Funktionssuche

[Benrath]

Ich suche ne möglichst einfache Funktion die stetig und differentierbar ist und folgender Funktion recht ähnlich ist.

(c-x)^2

Daher sie hat ihr Minimum bei x=c, wobei c irgendne postive Zahl ist. Mir wäre aber lieber dass sie nicht symetrisch ist und daher die Steiung bei x>c kleiner ist als bei x<c.

Fällt da wem was ein.

 

[ReVenger!]

naja in welchen bereich soll die denn vergleichbar sein.
das schnellste was ich mir denken kann wäre einfach (c-x)^2-0.01*(c+0.001-x)^4

*edit: und ich denke mal du meinst den Betrag der Steigung [/klugscheiß]

 

[Benrath]

Jo im Betrag. Das mit dem Bereich ist jetzt glaub ich nicht so wichtig, Nahe um c herum.

Ist dein Beispiel nicht auch symetrisch?

ich könnte eher was mit nem ^3 term probieren, dass wäre tatsächlich eher etwas woran ich dachte. Danke für den Denkanstoss

Also (c - x)^2 - 0.01*(c + 0.005 - x)^3

 

[ReVenger!]

ne symmetrisch ist es nicht da die nullstellen unterschiedlich sind. du hast in meinen Beispiel halt zwei Minima. Aber es gehen auch Geraden oder jede Sorte von Polynom auf jeden Fall.

 

[ipskab]

tylern und irgendwo abbrechen und mit den koeffizienten spielen?

Spoiler

[sry, falls es blödsinn is]

 

[Brusko651]

(c-x)^2-0.01*(c+0.001-x)^4

(c - x)^2 - 0.01*(c + 0.005 - x)^3

Bei den beiden Funktionen ist halt das Minimum nicht mehr bei c, sondern ein bisschen daneben.

Um f(c)= 0 und f'(c)=0 und am Besten auch noch f''(c) = 2 zu erhalten, könnte man irgendetwas von der Form (x-c)^2 + O((x-c)^3) nehmen.

etwa (x-c)^2 + 1/3 (x-c)^3 + 1/12 (x-c) ^4
oder wenn sie rechts ordentlich viel schneller ansteigen soll als links:
2*e^(x-c) - 2*(1+x-c)
oder
e^(sqrt(2) * (x-c)) - ( 1 + sqrt(2) (x-c) )

edit: hab die Funktionen natürlich genau verkehrt gemacht, also, den Betrag der Steigung bei x>c groeßer gemacht. Man muesste also überall (x-c) durch (c-x) ersetzen.

 

[Benrath]

Ich muss mal gucken ich befürchte dass das aber alles schon viel zu kompliziert ist um noch lösbar zu sein.

Wills in nem Spieltheoretischen Modell verwenden und sobald ich nen zusätzlichen Part mit ^3 reinhauen scheint es nicht mehr lösbar zu sein, also zumindest nicht für mathematica.

Um erhlich zu sein will ich nicht enauer erläutern warum ich das brauche, weil ich dann ausgelacht werde wie banal ökonomie doch sei

 

[ReVenger!]

Es wären halt trotzdem noch ein paar genauere Angaben gut. Letztendlich kannste die Funktion beliebig modulieren und bekommst etwa das was du haben willst. Vor allem was soll damit dann gerechnet werden.

 

[xornado]

wenn Du eine quadratische funktion willst, kannst du natürlich nur folgende bedingungen erfüllen (gegeben du willst 'links' und 'rechts' von deinem minimum 'c' unterschiedliche anstiege)

f1 = a1 + b1(x-c) + c1(x-c)²
f2 = a2 + b2(x-c) + c2(x-c)²

wenn x=c muss gelten f1=f2, also a1=a2
wenn x=c soll auch gelten f1' = f2' , also b1=b2.
Spielen kannst du also nur noch an c1 und c2, und C2-Kontinuität erhältst du so auch nicht. (außer im trivialen fall c1=c2...)

Konnte das helfen?

 

[Benrath]

Du meinst also zwei unterschiedliche Funktionen für die Fälle link und rechts von Minimum? Das ist eben nciht was ich will. Sonst sind deine Vorschläge ebenso symetrisch ums Minimum.

Naja versuchen wirs mal banal. Ich will was Minimieren nennen wir es Kosten

Ich hab ne quasikonkave Funktion die von meinem x abhängt C_i(x_i) und ne konvexe funktionen D_i(X) die von der Summe der x abhängt also sum(x_i)=X. , was wir als klassisches Public Good Problem bezeichenn würden. Ich würde gerne noch was dazu tun, das von mir vorgeschrieben von der Verteilung der x im Verhältnis zum X abhängt und der Anzahl "Spieler" z.b. würde das so aussehen

min über x_i := C_i(x_i)+D_i(X)+F(X,n,x_i) for all i=1,...,n

Dieses F(X,n,x_i) ginge z.b. so
F(X,n,x_i)=(x_i-1/n*X)^2
oder
F(X,n,x_i)=(x_i/X-1/n)^2

oberes lässt sich "leichter" lösen als unteres, wenn ich für C_i und D_i funktionale Formen vorgebe.

