ein mathematisches rätsel

[Brusko651]

Ein Rätsel das ich mir beim Essen überlegt habe:

Vovon gibt es mehr?
Folgen aus den Zahlen {1,2,3}, also z.B.
1,3,1,3,2,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,...
oder Folgen aus den Zahlen {4,5} wie z.B.
4,4,5,4,5,4,5,4,4,5,5,4,5,5....

 

[Brusko651]

mist, jetzt wo ich genauer drüber nachdenke bin ich mir selbst nicht mehr sicher ob meine lösung stimmt xD

edit: ok, habs jetzt fertig durchdacht, das rätsel ist all set and ready to go

 

[ROOT]

Hä?

in beiden Fällen überabzählbar viele, also gleich viele. oder versteh ich dich falsch

 

[Brusko651]

naja es gibt ja auch unterschiedlich große überabzählbare unendlichkeiten ^^

 

[Brusko651]

also gleich viele stimmt eh aber ich wollte natürlich auch eine begründung hören

 

[sesslor]

Die Maechtigkeit ist gleich. Man kann jede der Folgen {1,2,3} injektiv auf die Folgen {4,5} abbilden (definiere z.B.: 1=44, 2=45, 3=55). Andersrum gehts sowieso.

qed

 

[Brusko651]

oh jo das ist eigentlich nicht schlecht

meine Lösung hätte etwas länger ausgesehen:
Wenn man bei der ersten art von folge statt der 3 die 0 verwendet, dann hat man Folgen aus den Zahlen {0,1,2}. Die kann man gleichsetzen mit den reellen Zahlen zwischen 0 und 1 in ihrer Darstellung zur Basis 3 zB.
0,012012020201020102..

Bei den anderen Folgen kann man 4 durch 0 und 5 durch 1 ersetzen und erhält auch wiederum die reellen Zahlen zwischen 0 und 1, diesmal in Binärdarstellung.

Man muss dabei aber bei der ersten Art von Folgen diejenigen weglassen, wo ab einer gewissen Stelle nur mehr 2 vorkommt und bei der anderen diejenigen wo ab einer gewissen Stelle nur mehr 1 vorkommt, sonst würden ja einige Zahlen jeweils doppelt vorkommen.
zB 0,0120122222222222222.... = 0,012020000000000000000000 (zur Basis 3)
Diese doppelt vorkommenden Zahlen sind aber in beiden Fällen abzählbar unendlich viele, also gleich viele. Und somit haben tatsächlich beide Mengen die Mächtigkeit des Kontinuums.

 

[petersilieistgeil]

finde sesslors erklärung irgendwie geiler. auch wenn ich keine der beiden verstehe.

 

[Brusko651]

jo also kürzer ist natürlich besser, wollte nur trotzdem noch meine geplante lösung posten

 

[cyclonus]

Folgt alles unmittelbar aus der Darstellbarkeit jeglicher natürlicher Zahl in verschiedenen b-adischen Zahlensystemen.

 

[sesslor]

Folgt alles unmittelbar aus der Darstellbarkeit jeglicher natürlicher Zahl in verschiedenen b-adischen Zahlensystemen.

Du meinst wohl reller Zahlen. So kompliziert muss mans aber nicht machen, ich denke mein Beweis ist viel einfacher und klarer.