Konvergenz von komplexer Folge beweisen

[Assplode]

Meine Frage:
Ich hab Probleme folgende Aufgabe zu lösen:

Entscheiden Sie ob nachstehende Folge konvergiert und beweisen Sie dies elementar also ohne Rechenregeln für Grenzwerte.

an=3n/i+n



Meine Ideen:
Durch umformen hab ich schonmal herausgefunden, dass der Term gegen 3 sterbt. Dies muss dann durch die Grenzwertdefinition bewiesen werden:
| an - a | < epsilon

Einsetzen: | (3n/(i+n)) - 3 | < epsilon

= | (3n-3*(i+n))/(i+n) | < epsilon
= | (3n-3i+3n)/(i+n) | < epsilon
= | (-3i)/(i+n) | < epsilon
= (3i)/(i+n) < epsilon

ab hier komm ich nicht mehr weiter. Ich dachte mir man müsste das i aus dem Nenner wegkriegen und das ganze nach n umformen um so die Existienz von N_epsilon zu beweisen und so den Grenzwert weiterrechnen kann ich nicht. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

 

[Brusko651]

Erstmal, deine letzte Umformung ergibt keinen Sinn.
Der Betrag von (-3i)/(i+n) ist natürlich nicht einfach 3i/(i+n), weil der Betrag muss ja immer eine positive reelle Zahl sein, und wenn i vorkommt dann ist es schonmal keine positive reelle Zahl *g*
Den Betrag einer komplexen Zahl berechnet man über die Formel |a+ib| = Wurzel(a^2 + b^2).

edit: Dabei kann man ausnutzen, dass |z / w| = |z| / |w| ist.
in deinem Fall ergibt sich also erstmal:
|(-3i)/(i+n)| = 3/Wurzel(1+n²)

edit: und weil Wurzel(1+n²) stets größer ist als Wurzel(n²)=n, kannst du dies abschätzen mit:
3/Wurzel(1+n²) <= 3/n
Es genügt dann also, zu beweisen, dass 3/n < epsilon für ein ausreichend großes n.
Dies ist aber durch die archimedische Ordnung der reellen Zahlen gegeben.
(archimedische Ordnung bedeutet: Zu zwei Zahlen a,b mit a>0 gibt es immer eine natürliche Zahl c, sodass a*c>b)
(in dem Fall würde man a=epsilon, b=3 verwenden.)

 

[Lurchie]

Der Philosoph hat wohl schon alles gesagt.

Ich füge noch das unnütze Wissen hinzu, dass die archmedische Ordnung der reellen Zahlen nicht abgeleitet, sondern axiomatisch gefordert wird.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Der Philosoph hat wohl schon alles gesagt.

Ich füge noch das unnütze Wissen hinzu, dass die archmedische Ordnung der reellen Zahlen nicht abgeleitet, sondern axiomatisch gefordert wird.

in jeder vorlesung und jedem buch dazu wurde das immer bewiesen und war kein axiom

 

[Lurchie]

Vielleicht hättest du mal deine Mathe-Vorlesungen lieber nicht an einer Koranschule gehört.

 

[Brusko651]

Also in meiner Diskrete Mathematik Vorlesung. (was an meiner Uni einfach eine Einstiegsvorlesung ist, und auch z.B. Reelle Zahlen behandelt, obwohl die ja wohl kaum als "diskret" bezeichnet werden können) ist die archimedische Ordnung durchaus auch als Axiom gefordert worden.
Hab das gerade nochmal im Skriptum nachgelesen.

*R ist ein Oberkörper von Q.
*R ist ein angeordneter Körper.
*R ist archimedisch angeordnet.
*Jede Intervallschachtelung in R hat genau 1 Element.

Es wurde aber auch darauf hingewiesen, dass man das dritte und vierte Axiom auch z.B. durch die Supremumseigenschaft ersetzen könnte. Die Axiome wurden wegen der geometrischen Anschauung so gewählt.

edit: und die ersten beiden Axiome sind nicht unabhängig steht auch im Skriptum. Wie auch immer das zu verstehen ist. Bedeutet das, man könnte eines enfach weglassen, weil man es aus dem anderen schließen kann?

 

[mfb]

Ich füge hinzu, dass 3n/i+n = (3n/i)+n, da "Punkt", also Multiplikation (auch mit dem Inversen) vor "Strich" (Addition) kommt. Innerhalb einer Zeile kann man nunmal keine Brüche darstellen, also braucht man Klammern.

