Hilfe bei einer Abschätzung

[FORYOUITERRA]

ich stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch bei einer Ungleichung:

x in [-2,2]
y in ]0,0.5]
a in ]0,2[

z.Z:
||x+1/y|^a+|x-1/y|^a-2*1/(y^a)| <= CONST*|x|^2

gibt es da irgendeinen Trick für? Dreiecksungleichung reicht nicht aus: Da hab ich dann immer den summanden 2*1/(y^a) stehen, der divergiert jedoch für y gegen 0.

 

[SvenGlueckspilz]

Hmm, auf Anhieb sehe ichs nicht. Was ist das aktuelle Thema der Vorlesung bzw woher stammt die Aufgabe?

 

[Bootdiskette]

was ist hier eigentlich die frage? suchst du valide lösungstupel? ansonsten: i have no idea what you're talking about.

Spoiler

falls du probleme mit dem verständnis hast, frag heator. den fragen amerikaner immer ob er ernsthaft deutscher ist, so gut spricht der englisch.

 

[SvenGlueckspilz]

Da steht doch, was die Frage bzw eher die Aufgabe ist. Nämlich einen Beweis zuführen. Es ist zu zeigen, dass für alle x, y und a in den angegebenen Intervallen die Ungleichung gilt.

 

[Bootdiskette]

in beweisen bin ich schlecht.
sicher dass das stimmen muss?

 

[SvenGlueckspilz]

Also, ich bin sicher, dass die Aufgabenstellung so gemeint ist. Ob die Aussage wirklich richtig ist, kA. Auf Anhieb hab ich nicht gesehen, wie sich das beweise lässt, deshalb wollte ich auch wissen, was das Thema der Vorlesung war. Dann hätte ich einen Hinweis, mit welchen Beweismethoden zu arbeiten ist. Aber da der TE sich dann nicht mehr gemeldet hat, dachte ich mir, ist wohl nicht so wichtig und hab mich nicht weiter damit beschäftigt.

 

[Gelöschtes Mitglied 160054]

also ich weiß auch nichts konkretes aber irgendwie riecht |x²| <= |2x| f. x aus [-2,2] hart nach dem anfang.
Dann 2x+0 = 2x + 1/y - 1/y -> |x²|<= |x+1/y|+|x-1/y|

aber keine Ahnung, wirkt verdächtig ich denk mal drüber nach

 

[SvenGlueckspilz]

Du schätzt ja in die falsche Richtung ab. |x|^2 <= irgendwas kann nicht helfen. Du bräuchtest wenn schon eine Abschätzung der Form |x|^2 >= irgendwas.

 

[SvenGlueckspilz]

Ich vermute eher, dass das was mit Konvexität oder Monotonie oder so zu tun hat. Für a = 2 (gut das ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert, a = 2 geht aber trotzdem noch) steht auf der linken
Seite der Ungleichung einfach |x^2|, alles andere hebt sich auf. Für a=2 stimmt die Ungleichung also mit CONST = 1. Ich denke mal, die Konstante soll auch unabhängig von a sein. Aber ist hier noch nicht abzusehen, wie groß die Konstante sein muss.

Für a = 0 würde auf der linken Seite einfach 0 stehen und die Ungleichung wäre auch für Const = 1 erfüllt. Vielleicht kann man auf die a zwischen 0 und 2 mit Hilfe der beiden Fälle a = 0 und a = 2 schließen.

 

[FORYOUITERRA]

die ungleichung ist teil eines beweises. verifizieren kann ich sie durch einfaches plotten, klug beweisen jedoch nicht (klar mit zig fallunterscheidung und pipapo geht es sicher, aber ich vermute nicht, dass hier soetwas zeitintensives gemacht werden muss. es sollte also, wie sven vermutet, irgendein konvexitäts/monotonie argument geben?

die konstante ist unabhängig von a (bzw. halt groß genug, dass sie für alle a gilt, aka unwichtig.) meine plotversuche ergaben, dass const=1 auf jeden fall hinreichend groß genug ist.

