Die Ableitung f'(x) gibt ja immer an, wie stark die Funktion f an der Stelle x steigt bzw fällt. Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich der Ort ändert, ist also die Ableitung des Ortes (nach der Zeitvariablen). Die Beschleunigung gibt an, wie stark sich die Geschwindigkeit ändert, ist also die Ableitung der Geschwindigkeit und damit die zweite Ableitung des Ortes.
Beispiel:
Normalerweise braucht man ja drei Koordinaten für den Ort, aber wir stellen uns jetzt der Einfachheit halber eine eindimensionale Bewegung vor mit nur einer Ortskoordinate. Also wir haben ein Auto und das befindet sich zur Zeit t an der Stelle x(t), x(t) ist die Ortskoordinate zur Zeit t, der Ort ist also eine Funktion der Zeitvariablen. Wir sagen jetzt mal, das Auto startet am Ort x(0) = 0 mit der Geschwindigkeit x'(0) = 0 (wie gesagt, Geschwindigkeit ist die Ableitung des Ortes). Es habe konstante Beschleunigung von
1 m/s². Das heißt die zweite Ableitung ist konstant: x''(t) = 1 m/s² für alle t.
Um die Geschwindigkeit rauszubekommen, müssen diejenige Stammfunktion bilden, die x'(0) = 0 erfüllt. Wenn x''(t) = 1 m/s², ist x'(t) = t m/s² + const, da x'(0) = 0, muss const = 0 sein. Also x'(t) = t m/s². Bedenke die Einheit: Wenn du für t eine Zeit einsetzt (mit Einheit Sekunden), dann kürzt sich ein s raus und die Einheit ist m/s, also eine Geschwindigkeit. Jetzt können wir jetzt x(t) berechnen, indem wir wieder die richtige Stammfunktion bilden: Aus x'(t) = t * m/s² folgt x(t) = t²/2 *m/s² + const und wegen x(0) = 0 folgt wieder const = 0. Zur Zeit t befindet sich das Auto also an der Stelle t²/2. Hier haben wir also aus vorgegebener Beschleunigung, Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit die Ortfunktion nach der Zeitvariablen berechnet. Geht auch umgekehrt, wenn dir einer sagt, zur Zeit t befindet sich das Auto an der Stelle t²/2 m/s², dann kannst du durch ableiten die Geschwindigkeit bestimmen, also t m/s² und durch nochmaliges Ableiten die Beschleunigung.
edit: Das mit den Informationen stimmt schon. Wenn du eine Funktion gegeben hast, kannst du daraus die Ableitung berechnen (durch ableiten eben ^^). Aber du kannst aus der Ableitung die Funktion nicht rekonstruieren.
Also wenn ich dir sage f'(x) = 5, dann weißt du, dass f(x) = 5*x + c ist, aber du weißt nicht, was c ist.
Dir fehlt also ein Teil der Informationen, zum Beispiel würde die Zusatzinformation f(0) = 0 reichen, um c = 0 zu schlussfolgern.