3n/(i+n) konvergiert durchaus, 3n/i+n aber nicht.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

Vielleicht hättest du mal deine Mathe-Vorlesungen lieber nicht an einer Koranschule gehört.

"Für den Körper \mathbb{R} der reellen Zahlen wird es manchmal axiomatisch eingeführt. Man kann allerdings mit den Axiomen eines geordneten Körpers und dem Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) beweisen, dass die reellen Zahlen archimedisch geordnet sind."

http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedisches_Axiom

Scheint also von der Vorlesung bzw dem Buch abzuhängen. Bei mir Escher als Vorlesung und Heuser als Buch.

 

[Lurchie]

"Für den Körper \mathbb{R} der reellen Zahlen wird es manchmal axiomatisch eingeführt. Man kann allerdings mit den Axiomen eines geordneten Körpers und dem Supremumsaxiom (Jede nach oben beschränkte Teilmenge des Körpers besitzt ein Supremum) beweisen, dass die reellen Zahlen archimedisch geordnet sind."

http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedisches_Axiom

Scheint also von der Vorlesung bzw dem Buch abzuhängen. Bei mir Escher als Vorlesung und Heuser als Buch.

Für die rationalen Zahlen Q braucht man die Archimedische Ordnung als Axiom (es lässt sich nicht herleiten).

Die reellen Zahlen R bauen auf den rationalen Zahlen und dem Vollständigkeitsaxiom (Cauchy-Axiom, Supremumsaxiom, Intervallschachtelungsaxiom, oder andere äquivalente Formulierungen) auf. Die archimedische Ordnung auf den reellen Zahlen lässt sich dann herleiten!

Somit hast du (leider) eindeutig recht, denn der Philosoph hat klar von der archimedischen Ordnung auf R gesprochen (edit: und ich auch, wie ich gerade an meinem Post lese... ich glaub ich bin dumm ). Ich hatte mich bei der Aufgabenstellung leider auf Q (bzw. Q^2) beschränkt. Da seine Aufgabe nur Q^2 benutzt, wäre es auch zulässig.

 

[Brusko651]

Papperlapapp, die rationalen Zahlen werden gar nicht axiomatisch festgelegt, sondern aus den Ganzen Zahlen konstruiert.
Und man kann die archimedische Ordnung problemlos beweisen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl#Definition

 

[vuur]

Man kann die reellen Zahlen axiomatisch definieren oder mittels Cauchy-Folgen konstruieren. Im ersten Fall ist das archimedische Axiom ein Axiom im zweiten Fall kann man es beweisen.
http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers

 

[Lurchie]

Papperlapapp, die rationalen Zahlen werden gar nicht axiomatisch festgelegt, sondern aus den Ganzen Zahlen konstruiert.
Und man kann die archimedische Ordnung problemlos beweisen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl#Definition

Wenn man beim Aufbau der Zahlen mit den natürlichen Zahlen nach den Peano-Axiomen beginnt, lässt sich die archimedische Ordnung aus dem Induktionsprinzip ableiten, vergl. Grundlagen der Analysis, Landau, Satz 115.



Was vuur da geschrieben hat macht überhaupt keinen Sinn.

 

[Assplode]

...

ich hab noch was vergessen: Geben Sie im Falle der Konvegenz gegen einen entsprechenden Grenzwert a bzw b für epsilon=10^-2 ein N(epsilon)€natürliche Zahlen an, sodass l an-a l < epsilon für alle n größergleich N(epsilon).

ist es richtig dass ich hier n so wählen muss sodass 3/n<1/100 (epsilon) ?

 

[Brusko651]

Jop, genau, dann ist es auf jeden Fall ausreichend klein.

Weil 3/n ist ja größer als |a_n - a|. Wenn das also kleiner als epsilon ist, dann ist |a_n - a| auf jeden Fall auch kleiner als epsilon.

Und wenn für ein N gilt 3/N<1/100, dann ist auch klar, dass für alle n>N auch 3/n<1/100 ist (und somit |a_n - 3|<1/100), weil 3/n wird ja immer kleiner wenn n größer wird.

edit: also, es würde genau genommen auch ausreichen, wenn du N=300 wählst, weil |a_n - 3| ist ja echt kleiner als 3/n. Aber du kannst natürlich auch ganz auf Nummer sicher gehn und N=301 wählen, sodass 3/N < 1/100. Es wird ja nicht verlangt, dass du ein möglichst kleines N wählst. Also kannst dir aussuchen ^^