 

[SvenGlueckspilz]

Ich glaub nichtmal, dass das mit den Fallunterscheidungen zum Ziel führen würde, denn wenn a nicht gerade ganzzahlig ist, kann man die Summanden wie
|x +1/y|^a gar nicht ausmultiplizieren.

Also erstmal sieht es etwas schöner aus, wenn man 1/y durch z ersetzt. Die Aussage lautet dann

Für x in [-2,2], z in (2, oo) und a in (0,2) gilt

| |x+z|^a + |x-z|^a - 2z^a | <= Const* |x|²

Eine Idee:
Vielleicht hilft es, zu unterscheiden, ob a größer oder kleiner als 1 ist, bzw gleich 1.

Die Funktion f(x) = x^a ist konvex für in [1,2] und konkav für a in [0,1].

Eine andere Idee:
Die Funktion f(a) = x^a ist monoton wachsend.


Übrigens reicht es, x in [0,2] zu betrachten, denn der Ausdruck unter dem Betrag ist eine gerade Funktion in x bei festem y (bzw z) und a.

 

[narc]

Eine Idee:
Vielleicht hilft es, zu unterscheiden, ob a größer oder kleiner als 1 ist, bzw gleich 1.

Das war mein Ansatzversuch. Für a kleiner 1, glaub ich, konnte ich dann nachrechnen, dass die Aussage stimmt, indem ich alles als Fkt von x betrachtet habe und gezeigt habe, dass diese immer (für alle a und alle z = 1/y und alle x im Intervall) kleiner oder gleich 0 ist (alles auf eine Seite bringen und für x = 0 ist die funktion 0 und sonst monoton fallend). Nur bei a größer 1 kam ich dann so nicht weiter und habe es dann aufgegeben.

 

[SvenGlueckspilz]

Hm, verstehe ich nicht ganz. Was meinst du mit "alles"? Auf der linken Seite ist ja ganz außenrum ein Betrag, das ganze kann ja dann nicht kleiner 0 werden, höchstens gleich 0.

 

[narc]

Die Betragsstriche kann man ja alle mit dem richtigen Vorzeichen weglassen, wenn man, wie du gesagt hast, x aus [0,2] annimmt. Den Rest kriege ich nun aber auch nicht mehr zusammen, was ich mir danach gedacht habe.

 

[SvenGlueckspilz]

Ich merk grad, die inneren Betragsstriche kann man sowieso ohne Fallunterscheidung weglassen
Wegen x in [-2,2] und z in [2, oo) ist x+z immer größer gleich 0, also
|x+z| = x+z und x-z ist immer kleiner gleich 0, also |x-z| = z-x
Die Ungleichung lautet dann

| (x+z)^a + (z-x)^a -2z^a | <= Const * |x|²

Dann sieht man auch, dass die Ungleichung für a = 1 stimmt, dann steht unter dem Betrag links einfach 0.

Also sind bislang die Fälle a = 0, a=1, a=2 alle erfüllt mit CONST = 1.

 

[FORYOUITERRA]

so, muss man alles mal wieder selbermachen hier in diesem saftladen.
this is how it is done:

für x = 0 gilt sie offenbar. sei also x!=0.
z.Z:
| (x+z)^a + (z-x)^a -2z^a | <= Const * |x|²

taylorapproximation ersten grades von (x+z)^a sowie (z-x)^a ergibt:

| z^a +xaz^(a-1) + z^a - xaz^(a-1) -2z^a + REST1 + REST2| = |REST1 + REST2| <= |REST1| + |REST2|

wobei:
REST1= (a^2-a)u_1^(a-2)/2 x^2 für ein u_1 zwischen z und x+z
REST2= (a^2-a)u_2^(a-2)/2 x^2 für ein u_2 zwischen z und z-x.

die ableitung (hier: (a^2-a)u^(a-2)) ist allerdings beschränkt auf [z,x+z] bzw. [z-x, z] (u^a
ist beliebig oft stetig diffbar auf den intervallen) somit existiert ein M1 sowie M2, so dass
|REST1|<= M1x^2 sowie |REST2| <= M2x^2.

