-m1|
Dann |m2 - x | = ... = | m2 - m1 | | 1 - r1/|m2-m1| |
Da r1 < |m2-m1| ist der zweite Faktor immer positiv und wir koennen den Betrag weglassen. Den ersten schaetzen wir mit r1+r1 ab, also
| m2 - x | <= ( r1 + r2 ) ( 1 - r1/|m2-m1| )
<= r1 + r2 - r1 ( r1 + r2 ) / | m2 - m1 |
da r1 + r2 <= | m2 - m1 | ist der faktor hinten >= 1, d.h. wenn wir 1 fuer den annehmen machen wir (wegen - davor) den term groesser, d.h. wir koenne weiter abschaetzen
| m2 - x | <= r1 + r2 - r1
| m2 - x | <= r2, qed.

 

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r1 + r2 >= d(m1, m2).

g ist die Strecke von m1 nach m2, x1 der Schnittpunkt von g mit S1 und x2 der Schnittpunkt von g mit S2. Falls nur ein Schnittpunkt existiert liegt ein Mittelpunkt offensichtlich im anderen Kreis. Ansonsten sei x = (x1 + x2) / 2.

Nun gilt:
d(x, m1) = (r1 - r2 + d(m1, m2)) / 2 <= r1
<=> (r1 - r2 + d(m1, m2) <= 2 * r1
<=> d(m1, m2) <= r1 + r2

d(x, m2) = (r2 - r1 + d(m1, m2)) / 2 <= r2
<=> (r2 - r1 + d(m1, m2) <= 2 * r2
<=> d(m1, m2) <= r1 + r2

 

[Ricky Spanish]

Super, vielen herzlichen Dank für die Mühe.

Damit wäre der Beweis durch