Kombinatorikproblem

[Heimatloser]

Hallo, hab nochmal ne kurze Stochastikfrage, bzw ne Frage zu ner Fragestellung:

5 Gegenstände werden auf 3 Kästchen verteilt.
Berechne die WK's dass 0 Kästchen, 1 Kästchen, 2 Kästchen leer bleiben.

Nach Laplace gilt p = Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle

die möglichen Fälle sind richtig wie ich sie mir Überlegt habe:
3 Möglichkeiten für jede der fünf Kugeln => M = 3*3*3*3*3

die möglichkeiten der günstigen Fälle habe ich jedoch falsch überlegt:
dass 0 Kästchen freibleiben: 3 Möglichkeiten für die erste, 2 für die zweite, eine für die dritte Kugel, dann sind alle belegt also nochmal 3 für jede der anderen Kugeln => G_0 = 3*2*1*3*3 ( = 54 )

entsprechend 1 Kästchen frei: 3 Möglichkeiten für die erste, 2 für die zweite, dann sind 2 Kästchen voll, die restlichen drei müssen in die beiden schon befüllten haben also jeweils 2 Möglichkeiten => G_1 = 3*2*2*2*2 ( = 48)

entsprechend 2 Kästchen frei: 3 Möglichkeiten für die erste, dann jeweils nur noch 1 => G_2 = 3*1*1*1*1 ( = 3 )
---

Richtig wäre: G_0 = 150, G_1 = 90, G_2 = 3
Ich frage mich wo ich falsch überlege.
Permutationen vergessen ist unwahrscheinlich.
Irgendwo muss was krasses falsch gelaufen sein

Vielen Dank für die Hilfe
Heimatloser

 

[jimmy4TW!!!1]

Deine Vorstellungen waren echt zu sehr vereinfacht:

Als Beispiel deine Argumentation für 1 frei bleibendes Kästchen:

Original geschrieben von Heimatloser
entsprechend 1 Kästchen frei: 3 Möglichkeiten für die erste, 2 für die zweite, dann sind 2 Kästchen voll, die restlichen drei müssen in die beiden schon befüllten haben also jeweils 2 Möglichkeiten => G_1 = 3*2*2*2*2 ( = 48)

(Kugeln seien durchnummeriert von 1-5, Töpfe von A-C.)

Was du dabei nicht beachtest: sagen wir Ball 1 kommt in Kiste A. Jetzt hat Ball 2 noch drei mögliche Kisten: nämlich A, B oder C, da noch nicht raus ist, ob C oder B frei bleiben wird. Legt man Ball 2 jetzt in Kiste B, muss Ball 3 jetzt in A oder B; legt man Ball 2 aber auch in A, ist für Ball 3 noch immer alles offen etc.




Ich empfehle eine andere Strategie: bei einer Kiste leer gibt es die Möglichkeiten, dass die Bälle entweder 4+1 oder 3+2 auf die zwei anderen Kisten aufgeteilt sind.

Im Fall der 4+1 Aufteilung gibt es 5!/4! Möglichkeiten, die Bälle in zwei Gruppen (eine 4 groß und eine 1 groß) zu teilen und 3! = 6 Möglichkeiten, diese zwei Gruppen auf die drei Kisten zu verteilen und somit 5 * 6 = 30 Möglichkeiten.

Im Fall der 3+2 Aufteilung gibt es 5!/(3!*2!) = 10 Möglichkeiten, die Bälle in zwei Gruppen aufzuteilen und wieder 3! = 6 Möglichkeiten, diese auf drei kisten zu verteilen, macht also 10*6 = 60 und insgesamt 30+60= 90 Möglichkeiten.




Selbes Spiel für 0 Kisten leer: mögliche Aufteilungen auf Kisten sind 3+1+1 und 2+2+1.

3+1+1: mögliche Aufteilungen sind 5!/(3!*1!*1!) = 20, mögliche Vertauschungen von Kisten sind 3!/2! = 3.... 60 Möglichkeiten

2+2+1: mögliche Aufteilungen von Kugeln: 5!/(2!*2!*1!) = 30, mögliche Vertauschungen von Kisten wieder 3!/2! = 3.... 90 Möglichkeiten

90+60 = 150 Möglichkeiten, dass keine Kiste leer bleibt.

 

[Heimatloser]

Re: Re: Kombinatorikproblem

Original geschrieben von jimmy4TW!!!1
Deine Vorstellungen waren echt zu sehr vereinfacht:

Als Beispiel deine Argumentation für 1 frei bleibendes Kästchen:


(Kugeln seien durchnummeriert von 1-5, Töpfe von A-C.)

Was du dabei nicht beachtest: sagen wir Ball 1 kommt in Kiste A. Jetzt hat Ball 2 noch drei mögliche Kisten: nämlich A, B oder C, da noch nicht raus ist, ob C oder B frei bleiben wird. Legt man Ball 2 jetzt in Kiste B, muss Ball 3 jetzt in A oder B; legt man Ball 2 aber auch in A, ist für Ball 3 noch immer alles offen etc.