insgesamt existiert also eine constante CONST, so daß
| z^a +xaz^(a-1) + z^a - xaz^(a-1) -2z^a + REST1 + REST2| <= CONST x^2.


ist doch gar nicht so schwer jungs. und dafür braucht ihr die gesamte woche??? (danke an sven, der die gleichung nochmal ordentlich ohne die beträge aufgeschrieben hat. natürlich auch danke an die anderen.

edit die tausendste: wenn doch noch nen argumentationsfehler drin sein sollte, bescheid geben bitte =(
aber ich denke nicht: der rest von einer taylorapproximation 1. ordnung bei einer 2fach stetig diffbaren funktion ist in meinem fall von der größenordnung O(x^2), für x gegen 0.
da x außerdem nur auf einem kompakten intervall definiert ist, kann man diese "asymptotische" größenordnung auch als allgemeine abschätzung nehmen, d.h. es existier ein M so dass für ALLE x in [-2,2] (und nicht nur für die hinreichend kleinen) gilt: |REST|<=M x^2 und der beweis geht auch mit der O-notation durch.)

asdf: so richtig scheint es doch noch nicht am ende zu sein. irgendein argument fehlt noch. gezeigt hab ich die ungleichung nun für ein beliebiges z. die konstanten M1 und M2 hängen jedoch natürlich auch von z ab. es fehlt also noch irgendein argument, so daß die CONST so gewählt werden kann, dass die ungleichung gleichmäßig für alle z gilt. irgendein monotonie argument vielleicht?

 

[vuur]

gilt deine Ableitung für beliebige a? Also auch für a > 2?

 

[SvenGlueckspilz]

Hmmm, die Taylorapproximation hab ich nicht nachgerechnet, aber bei der Abschätzung von REST2 sehe ich ein Problem.
z-x kann 0 sein. u_2 kann dann ziemlich nah an 0 sein und u_2^((a-2)/2)
aufgrund des negativen Exponenten sehr groß sein.
Ich sehe also nicht, warum die Ableitung wie von dir behauptet beschränkt ist auf dem Intervall [z-x, z], wenn z-x = 0. Und selbst wenn z - x nicht gleich 0 ist, so hängt die Intervallgrenze ja doch von x und z ab und somit auch die Schranke der Ableitung. Das darf ja aber nicht sein, denn die Konstante muss unabhängig von x und z sein.

Achja, den Fall a = 1 musst du sowieso extra behandeln, aber der ist ja einfach.

Ich überlege gerade an einer Lösung mit dem Mittelwertsatz, wenn ich
f(x) = (x+z)^a + (z-x)^a setze, dann ist der Ausdruck unter dem Betrag
(x+z)^a + (z-x)^a - 2z^a = f(x) - f(0) = f '(Xi) * x
Bei der Abschätzung von f '(Xi) hab ich ein ähnliches Problem wie das, was ich oben angesprochen habe.

Ist übrigens nicht so, als würde ich die ganze Zeit an der Aufgabe sitzen

 

[FORYOUITERRA]

Hmmm, die Taylorapproximation hab ich nicht nachgerechnet, aber bei der Abschätzung von REST2 sehe ich ein Problem.
z-x kann 0 sein. u_2 kann dann ziemlich nah an 0 sein und u_2^((a-2)/2)
aufgrund des negativen Exponenten sehr groß sein.
Ich sehe also nicht, warum die Ableitung wie von dir behauptet beschränkt ist auf dem Intervall [z-x, z], wenn z-x = 0. Und selbst wenn z - x nicht gleich 0 ist, so hängt die Intervallgrenze ja doch von x und z ab und somit auch die Schranke der Ableitung. Das darf ja aber nicht sein, denn die Konstante muss unabhängig von x und z sein.

Achja, den Fall a = 1 musst du sowieso extra behandeln, aber der ist ja einfach.

