Glatte Funktion zusammensetzen

[Didier]

Liebe Community,

ich bin auf der Suche nach einer zusammengesetzten Funktion mit den folgenden Eigenschaften.

Links von der null, ist sie die Identitaet und rechts davon monoton steigend und konkav. Der Uebergang muss dabei jedoch unbedingt unendlich oft differenzierbar sein.

Nach http://de.wikipedia.org/wiki/Glatte_Funktion ist das moeglich und es ist unten ein Beispiel, allerdings leider nur fuer eine konstante Funktion.

Ich bin fuer jede Hilfe dankbar.

 

[mosl3m]

f(x) = { x falls x < 0
x² sonst



oder übersehe ich da irgendwas?

 

[jean2345]

Ja leider, in 0 ist deine Funktion nicht differenzierbar. Linksseitiger Grenzwert ist 1, Rechtsseitiger 0.
@ Te: Ich vermute du meinst streng konkav, bzw. ist sowieso so definiert? War x^2 konkav oder ln (auf R+)? Kann ich mir nie merken.

 

[Didier]

Ja Du hast natuerlich Recht, streng konkav brauche ich, sonst koennte ich rechts von der Null ja auch einfach die Identitaet nehmen. ^^

Allerdings ist mir diese Kondition nicht im engsten Sinne wichtig. Nahe der Null koennte ich auch durchaus mit konkavem oder so konvexen Verhalten leben, solange sie spaeter gegen +inf streng konkav wird.

Konkav und konvex verwechsel ich auch immer. Ln ist konkav und ein aehnliches Aussehen wie ln wuerde ich mir sogar sehr wuenschen.

Wenn ihr irgendein anderes Beispiel zum zusammensetzen von Funktionen kennt, wuerde ich mich darueber aber natuerlich auch sehr freuen.

 

[jean2345]

Links von Null f(x) =x, rechts f(x)= ln(x+1)? Da ln'(x)=1/x, ist ln'(0+1)=1/1 =1, also müsste passen. Und sieht auch sehr logarithmisch aus .
Achja, ln(0+1)=0 stimmt Gottseidank auch.

 

[General Mengsk]

Das ist aber nicht glatt, in der zweiten Ableitung ist nen Sprung, das siehst du auch sofort, wenn du dir den Graphen der ersten Ableitung anguckst.

Für die Glattheit brauchst du schon sowas, wie exp(-1/x^2) in dem Wikipedia-Bsp, also was regelrecht auf 0 "einschwenkt". Das Problem ist, daß du hier links die Identität hast, also wie wäre es denn mal etwas in der Art zu basteln?
x<0 x
x>0 -exp(-1/x^2)+x

Die 1. Ableitung wird stetig, dafür sorgt das +x hinten. Ab der 2. Ableitung hast du dann praktisch dein Wikipedia-Beispiel. Bei konkav/konvex bin ich allerdings nicht so bewandert, nach ln-Verlauf sieht das auch nicht mehr aus, weil der exp-Term gegen 1 geht.

Edit: Zwar kein Beweis, aber ein Hoffnungsschimmer: Konkav heißt ja anschaulich, daß die Kurve zwischen zwei Punkten unter der Sekante liegen muß. Prüfen kann man das hier einfach über eine Gerade, von der man diese Funktion abzieht. Die Fläche müsste dann stets zunehme und das ist zumindest bei einer Beispielrechnung gerade gelungen.

 

[jean2345]

Ok, war wohl nicht so schlau nur die erste Ableitung zu checken. Naja, nächstes mal.

 

[Didier]

Vielen Dank Mengsk, die Idee ist sehr gut. Leider kehrt Deine Funktion asymptotisch ja aber wieder zur Identitaet zurueck, auch wenn sie konkav ist... wichtiger als theoretische Konkavitaet ist mir aber, dass die Funktion irgendwann aufhoert zu wachsen, oder zumindest nicht mehr alzu schnell waechst, maximal so schnell wie der Logarithmus.

Dir folgend, bin ich auf die folgende Funktion gekommen:

x - (x-a)*exp(-1/(x^(2));

Damit kann ich sie wenigstens gegen den Grenzert a streben lassen, was mir gut gefaellt... etwas stoerend ist nur, dass sie dazwischen kurz konvex und dann sogar kurz fallend ist. Vorerst kann ich damit leben, wenn jemand noch was besseres einfaellt, waere ich aber sehr dankbar.