Danke erstmal.
Also auf deine Lösung bin ich auch schon gekommen, ist ja auchdie naheliegendste wenn die andere nicht stimmt^^... in der Angabe steht nichts von unterscheidbaren Kugeln oder nicht unterscheidbaren Kugeln was für die Überlegung ja auch vollkommen irrelevant ist weil meine Lösung ja auch alle Permutationen beinhaltet.

Du kannst leider mit deiner Argumentation zumindest nach meinen Verständnis meinen Lösungsweg noch nicht als falsch erklären.
Das musst du mir wohl noch genauer erklären.

Was genau ist unterschied zwischen zB deinen Multinomialkoeffizienten und meiner Lösung?

Was genau sagt mir dass meine Lösung falsch ist (ausser dass als Summe nicht 3^5 raus kommt)?

Was wären die Möglichkeiten für "in einem Fach mindestens 2 Kugeln"? Ist es das was ich ausgerechnet habe? eine beliebig, eine drauf, dann nochmal 3 beliebig? funktioniert es nur wenn sich die Menge der Möglichkeiten nicht ändert? ist das die interpretation von ohne/mit zurücklegen hier?

Falls alles stimmt reicht mir ein ja. sonst help plz

 

[Amad3us]

Kästen sind durchnummeriert von 1-3

Anzahl Möglichkeiten dass Kasten 1 leer bleibt:

Für jede Kugel gibt es 2 Möglichkeiten sie zu verteilen

--> 2^5 Möglichkeiten, dass Kasten 1 ohne Kugel ist.
--> 3*(2^5) Kombinationen die zu genau einem leeren Kasten führen.


Anzahl Möglichekeiten, dass Kasten 1 und 2 leerbleiben:

-> Alle Kugeln landen in Kasten 3 -> 1 Möglichkeit
--> 3*1 Kombinationen die zu "genau 2 Kästen sind leer" führen

Vielleicht ist da auch irgendwo ein Denkfehler drin aber ich seh ihn atm nicht

 

[jimmy4TW!!!1]

Re: Re: Re: Kombinatorikproblem

Original geschrieben von Heimatloser

Du kannst leider mit deiner Argumentation zumindest nach meinen Verständnis meinen Lösungsweg noch nicht als falsch erklären.
Das musst du mir wohl noch genauer erklären.

Wie gesagt, deine Argumentation ist nicht wirklich zu Ende gedacht.

(wieder Beispiel: 1 Kiste soll frei bleiben)

Du sagst, Kugel 1 habe 3 Möglichkeiten, dann Kugel 2 nur noch 2 - ist falsch, die zweite Kugel kann ich in jede Kiste legen (also 3 Möglichkeiten). DANN fängt der Spaß aber an, denn wieviele Möglichkeiten für Kugel 3 übrig sind, kann man pauschal nicht sagen - das hängt davon ab, ob Kugel 1 und 2 in der selben Kiste sind oder nicht! Hier müsste man eine Fallunterscheidung machen (und später dann weitere Fallunterscheidungen innerhalb von Fallunterscheidungen); hab ich schon gemacht, ist recht lästig, aber auch instruktiv. Du simplifizierst einfach zu sehr!

Und sobald du sagst, es gibt 3^5 Möglichkeiten, implizierst du damit, dass Kugeln und Kisten unterscheidbar sind - deshalb habe ich das auch als Angabe interpretiert.

Was genau sagt mir dass meine Lösung falsch ist (ausser dass als Summe nicht 3^5 raus kommt)?

Yup. Reicht das nicht?

Was wären die Möglichkeiten für "in einem Fach mindestens 2 Kugeln"? Ist es das was ich ausgerechnet habe? eine beliebig, eine drauf, dann nochmal 3 beliebig? funktioniert es nur wenn sich die Menge der Möglichkeiten nicht ändert? ist das die interpretation von ohne/mit zurücklegen hier?

Es ist unmöglich, 5 Kugeln auf 3 Kisten zu verteilen, ohne dass in mindestens einer Kiste mindestens 2 Kugeln liegen -> WK von 100%

Es müsste schon eine bestimmte Kiste damit gemeint sein, damit die Fragestellung nicht trivial ist.

 

[jimmy4TW!!!1]

Original geschrieben von Amad3us
Kästen sind durchnummeriert von 1-3

Anzahl Möglichkeiten dass Kasten 1 leer bleibt:

Für jede Kugel gibt es 2 Möglichkeiten sie zu verteilen

--> 2^5 Möglichkeiten, dass Kasten 1 ohne Kugel ist.
--> 3*(2^5) Kombinationen die zu genau einem leeren Kasten führen.

Denkfehler: 2^5 Möglichkeiten, 5 Kugeln auf 2 Kisten zu verteilen ist korrekt. Allerdings beinhaltet das auch die zwei Fälle "alle Kugeln in Kiste 1" und "alle Kugeln in Kiste 2" - diese führen aber nicht zur Vorraussetzung, dass insgesamt nur 1 Kiste frei bleibt.

Richtig wäre also: (2^5 - 2)*3 = 90