Ich überlege gerade an einer Lösung mit dem Mittelwertsatz, wenn ich
f(x) = (x+z)^a + (z-x)^a setze, dann ist der Ausdruck unter dem Betrag
(x+z)^a + (z-x)^a - 2z^a = f(x) - f(0) = f '(Xi) * x
Bei der Abschätzung von f '(Xi) hab ich ein ähnliches Problem wie das, was ich oben angesprochen habe.

Ist übrigens nicht so, als würde ich die ganze Zeit an der Aufgabe sitzen

- naja, rest 2 macht für ein festes z auch kein problem:
z-x >0 <=> z>x ,
hinreichend: z > max(x) = 2, welches gilt, da z in (2,oo)
somit ist 0 nie element von [z-x,z]. für rest 1 genauso.

- a=1 eh kein problem, da kürzt sich ja alles weg.

beim zweiten argument geb ich dir wie bei meinem dreitausendstem edit schon angesprochen recht: meine ungleichung ist nur für festes z gültig und bisher also nicht uniform.
da 1/x^(2-a) auch für x gegen 0 divergiert, bekomm ich sie nicht uniform.

 

[SvenGlueckspilz]

Sorry, ich hatte mich in einem obigen Beitrag verschrieben, wo ich geschrieben habe z in (2, oo). Richtig wäre gewesen z in [2, oo). Du hast ja y in ]0, 0.5] geschrieben. Dann kann z auch 2 sein. Und x kann eben auch 2 sein. Und für z = x = 2 ist 0 dann leider doch Element von diesem Intervall.

 

[FORYOUITERRA]

hm, die problemfälle sind z=2, x=-2 => z+x=0 oder x=2,z=2 => z-x=0.
in beiden fällen gilt dann die ungleichung für CONST = 2.

edit: mittelwertsatz ist äquivalent zu einer taylorapproximation 0. ordnung. bist also mehr oder weniger denselben weg am gehen wie ich

 

[SvenGlueckspilz]

Ja, ich hab ja auch das gleiche Problem

 

[FORYOUITERRA]

okay, mit taylor und co hat man glaube ich keine chance.

anderer ansatz:

für a=1 trivial

sei a>1, dann gilt (konvexität)

0<= (x+z)^a + (z-x)^a -2*z^a

und wir können schonmal auf den betrag verzichten.

für 1<a<2 ist offensichtlich (x+z)^a + (z-x)^a -2*z^a monoton fallend in z (konkavitätsargument).

es reicht also die ungleichung für z=2 zu zeigen.

meine behauptung ist, dass
(x+2)^a + (2-x)^a -2*2^a <= 2*x^2
bzw. äquivalent (x+2)^a + (2-x)^a -2*2^a - 2*x^2<=0.

definiere f(x) = (x+2)^a + (2-x)^a -2*2^a - 2*x^2, dann
gilt f'(x) = 0 genau dann, wenn x= 0. (achtung, ich kann jedoch zu dieser stunde die => richtung nicht mehr zeigen, bin mir aber ziemlich sicher. erst für a=2 hätte man die nächsten nullstellen bei x=2 und x=-2)

und es gilt f''(0)<0, also hat f(x) ein maximum an der stelle 0 mit wert f(0)=0.
f(x) ist stetig diffbar auf ]-2,2[ und für alle x in ]-2,2[ ist somit die ungleichung erfüllt.
noch zu überprüfen ist, ob es eine randlösung gibt.
dies ist nicht der fall, da f(2) = 4^a- 2*2^a - 2*4 < 0 für a <2, analog f(-2).
Also ist die Ungleichung für alle x in [-2,2] erfüllt.

für a<1 ergeben sich ähnliche argumente.

also, einzige unsicherheit ist jetzt noch das argument, warum es nur einen extremwert gibt.

was ich zeigen kann ist, dass f''(x) <0 für alle |x|<1.

 

[SvenGlueckspilz]

Da sind am Anfang zwei Fehler, aber man kann es retten:

0<= (x+z)^a + (z-x)^a -2*z^a stimmt nicht, sondern

(x+z)^a + (z-x)^a -2*z^a <= 0 wegen der Konvexität von g(t) = t^a.