Blöd an F(X,n,x_i) so wies jetzt ist, dass das halt symetrisch ist, und man annehmen würde dass ich es weniger schlimm finde mehr als 1/n*X zu haben als weniger, daher will ich gerne was asymetrisches in möglichst simpler formaler Form, weil ich die Minimeriung von oben nicht analytisch lösen kann.

 

[FORYOUITERRA]

Ich muss mal gucken ich befürchte dass das aber alles schon viel zu kompliziert ist um noch lösbar zu sein.

Wills in nem Spieltheoretischen Modell verwenden und sobald ich nen zusätzlichen Part mit ^3 reinhauen scheint es nicht mehr lösbar zu sein, also zumindest nicht für mathematica.

Um erhlich zu sein will ich nicht enauer erläutern warum ich das brauche, weil ich dann ausgelacht werde wie banal ökonomie doch sei

bruskos ansatz sieht doch gut aus? einfach mal versuchen die potenzreihe von der e-funktion nach dem zweiten term abzubrechen und schauen was rauskommt...allerdings wirst du es nicht schaffen eine quadratische funktion unsymmetrisch zu machen: die sind nämlich alle achsensymmetrisch zu einer parallele zur y-achse.
also wäre hier der logische ansatz eine komplexere, nicht um den punkt c symmetrische funktion anzunehmen und den für dich interessanten epsilon-ball um c herum durch ein taylorapproximation 2. grades zu approximieren. bringt dir aber auch nichts, sobald du irgendwas um einen punkt c herum von der form b(x-c)^2 sind, dann bleibt die steigung symmetrisch um c (2. ableitung!), da kannst du tuen was du willst. terme 2. ordnung reichen nicht, für das was ich denke, daß du vorhast tuen zu wollen.

funktionen von dieser form hier sollte recht gut gehen:

edit: in so nem wirtschaftlichen zusammenhang: brauchen die funktionen separat gesehen überhaupt irgendwelche minimas/maximas? einfach für die kostenfunktion wurzel(x) funktion nehmen etc..besitzt dein minimierungsproblem überhaupt eine lösung?

 

[Benrath]

So wie ichs formuliert habe und mit ner quadratischen funkion sowohl für C_i als auch D_i
und dem Beispiel für F_i, gibt es eine Lösung ja. Aber wenn ich F_i komplizierter mache, nicht mehr.

Also für dich auch gerne genauer.

min x_i:
(c-x_i)^2+(X)^2+(x_i-1/n*X)^2

hat ne Lösung in mathematica für n=3 oder 4 z.B. was schöneres analytisches für unbestimmtes n hab ich nicht.

 

[FORYOUITERRA]

k, dachte eine der funktionen wäre wie von dir geschrieben quasikonkav, aber hier sind sie alle konvex also quasikonvex. in deinem beispiel kannst du einfach noch ableiten (X=sum x_i, wenn ich es richtig in erinnerung hab) und die foc finden. vielleicht kannst du da sehen, ob du irgendwas abändern könntest.

 

[Benrath]

Also die erste ist doch quasikonkav oder? (c-x_i)^2
Jo ich find die FOCs, aber gibt nicht immer ne Lösung z.b. finde ich keine wenn ich
(x_i/X-1/n)^2 statt (x_i-1/n*X)^2

 

[FORYOUITERRA]

warum sollte (c-x_i)^2 quasikonkav sein? für alle a >=0 ist die menge x_i für die (c-x_i)^2 <=a gilt ganz offensichtlich konvex. das folgt unmittelbar auch daraus, dass (c-x)^2 ganz offensichtlich eine strikt konvexe funktion funktion (2. ableitung!) ist.

bei der anderen funktion:
vielleicht startet mathematica mit x_i=0 für alle i und findet daher keine lösung beim optimieren oder gibt das teil analytische lösungen raus?

(x_i/X-1/n)^2 hat auf jeden fall auch für x_i>0 eine lösung. allerdings ist die lösungsmenge unendlich groß: genauer: x_i=k für alle i ist für jede konstante k>0 eine lösung.
denke, wenn man noch die anderen funktionstherme draufsteckt, dann gibt das tatsächlich probleme beim minimieren.

edit: schonmal probiert nur nach symmetrischen lösungen zu suchen? 8[

 

[Benrath]

Also ich löse es bei Mathematica schon per "Hand", weil ichs mit direktem Minimieren nicht hinkriegen, weiß Gott wieso.

Daher ich bilde die Focs und nutze dann den Solver. und klar ich verwende analytische Lösungen also die Funktionen haben noch paar Parameter damit sich die einzelnen Spieler unterscheiden, hab jetzt die Parameter weggelassen, weils nichts beiträgt.

Ich bin auch davon ausgegangen, dass es ne Lösunge hat, aber scheinbar leider keine unique Lösung.

 

[mfb]

Was habt ihr gegen den einfachen ^3-Terrm?

(x-c)^2 + eps*(x-c)^3
Hat das Minimum weiterhin bei x=c, hat dort sogar die gleiche erste und zweite Ableitung, ist aber nicht mehr symmetrisch.

Für x-c > 1/eps wird es natürlich stark von der Parabel abweichen, aber das lässt sich durch hinreichend kleine eps auch lösen.