Integration durch Substitution

[Ronschk]

Eigentlich ja ne recht einfache Sache, aber je nachdem was man durch was substituiert leitet man untschiedliche Sachen ab. Da nach der Beschreibung wahrscheinlich keiner richtig ne Ahnung hat was ich meine, zwei Bsp (ob sie Sinn machen sei mal dahingestellt):

1.
1/(x²+2) subst. (x²+2)=t dt/dx=2x dt/2x=dx



2.
x²/(1-x²) subst x=sint dx/dt=cost dx=dt cost


(sorry für die schlampige Schreibweise, aber das ist so kurz, da hatte ich kein Bock irgendwelche Programme anzuschmeißen)

Also beim oberen Bsp ersetzt man etwas langes durch etwas kurzes. Beim unteren genau anders herum. Beim oberen leitet man mit dt/dx nach der Variablen ab, die in der Ausgangsgleichung steht und leitet das lange ab, bei der unteren Gleichung leitet man auch das lange ab, allerdings nach der Variablen die in der Susbtitutions-Gleichung steht.

Was ist da genau die Regel/wie lässt es sich erklären/umformen? Und wie sieht es aus, wenn man zwei lange Ausdrücke hätte (hab sowas noch nicht gesehen, aber sagen wir mal man ersetzt x²+2 durch sint

 

[narc]

Also beim oberen Bsp ersetzt man etwas langes durch etwas kurzes. Beim unteren genau anders herum.

Der Sinn der Substitution ist, dass man das bestehende Integral in ein bekanntes Integral umformt. Ob der Ausdruck dabei länger, kürzer oder whatever wird, ist dabei nebensächlich. Wie man welchen Ausdruck sinnvoll ersetzt, ist hauptsächlich Erfahrungssache.

Beim oberen leitet man mit dt/dx nach der Variablen ab, die in der Ausgangsgleichung steht und leitet das lange ab, bei der unteren Gleichung leitet man auch das lange ab, allerdings nach der Variablen die in der Susbtitutions-Gleichung steht.

Du hast ja ein Integral über x gegeben, also: Int f(x) dx. Nun erreichst du durch die Substitution, dass f nicht mehr von x, sondern von t abhängt. Es stünde also da: Int f*(t) dx. (f* weil sich die Funktion, in die man einsetzt, ja durch die Substitution verändert) Nun passt aber die Integrationsvariable (x) nicht mit der Variable, von der die Funktion abhängt zusammen (t), also muss man dx noch durch dt ausdrücken. Dazu nimmt man die Substitution her und leitet diese ab. Hat man in der Form x = g(t) substituiert, leitet man beide Seiten nach t ab und erhält: dx/dt = g'(t) und weiß damit, dass dx = g'(t) dt ist. Für die Substitution t = g(x) leitet man analog nach x ab und erhält anschließend: dx = dt / g'(x). Beide Ausdrücke kann man ins Integral einsetzen und sollte nun einen Ausdruck der Form Int f**(t) dt erhalten (wenn noch ein Term in Abhängigkeit von x stehen bleibt, z.B. g'(x), dann war die Substitution eher ungeeignet). Mach man nun eine komplizierte Substitution der Form g(x) = h(t), so muss man die Gleichung nach einer der beiden Variablen auflösen, um dann so wie oben beschrieben zu verfahren. Das Ziel ist es jedesmal die Form von dx zu bestimmen (in Abhängigkeit von dt).

 

[Ronschk]

danke:wave: ich glaube das hat mir geholfen. muss es nurnoch durch ein paar aufgaben verifizieren

 

[mfb]

Mach man nun eine komplizierte Substitution der Form g(x) = h(t), so muss man die Gleichung nach einer der beiden Variablen auflösen, um dann so wie oben beschrieben zu verfahren. Das Ziel ist es jedesmal die Form von dx zu bestimmen (in Abhängigkeit von dt).

Muss man nicht.
Man kann die linke Seite nach x ableiten und ein dx dranschreiben und die rechte Seite nach t und dt dazusetzen. Das ist mathematisch gesehen sogar sauberer als dx/dt zu bilden und dann "mit dt zu multiplizieren".

Wenn die Substitution also wie im obigen Beispiel lautet x^2 + 2 = sin(t), dann erhält man 2x*dx = cos(t)*dt und für x!=0 auch dx=cos(t)/(2x) * dt

In diesem Beispiel hat man jetzt noch ein hässliches x rumfahren - allerdings ist die Beispielgleichung nichtmal für reelle Zahlen lösbar, insofern belasse ich es mal bei der derzeitigen Form .