Außerdem ist (x+z)^a + (z-x)^a -2*z^a wegen des Konkavitätsargumentes monoton WACHSEND in z.
Der Betrag von dem Ausdruck ist aber trotzdem monoton FALLEND.
Deine Funktion ist daher nicht ganz richtig, da du das Vorzeichen umdrehen musst.
Du musst zeigen, dass die Funktion
f(x) = - (x+2)^a - (2-x)^a + 2*2^a - 2*x^2 <= 0 ist.

Das tust du, indem du das globale Maximum auf dem Intervall suchst. Am Rand (x = 2 bzw x = -2) ist die Funktion ECHT negativ, aber f(0) = 0. Daher kann das Maximum nicht am Rand angenommen werden, sondern höchstens im Inneren. Es wird auch angenommen, wegen
stetige Funktion auf kompakten Intervall und so ^^
Notwendige Bedingung dafür ist f '(x) = 0, was nur in x = 0 eintritt. Dort muss also das globale Maximum vorliegen und das ist dann f(0) = 0. Insgesamt folgt f(x) <= 0 für alle x in [-2,2].

Ob die Argumente auf den Fall a < 1 übertragbar sind, habe ich mir noch nicht überlegt.

 

[FORYOUITERRA]

huch? für a>1 ist f(x) = |x|^a (streng) konvex.
somit haben wir:
f(z) = f( 0.5(x+z) + 0.5(z-x)) = z^a <= 0.5 (x+z)^a + 0.5 (z-x)^a
=> 0<= (x+z)^a + (z-x)^a -2*z^a

g(z) : = (x+z)^a + (z-x)^a -2*z^a
=> g'(z) = a ( (z+x)^(a-1) + (z-x)^(a-1) - 2*z^(a-1))
aber, 2>a>1 => 0<a-1<1 => |z|^(a-1) ist konkav und es gilt somit
0 >= (z+x)^(a-1) + (z-x)^(a-1) - 2*z^(a-1)
=> g'(z)<=0 monoton fallend in z.


dein weierstrass argument ist genau das was ich gesucht habe. allerdings ist mir immernoch nicht ganz so offensichtlich warum f'(x)= 0 NUR in x=0 eintritt. wenn ich das noch zeigen könnte, wäre ich fertig.

den fall für a<1 hast du nun implizit abgehandelt, weil du konkav und konvex vertauscht hast

 

[SvenGlueckspilz]

Ja ich hab in einem Anfall geistiger Umnachtung konvex und konkav vertauscht

Durch meine Vertauschung wurde das mit der Eindeutigkeit der Nullstelle auch einfacher, verdammt ^^

Ok, ich habs glaube ich:
Die besagte Ableitung, über die wir reden, ist ja f '(x) =a(x+2)^(a-1) - a(2-x)^(a-1) - 4 x.
Wir wollen zeigen, dass die nur eine Nullstelle hat. Dazu leiten wir sie nochmal ab und erhalten
a(a-1)((x+2)^(a-2) + (2-x)^(a-2)) - 4 <= a(a-1) *4^(a-2) - 4 < 0. Dabei gilt das <= Zeichen wegen der Konkavität von g(x) = x^(a-2).
Es ist also f '(x) streng monoton fallend und hat dementsprechend höchstens eine Nullstelle.

 

[FORYOUITERRA]

(2-x)^(a-2) divergiert für x gegen 2. die ungleichung hält also leider nicht.

 

[SvenGlueckspilz]

Ach man, das ist doch doof ^^
Ja, stimmt, g(x) = x^(a-2) ist auch gar nicht konkav...

