Hilfe bei einer Abschätzung

[FORYOUITERRA]

neues problem, noch peinlicher als das drüberstehende:

für i = 1,...,n ist
X_i(t) iid zufallsprozess
Y_i eine zufallsvariable.
d derart, dass nd^a/|ln d| gegen unendlich, d gegen 0, d^a/(n^(-a+1)) gegen 0,
a in (0,2)

A_n = sqrt(n*|ln d|)

ich will zeigen, dass P(sup_t |1/n* sum X_i(t)Y_i|/sqrt(1/n sum X_i(t)^2) <= A_n) gegen 1 konvergiert.

was ich weiß:
1.) E(X_i(t)Y_i) <= d^min(2,a+1) = o(sqrt(d^a/n))
2.) 0< M d^a < inf_t E(X_i(t)^2) <= sup_t E(X_i(t)^2) < M_2 d^a

meine überlegung war: der Zähler geht gegen E(X_i(t)Y_i) <= d^min(2,a+1)
der Nenner geht gegen E(X_i(t)^2) > M d^a
somit geht sup_t |1/n* sum X_i(t)Y_i|/sqrt(1/n sum X_i(t)^2) gegen BLA mit
BLA <= d^min(2,a+1)/sqrt(M d^a).

nun ist aber d^(2,a+1) <= sqrt(M d^a/n *|ln d|)
da die rechte seite gegen unendlich geht und die linke gegen null, somit auch
d^min(2,a+1)/sqrt(M d^a) <= A_n.

stimmt das ganze? wenn ja, warum kann ich das so machen? wie wird das normalerweise gemacht?

edit: gilt natürlich wegen slutsky's theorem. würde dennoch gerne von jemanden wissen, der bissl mehr ahnung in asymptotische statistik als ich hat, ob das ganze korrekt argumentiert ist.