einfacher Beweis bzw. mathematische Darstellungsweise gesucht

[butzKiLLjoY]

hey,

ich hab glaube ich gerade ein ziemliches Brett vor dem Kopf.
Ich habe folgende Formel:

Hierbei sind a,b,d konstante (positive) Raummaße und m,n,p variable, natürliche Zahlen.



Mein Problem:
Ich muss zeigen, dass es, für irgendein konstantes x, mehr Kombinationsmöglichkeiten m,n,p gibt, wenn die Raummaße ganzzahlige Vielfache voneinander sind.

Eine einfache Annahme:

für dieses x gibt es mehr Lösungen für m,n als wenn a und b nicht ganzzahlige Vielfache von einander sind:

Ich weiß, ist alles nicht wirklich korrekt ausgedrückt, aber ich hoffe ich konnte das Problem verständlich erklären?

Ist eigentlich ja schon logisch vorstellbar, aber wie kann ich das mathematisch offensichtlich darlegen?

 

[butzKiLLjoY]

ok, ich habe jetzt noch etwas länger darüber nachgedacht....

Kann man das irgendwie so begründen:

1. Fall: (a und b sind ganzzahlige Vielfache von einander)

2. Fall: (a und b sind keine ganzzahligen Vielfachen von einander)

für den 2. Fall ist es nun egal, ob (a*x) eine natürliche Zahl ist, oder nicht - es ist so oder so nur eine der Variablen m1 oder n1 entscheidend.


Kann man das als "Begründung" so in etwa ausdrücken?
Könnte man das noch einfacher/kompakter/mathematischer ausdrücken?

 

[mfb]

Ich denke, du solltest erstmal versuchen, deine Vermutung mathematisch zu formulieren.
Es gibt durchaus a,b,d, die irgendwie Vielfache voneinander sind, und trotzdem für bestimmte x nur eine Lösung der Gleichung zulassen. Das gilt insbesondere für m=n=p=1 (oder 0, sofern 0 als natürliche Zahl gilt).

Es gibt auch a,b,d, die nicht Vielfache voneinander sind, aber mehrere Lösungen zulassen.

x = 8/2+3/3+1/137 = 6/2+6/3+1/137 = 4/2+9/3+1/137 = 2/2+12/3+1/137

Mal nur die ersten beiden Terme betrachten: Wenn deine Zähler beliebige ganze Zahlen wären, gäbe es immer beliebig viele Lösungen. Deren Dichte in den Zählern wäre durch das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b gegeben. Falls b nun ein Vielfaches von a ist oder umgekehrt, ist die Dichte entsprechend hoch. Nun sind deine Zähler aber auf die natürlichen Zahlen beschränkt, du hast also nur einen gewissen zulässigen Bereich für die Zähler - je dichter die erlaubten Zähler sind, desto mehr Lösungen existieren also.
Für die Summe dreier Brüche gibt es mehr als ein kleinstes gemeinsames Vielfaches zu betrachten, das Prinzip ist aber das gleiche.