 

[FORYOUITERRA]

dabei sieht die funktion eigentlich so leicht aus.
was gilt ist auf jeden fall, dass f'(x) = a(x+2)^(a-1) - a(2-x)^(a-1) - 4 x
eine ungerade funktion ist, d.h. f'(-x) = -f'(x). es reicht also aus sich auf x>0 zu konzentrieren. wenn ich die funktion plotte, so gilt f'(x)<0 für x>0. das muss man doch irgendwie auch mathematisch zeigen können =(

 

[SvenGlueckspilz]

Ok, das halbe Intervall, also [0,1] schaffe ich schonmal ^^
Sei x in [0,1]:
a(x+2)^(a-1) - a(2-x)^(a-1) - 4x = a (a-1) (y+2)^(a-2) * 2x - 4x mit y in (-x,x) nach dem MWS.
Insbesondere y in [-1,1]
und das ganze ist <= a(a-1) *2x - 4x = (a(a-1)-2) * 2x < 0.

 

[SvenGlueckspilz]

Ok, jetzt hab ich auch das restliche Teilintervall. Für x in [1,2] (und 1<a<2) gilt
(x+2)^(a-1) <= x+2 genauso wie (2-x)^(a-1) >= 2-x bzw -(2-x)^(a-1) <= -(2-x)
Daraus folgt a(x+2)^(a-1) - a(2-x)^(a-1) - 4x <= a(x+2) - a(2-x) - 4x = 2ax - 4x < 0

 

[FORYOUITERRA]

intervall [1,2] ist für mich nachvollziehbar. billige abschätzung. hatte es eben schon mit der bernoulli ungleichung probiert (für x in [0,2]), aber die gibt die falsche richtung der schranke an - funktionierte leider nicht

um sicher zu gehen nochmal die einzelnen rechenschritte:
z.Z.:
f(x) = a(x+2)^(a-1) - a(2-x)^(a-1) - 4x <0

für [1,2] und 1<a<2 folgt es, da
a(x+2)^(a-1) - a(2-x)^(a-1) - 4x <= a(x+2) - a(2-x) - 4x = 2ax - 4x < 0

Sei also nun x in ]0,1].
für x in ]0,1] ist es hinreichend (da a<2), wenn gilt: (x+2)^(a-1) - (2-x)^(a-1) < 2x bzw.
((x+2)^(a-1) - (2-x)^(a-1) )/2x < 1


Wir betrachten nun für ein 0<x<=1 auf dem Intervall [2-x,2+x] die funktion g(y) = y^(a-1)
sei a = 2-x und b = 2+x. dann existiert nach dem mittelwertsatz ein ö in [a,b] so dass
(g(b) - g(a))/(b-a) = ((x+2)^(a-1) - (2-x)^(a-1) )/2x = g'(ö) = (a-1)*ö^(a-2)
gilt. z.Z. ist also, dass g'(ö)<1 gilt.

für x in ]0,1] liegt ö in einem teilinvertall von [1,3] und es gilt
g'(ö) < ö^(a-2) = 1/ö^(2-a) <= 1

da 1<= ö^(2-a) <=> 1 <= ö,
also g'(ö) < 1 für alle ö in [2-x,2+x] und jedes x in ]0,1].

finito. da die betrachtete funktion ungerade ist, gibt es also nur genau eine nullstelle. diese nullstelle muss nach weierstrass das arg max sein.

gott, was für eine tortur das billige ding war. tausend dank an dich sven - auf die anwendung des mittelwertsatzes wäre ich wohl definitiv nicht alleine gekommen.

 

[SvenGlueckspilz]

Keine Ursache

Was ist denn das für ein Beweis, wo das drinsteht? Lernst du für eine Prüfung oder ist das Teil deiner Forschung? Weil irgendwie klang das für mich jetzt so, als hätte der Autor des Beweises diese Ungleichung einfach als mehr oder weniger triviale Tatsache angegeben und als leichte Übung :airquote: dem Leser überlassen. Aber wenns nicht einfacher geht, als wir das jetzt fabriziert haben, fänd ich das schon hart

 

[FORYOUITERRA]

den schwierigen zweiten teil hätte man sich übrigens doch sparen können, wenn man sich erinnert, dass die funktion ja konkav ist (facepalm):
wegen der konkavität ist jedes lokale maximum nämlich auch ein globales maximum. f(0) lässt sich durch foc und soc eindeutig als maximum identifizieren => auch wenn es andere lösungen geben würde, dann wären die auch maximal 0. qed.

 

[SvenGlueckspilz]

Das ist wirklich etwas kürzer

 

[FORYOUITERRA]

stimmt aber leider doch nicht. man kann leider nicht sehen, ob es konkav oder konvex ist :/
prof meinte, es wäre wirklich eine tortur.

 

[mfb]

Mit Funktionentheorie geht's einfacher :

Offenbar ist die Gleichung symmetrisch in x, es also reicht also, 0<=x<=2 zu betrachten.
Sei z=1/y, z>=2.

Zu zeigen:
||x+z|^a + |x-z|^a - 2z^a| <= CONST*|x|^2
Nun ist x+z>0, x-z<0, x>0, also koennen wir Betraege aufloesen:
|(z+x)^a + (z-x)^a - 2z^a| <= CONST*x^2

Betrachte nun f(x)=(z+x)^a + (z-x)^a - 2z^a
Da f mit |x|<z komplex differenzierbar ist, funktioniert die Taylorentwicklung um 0 bis zur ersten Polstelle (gegeben durch z=+-x), und der Konvergenzradius ist mindestens 2.
Man erhaelt f(0)=0+(az^(a-1)-az^(a-1))x + cx^2 + ... = cx^2 + ... mit irgendeinem c. Wichtig ist hier, dass der lineare Term verschwindet.
Die Funktion ist ausserdem stetig in [0,2] und daher beschraenkt (hier ist a>0 wichtig).

Beides zusammen ergibt die Existenz einer solchen Konstanten.

 

[sesslor]

Ich will ja nicht meckern, aber was ist mit den höheren Termen?

 

[SvenGlueckspilz]

Naja, man könnte das ja schreiben als x^2 ( c + höhere Terme). Wenn jetzt z ungleich 2 ist, dann wüsste man dass der hintere Teil, also c + höhere Terme stetig ist auf [0,2] und daher beschränkt. Allerdings kann z = 2 sein und dann wäre das ein Problem. Abgesehen davon ist in der Taylorentwicklung doch c abhängig von z. Dann müsste man erstmal noch zeigen, dass das durch eine von z unabhängige Konstante abgeschätzt werden kann.
Also ich bin noch nicht überzeugt.

 

[FORYOUITERRA]

Neues abschätzungsproblem:
wie gehabt:
a ist in (0,2)
n eine natürlich zahl mit n gegen unendlich.
während n gegen unendlich habe ich noch ein
d derart, dass nd^a/|ln d| gegen unendlich, d gegen 0, d^a/(n^(-a+1)) gegen 0,
c,d,g>0

ich habe folgende aussagen gegeben
|A - cd^a| <= g n^(-1/a)
|A1-A| <= blabla, wobei blabla = o(d^a)

z.Z soll daraus angeblich sein, dass eine folge b_n mit b_n ->0 existiert, so daß:
|A_1| >= (1-b_n)*cd^a,

wenn n gegen unendlich.



mein Ansatz verläuft über die Dreiecksungleichung:

|A_1| >= |A| -|A - A_1| >= cd^a - |A - cd^a| - |A - A_1| >= cd^a - g n^(-1/a) - blabla

nun steh ich gerade ein wenig auf dem schlauch:
kann ich nun einfach folgen konstruieren? klar ist, dass ich z.B. b_{n,1} auf 1/(cd^a)*g*n^(-1/a) setzen kann und somit
|A_1| >= cd^a - cd^a b_{n,1} - blabla habe.

folgt aus den bedingungen jedoch nun auch, dass es dann auch eine folge
blabla<= cd^a * b_{n,2} existiert?

dann wäre ja
|A_1| >= cd^a - cd^a*(b_{n,1}+b_{n,2}) = (1-b_n)cd^a

und ich wäre durch.

edit:natürlich folgt dass, da ja blabla/d^a gegen null geht. somit existiert aber auch ein b_{n,2} so dass blabla <= cd^a*b_{n,2}.


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